Determinantes. De nição de determinante de uma matriz quadrada. Determinantes - ALGA /05 15

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1 Determnantes - ALGA - 004/05 15 Permutações Determnantes Seja n N Uma permutação p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) do conjunto f1; ; ; ng é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetções ou omssões Denota-se por S n o conjunto de todas as permutações do conjunto f1; ; ; ng É fácl ver car que este conjunto tem n! = n(n 1)(n ): : :1 elementos (Note-se que p é uma aplcação bjectva de f1; ; ; ng em f1; ; ; ng) À permutação (1; ; : : : ; n) chama-se permutação dentdade Consderando uma permutação p, chama-se pardade da permutação à pardade do número de trocas que é necessáro efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem ncal Esse número não é únco, mas a sua pardade é sempre a mesma Dz-se que a permutação é par se o número de trocas for par e ímpar se o número é ímpar De ne-se o snal de uma permutação p; sgn (p) ; da segunte forma: ( +1 se p é par sgn (p) = 1 se p é ímpar A permutação dentdade tem snal +1 e qualquer permutação que só troque dos números tem snal 1: Alternatvamente a pardade da permutação pode ser encontrada da segunte forma: Dz- -se que ocorre uma nversão na permutação sempre que um número maor precede um menor O número total de nversões que ocorre numa permutação p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) calcula- -se do segunte modo: 1) contam-se os números menores que p 1 que estão à sua frente na permutação; ) contam-se os números menores que p que estão à sua frente na permutação Contnua-se esta contagem para p ; : : : ; p n 1 : A soma dos números obtdos em cada passo dá o número total de nversões Como o número total de nversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a permutação na dentdade, a pardade desse número é a pardade da permutação De nção de determnante de uma matrz quadrada Seja A = [a j ] nn uma matrz quadrada de ordem n Chama-se produto elementar de A a um produto de n entradas da matrz A contendo exactamente uma entrada de cada lnha e de cada coluna de A; sto é, um produto da forma a 1p1 a p a npn ; em que p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) é uma permutação A cada produto elementar está, portanto, assocada uma permutação e vce-versa Consequentemente, para uma matrz de ordem n, há n! produtos elementares Um produto elementar com snal é um produto elementar multplcado pelo snal da permutação que lhe está assocada, ou seja +a 1p1 a p a npn ou a 1p1 a p a npn : O determnante da matrz A (det (A) ou jaj) é a soma de todos os produtos elementares com snal de A; sto é: det (A) = X ps n sgn (p) a 1p1 a p a npn :

2 Determnantes - ALGA - 004/05 1 Determnantes de ordem 1, e Ordem 1: A = [a 11 ] a 11 a 1 Ordem : A = a 1 a # det (A) = a 11 : As permutações de f1; g são (1; ) e (; 1), com snas +1 e produtos elementares de A são a 11 a e a 1 a 1 : Assm: 1; respectvamente: Os det (A) = a 11 a a 1 a 1 : Ordem : A = 4 a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 5 As permutações de f1; ; g são (1; ; ) ; (; ; 1) ; (; 1; ) ; (; ; 1) ; (; 1; ) e (1; ; ) ; tendo as três prmeras snal +1 e as três últmas snal 1 Assm: det (A) = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 11 a a : Determnantes de matrzes de tpo especal Seja A = [a j ] =1;:::;n uma matrz quadrada de ordem n: Matrz dagonal: Se A é uma matrz dagonal, então det (A) = a 11 a a nn : Como casos partculares tem-se que: 1 det (I n ) = 1 det (O n ) = 0 Se A é escalar e o elemento da dagonal é k, então, det (A) = k n : Matrz trangular: Se A = é uma matrz trangular (nferor ou superor), então det (A) = a 11 a a nn :

