Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) 21 de Junho de 2010

Transcrição

1 Proposta de resolução da Prova de Matemátca A (códgo 6 Como A e B são acontecmentos ncompatíves, 0 e Ou seja, de acordo com os dados do enuncado, 0% 0% 0% Versão : B Versão : C Como se trata de uma únca acção de formação, podem selecconar-se aleatoramente 0 C grupos de três trabalhadores, que são os casos possíves Como os três amgos consttuem um únco grupo a probabldade solctada é 0 C Versão : C Versão : B de Junho de 00 Grupo I Como se trata de uma dstrbução de probabldade, a soma das probabldades tem que ser Logo Pelo que 0 Versão : B Versão : C

2 Como é uma função afm, 0 Sabe-se que h 0 Das quatro representações gráfcas apresentadas a únca que pode representar a função h é: Versão : A Versão : D Da observação da parte do gráfco da função apresentada, e pelo facto da recta de equação ser assímptota do seu gráfco, podemos conclur que lm Logo lm 0 Versão : C Versão : B 6 Se consderarmos como a base do trângulo, temos que, sendo a altura a medda correspondente à ordenada de A, sto é, Pelo que a área do trângulo é Versão : A Versão : D Um número complexo w é um magnáro puro se, Logo é um magnáro puro se,,, Para, Versão : D Versão : A

3 8 Como todos os números complexos que têm a sua magem geométrca na regão representada na fgura têm módulo superor a e nenhum deles é magnáro puro temos que: Versão : B Versão : C Grupo II w cs ( ( cs ( 6 6 Na forma trgonométrca: ρ tan θ θ θ º Q Então: w cs cs sen sen sen sen sen sen sen 6 sen c q d

4 Socedade Portuguesa de Matemátca Av da Repúblca - ºesq, 00 8 Lsboa Tel 9 9 / Fax 9 9 wwwspmpt mprensa@spmpt Proposta de Resolução da Socedade Portuguesa de Matemátca para o Exame Naconal de Matemátca A Prova 6, ª Chamada de Junho de 00 Grupo I 6 8 Versão B C B A C A D B Versão C B C D B D A C Grupo II ( ( ( ( 6 ( ( cs cs cs w sn cs sn sn sn sn 6 sn sn sn c q d No unverso formado pelo conjunto dos alunos da escola, sejam os acontecmentos: A: o aluno tem computador portátl B: o aluno sabe o nome do drector ( A P ; ( B P sendo ( ( B P B P

5 P( A B P ( A B P( A B P( B P ( A B P( A P( A B Assm, P ( A B P( B P( A B 0 Número de alunos que têm computador portátl: Assm há C C 9600 maneras dferentes de se formar uma comssão nas condções pretenddas A regra de Laplace d-nos que a probabldade de um acontecmento é calculada pelo quocente entre o número de casos favoráves a esse acontecmento e o número de casos possíves, sendo estes todos equprováves O número total de extracções é dado por 8 C, que representa o número de maneras possíves de escolher bolas de entre 8 Por outro lado, exstem C pares possíves de bolas aus e 6 C pares de bolas vermelhas Assm, o número total de pares de bolas da mesma cor é dado por 6 C C, o que corresponde ao número total de tragens favoráves Fnalmente, pela regra de Laplace, a probabldade pedda é: 6 6 C C 6 P, 8 C 8 8 pelo que a resposta fornecda no enuncado está correcta Tem-se N t log (t 8log (t 6log (t, t [ 0,] ( Para todo t [ 0,] tem-se N(t 6log (t log (t, t 8 R: Foram necessáras horas e 0 mnutos t

6 A(a, 0 a 0, f é negatva no ntervalo ]0,a[, logo f é estrtamente decrescente em ]0, a] f é postva no ntervalo ]a,[, logo f é estrtamente crescente em [a, [ f tem um mínmo em x a 6 Por defnção de Assmptota Não Vertcal: x x [ f ( x ( ax b ] lm [ ax b e ( ax b ] lm e 0 lm x x x Assm, y ax b com a 0 é a equação de uma assmptota oblíqua do gráfco de f 6 f é contínua sse lm f ( x f (0 Tem-se que: f ( 0 b lm f ( x b lm f ( x x sn(x lm lm x x Logo f é contínua em 0 sse b, ou seja, b OBA ˆ rad vsto ser um ângulo nscrto numa sem-crcunferênca Usando as raões trgonométrcas no trângulo rectângulo [OAB]: AB senα AB senα OA

7 OB α OB α OA Assm, o perímetro do trângulo [OAB] é dado por: f ( α OA AB OB ( α senα, α 0, f '( α ( senα α (α senα, α 0, f '( α 0 α senα 0, α α α 0 f '( α nd 0 - nd f (α nd Máx nd Logo f atnge o máxmo em α FIM