ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS MATRIZES NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.

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1 ESCOL DE PLICÇÃO DR. LFREDO JOSÉ BLBI UNITU POSTIL MTRIZES PROF. CRLINHOS NOME DO LUNO: Nº TURM: blog.portalpostvo.com.br/captcar

2 MTRIZES Uma matrz de ordem m x n é qualquer conunto de m. n elementos dspostos em m lnhas e n colunas. Representação Genérca Cada elemento de uma matrz é localzado por dos índces: a. O prmero ndca a lnha, e o segundo, a coluna. matrz pode ser representada abrevadamente por uma sentença matemátca que ndca a le de formação para seus elementos. (a)mxn le de formação. Ex.: (a)x a. CLSSIFICÇÃO DS MTRIZES Em função dos valores de m e n, classfca-se a matrz (a)mxn em: Matrz retangular, se m n. Ex.: Matrz lnha, se m. Ex.: x [ -] Matrz coluna, se n. Ex.: Matrz quadrada, se m n. Ex.: blog.portalpostvo.com.br/captcar

3 Ex.: é uma matrz quadrada de ordem. Numa matrz (a)mxn quadrada de ordem n, os elementos a com consttuem a dagonal prncpal. Os elementos a com n formam a dagonal secundára. Ex.: TIPOS DE MTRIZES Matrz Nula É a matrz onde todos os elementos são nulos. Ex.: Matrz Oposta Matrz oposta de uma matrz (a)mxn é a matrz B (b)mxn tal que b -a. Ex.: Produto de um Número Real por uma Matrz Se é um número real, o produto desse número por uma matrz (a)mxn é uma matrz B (b)mxn tal que b. a Ex.: Sendo Propredades do Produto de um Número por uma Matrz Se e B são matrzes de mesma ordem e seguntes propredades: e são números reas, valem as a) b). ( B) B c). (b. ) (. b). d) ( b).. b. e) (. ) T. T blog.portalpostvo.com.br/captcar

4 Produto de Matrzes Dadas duas matrzes (a)mxn e B (b)mxn, o produto da matrz pela matrz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matrz for gual ao número de lnhas da matrz B. Então: matrz produto ( x B)mxn terá número de lnhas de e número de colunas de B. Os elementos da matrz produto são obtdos multplcando-se cada elemento das lnhas da matrz pelo correspondente elemento das colunas da matrz B e adconando os produtos obtdos. Propredades do Produto de Matrzes Sendo, B, C matrzes, e a um número real, e supondo as operações abaxo possíves, temos que: a).(b.c) (.B).C (SSOCITIV) b).(bc).b.c (DISTRIBUTIV À DIREIT) c) (B).C.CB.C (DISTRIBUTIV À ESQUERD) d) I É IDENTIDDE e) (. B). ( B). (. B) f) (. B) T B T. T Observações Importantes:.ª multplcação de matrzes não é comutatva, sto é, exstem matrzes e B tas que B B..ª Na multplcação de matrzes não vale o anulamento do produto, sto é, podemos ter. B mesmo com e B..ª Não vale também a smplfcação, sto é, podemos ter B C, mesmo com e B C. blog.portalpostvo.com.br/captcar

5 blog.portalpostvo.com.br/captcar Matrz Inversa Uma matrz quadrada de ordem n dz-se nversível ou não sngular se, e somente se, exstr uma matrz que ndcamos por -, denomnada nversa de, tal que: In Ex.: matrz é a nversa de pos I. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) che os elementos da matrz (a) de ordem, em que a Resp.: 8 8 ) Escreva os elementos da matrz (a) de ordem, defnda por ( ) se se a,, Resp.: ) Escreva os elementos da matrz (a)x, defnda por > se se a,, Resp.: ) Determne x e y, sabendo que 6 7 y x y x Resp: x e y - ) Determne a, b, x e y, sabendo que 7 b a y x b a y x Resp: x, y, a e b -

6 blog.portalpostvo.com.br/captcar 6 6) Dada as matrzes z x B e y 8 6 6, calcule x, y e z para que B t. Resp: x, y 8 e z 7) Dada a matrz, obtenha a matrz X tal que t X. Resp: 6 8) Sendo (a)x tal que a e B (b)x tal que b, calcule B. Resp: [ ] 9) Calcule a matrz X, sabendo que ( ) B X e B T,. Resp: ) Dadas as matrzes e B. Resolva B X Resp: 9 6 ) Efetue: a) Resp: b) [ ] Resp: [7] c) Resp:

7 blog.portalpostvo.com.br/captcar 7 ) Dada a matrz, calcule. Resp: ) Determne a nversa da matrz. Resp: EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO D PRENDIZGEM ) Construa as matrzes: a) (a ) x tal que a () resp: b) B(b ) x tal que b se se...,..., resp: B ) Quantos elementos possu uma matrz de ordem x. resp: ) Se uma matrz é do tpo m x n. Qual a ordem de t? resp: n x m ) Dadas as matrzes 7 e B, calcule: a) (Bt ) resp: / / / / b) t -( t B) rep: 6 ) Determne a matrz X, tal que XB, para e B resp: X 6) Sendo e B, determne a matrzes X e Y, tal que B Y X B Y X

8 resp: X / / 6 / e Y / / / 7) Calcule os produtos: a). resp: b). resp: ) Sendo, calcule -I. resp: 8 9 9) Sendo e B, determne a matrz X tal que.xb. 7 resp: X ) Encontre se exstr a nversa da matrz: a) resp: - / / / / b) B resp: ) (Unesp) Determne os valores de x, y e z na gualdade a segur, envolvendo matrzes reas : resp:. x, y e z blog.portalpostvo.com.br/captcar 8

9 ) (Unesp) Sea (a ) a matrz x real defnda por a se e a - se >. Calcule. resp: ) (Fe) Se as matrzes (a ) e B (b ) estão assm defndas: a a, se, se b, se e b, se onde,, então a matrz B é: resp: d ) (Fe) Dadas as matrzes e B, a matrz de x de a ordem que é solução da equação matrcal x B, onde representa a matrz nula de ordem é: resp: a blog.portalpostvo.com.br/captcar 9

10 ) (Uel) Consdere as matrzes M e M representadas a segur. Conclu-se que o número real a pode ser : a) b) c) d) - e) - resp: b 6) (Uel) Seam as matrzes e B, respectvamente, x e p x q. Se a matrz.b é x, então é verdade que: resp: b a) p e q b) p e q c) p e q d) p e q e) p e q 7) (Unro) Consdere as matrzes, B e C na fgura adante: adção da transposta de com o produto de B por C é: resp: d a) mpossível de se efetuar, pos não exste o produto de B por C. b) mpossível de se efetuar, pos as matrzes são todas de tpos dferentes. c) mpossível de se efetuar, pos não exste a soma da transposta de com o produto de B por C. d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tpo x. e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tpo x. 8) (Uel) Sobre as sentenças: I. O produto de matrzes x.b x é uma matrz x. II. O produto de matrzes x.b x é uma matrz x. III. O produto de matrzes x.b x é uma matrz quadrada x. blog.portalpostvo.com.br/captcar

11 é verdade que: a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas. resp: b 9) (Cesgranro) Cláudo anotou suas médas bmestras de matemátca, português, cêncas e estudos socas em uma tabela com quatro lnhas e quatro colunas, formando uma matrz, como mostra a fgura. Sabe-se que as notas de todos os bmestres têm o mesmo peso, sto é, para calcular a méda anual do aluno em cada matéra basta fazer a méda artmétca de suas médas bmestras. Para gerar uma nova matrz cuos elementos representem as médas anuas de Cláudo, na mesma ordem da matrz apresentada, bastará multplcar essa matrz por: resp: e ) (Ufr) ntôno, Bernardo e Cláudo saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domngo. s matrzes a segur resumem quantos chopes cada um consumu e como a despesa fo dvdda: blog.portalpostvo.com.br/captcar

12 S refere-se às despesas de sábado e D às de domngo. Cada elemento a nos dá o número de chopes que pagou para, sendo ntôno o número, Bernardo o número e Cláudo o número (a representa o elemento da lnha, coluna de cada matrz). ssm, no sábado ntôno pagou chopes que ele própro bebeu, chope de Bernardo e de Cláudo (prmera lnha da matrz S). a) Quem bebeu mas chope no fm de semana? resp: Cláudo b) Quantos chopes Cláudo fcou devendo para ntôno? resp: Bblografa: Curso de Matemátca Volume Únco utores: Banchn&Paccola Ed. Moderna Matemátca Fundamental - Volume Únco utores: Govann/Bonorno&Gvann Jr. Ed. FTD Contexto&plcações Volume Únco blog.portalpostvo.com.br/captcar