3 Determnantes - ALGA - 004/05 1 Efetos das operações elementares no determnante e determnantes das matrzes elementares Tpo I: Se a matrz B pode ser obtda da matrz A por troca de duas lnhas, então det (B) = det (A) [Se E é uma matrz elementar de tpo I, então det (E) = 1] Tpo II Se a matrz B pode ser obtda da matrz A multplcando uma lnha por um número real, então det (B) = det (A) [Se E é uma matrz elementar de tpo II, então det (E) = ] Tpo III Se a matrz B pode ser obtda da matrz A somando a uma lnha outra multplcada por um número real, então det (B) = det (A) [Se E é uma matrz elementar de tpo III, então det (E) = 1] Propredades Seja A = [a j ] nn uma matrz quadrada de ordem n : 1 det (A) = det A > Se A é uma matrz com uma lnha ou com uma coluna de zeros, então det (A) = 0 Se a matrz A tem duas lnhas guas ou duas colunas guas, então det (A) = 0 4 Se a matrz A tem uma lnha (coluna) múltpla de outra, então det (A) = 0 5 Se L 1 ; : : : ; L ; : : : ; L n desgnam as lnhas da matrz A e L = L 0 + L 00 det (A) = det 4 L 1 L 0 + det 5 4 L 1 L 00 5 então L n L n Se C 1 ; : : : ; C ; : : : ; C n desgnam as colunas da matrz A e C = C 0 + C 00 então h h det (A) = det C 1 C 0 : : : C n + det C 1 C 00 : : : C n Se C 1 ; : : : ; C ; : : : ; C n desgnam as colunas da matrz A e C = C; 0 escalar, então h det (A) = det C 1 C 0 : : : C n : 8 Se é um escalar, então det (A) = n det (A) 9 Se B é também uma matrz de ordem n, então det (AB) = det (A) det (B) 10 A matrz A é nvertível se e só se det (A) = 0 (e se e só se car (A) = n) 11 Se A é nvertível, então det (A 1 ) = (det A) 1

4 Determnantes - ALGA - 004/05 18 Cálculo do determnante através do método de elmnação Reduz-se a matrz a uma forma de escada Quando se efectuam operações nas lnhas da matrz sabe-se qual o efeto no determnante e, como a forma de escada de uma matrz quadrada é uma matrz trangular, o determnante desta obtém-se, como fo vsto atrás, multplcando os elementos da dagonal prncpal Exemplo: det = det L 1 $ L 1 = det = L 1 + L 10L + L 5 = = ( ) ( 55) = 15 1 L 1 1 det = 1 1 det Cálculo do determnante através do Teorema de Laplace 5 = Seja A = [a j ] =1;:::;n uma matrz quadrada de ordem n O menor (; j) da matrz A; A j ; é o determnante da matrz que se obtém de A retrando-lhe a lnha e a coluna j Chama-se complemento algébrco ou co-factor de a j a ( 1) +j A j : Teorema de Laplace: Seja A = [a j ] =1;:::;n uma matrz quadrada de ordem n: Então () Se l f1; ; :::; ng, então det (A) = da lnha l) () Se c f1; ; :::; ng, então det (A) = da coluna c) nx ( 1) l+j a lj A lj : (Desenvolvmento ao longo j=1 nx ( 1) +c a c A c : (Desenvolvmento ao longo =1 Notas: 1 O Teorema de Laplace estabelece que o determnante de uma matrz se pode obter efectuando a soma do produto dos elementos de uma lnha ou coluna pelos respectvos complementos algébrcos e reduz o cálculo de um determnante de ordem n ao cálculo de determnantes de ordem n 1: Para aplcação do Teorema de Laplace convém escolher uma lnha ou coluna da matrz com o maor número possível de zeros

5 Determnantes - ALGA - 004/05 19 Exemplo: Mutas vezes, para calcular o determnante de uma matrz, usam-se smultaneamente o método de elmnação e o teorema de Laplace Começa-se o método de elmnação para obter, por exemplo na 1 a coluna, apenas um elemento não nulo e aplca-se de seguda o desenvolvmento de Laplace ao longo dessa coluna det = det = det = L 1 $ L L # = det = 1 ( 1) det = L 1 + L Teor Det Laplace ordem = ( 55) = 15 Inversa de uma matrz usando determnantes Seja A = [a j ] uma matrz de ordem n De nem-se as matrzes: Matrz dos co-factores ou dos complementos algébrcos: h ^A = ^Aj de ordem n onde ^A j = ( 1) +j A j : Matrz adjunta: Adj (A) = ^A > Teorema: Seja A uma matrz de ordem n Então A Adj (A) = det (A) I n Coroláro: Seja A uma matrz de ordem n (a) Se A não é nvertível, então A Adj (A) é a matrz nula de ordem n (b) Se A é nvertível, então A 1 = (det A) 1 Adj (A) Nota: A alínea (b) do coroláro fornece um novo método de cálculo da matrz nversa, que ndca explctamente cada entrada da matrz nversa: Se B = A 1 ; então b j = (det A) 1 ^Aj : Este método é útl para o cálculo smbólco de matrzes nversas