Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu lucas@mat.estv.ipv.pt 7/8 Álgebra Linear e Geometria Analítica 6.1 Definição 6. Espaços Próprios 6. Polinómio e Equação Característicos 6.4 Cálculo dos Valores Próprios e dos Vectores Próprios de uma 6. Diagonalização de uma

2 6.1 Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Valor Próprio e Vector Próprio Um escalar λ diz-se um valor próprio de A se existir um vector não nulo x n 1, tal que Ax = λx (Ax = λx (A λi)x = ) O vector x diz-se vector próprio de A associado ao valor próprio λ. Exemplo = 1 1 } {{ } } {{ } } {{ } A x x 1 Logo é um valor próprio da matriz A e é um seu vector próprio. 1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 / 1 6. Espaços Próprios Observações Um vector próprio é, por definição, não nulo. Um vector próprio está associado apenas a um valor próprio, mas a um valor próprio estão associados uma infinidade de vectores próprios. Espaço Próprio Seja λ um valor próprio de A. O subespaço E(λ) ={x K n Ax = λx} = {x K n (A λi)x = } é um subespaço de K n (K = C ou K = R) e diz-se o espaço próprio de A associado ao valor próprio λ. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 4 / 1

3 6. Espaços Próprios Exemplo é um valor próprio da matriz A = 1 1 E() ={x R (A I)x = } A I = = 1 1 = 1 1 (A I)x = 1 1 x1 x = { x1 + x = = { x1 = x x R E() ={(x 1, x ) R x 1 = x } = {(x, x )=(1, 1)x x R} =< (1, 1) > (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 / 1 6. Polinómio e Equação Característicos Cálculo dos Valores Próprios de uma Determinar os valores próprios de A consiste em determinar os valores λ que satisfazem a equação A λi = A expressão A λi denomina-se o polinómio característico de A ea equação A λi = denomina-se a equação característica de A. Multiplicidade Algébrica e Multiplicidade Geométrica de um Valor Próprio A multiplicidade algébrica do valor próprio λ é a multiplicidade de λ como raiz da equação característica. Denota-se por ma(λ). A multiplicidade geométrica do valor próprio λ é a dimensão do espaço próprio de A associado ao valor próprio λ. Denota-se por mg(λ). (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 6 / 1

4 6.4 Calculo dos Valores Proprios e dos Vectores Proprios de uma Exemplo (Ex. d) da Ficha n o 11) A = Equação Característica A λi = λ 1 1 λ 4 λ λ 4 λ ( λ) = 4 λ + λ = ( λ)(1 7λ + λ 6) (8 λ 6)+(6 9 + λ) = ( λ)(λ 7λ + 6) + λ + λ = λ 14λ + 1 λ + 7λ 6λ + λ = λ + 9λ 1λ + 7 = λ 9λ + 1λ 7 = (λ 1)(λ 8λ + 7) = (λ 1)(λ 1)(λ 7) = (λ 1) (λ 7) = λ = 1 λ = 7 Valores Próprios λ = 1 de multiplicidade algébrica ma(1) = λ = 7 de multiplicidade algébrica 1 ma(7) =1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 7 / Calculo dos Valores Proprios e dos Vectores Proprios de uma Exemplo (cont.) E(1) ={x R (A 1I)x = } A 1I = (A 1I)x = = x 1 x x = 4 L L 1 8 < L L 1 E(1) ={(x 1, x, x ) R x 1 = x x } = {( x x, x, x )=( 1, 1, )x +( 1,, 1)x x, x R} =< ( 1, 1, ), ( 1,, 1) > Base de E(1) ={( 1, 1, ), ( 1,, 1)} dim(e(1)) = mg(1) = 8 < x 1 + x + x = = = x 1 = x x x R x R (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 8 / 1

5 6.4 Calculo dos Valores Proprios e dos Vectores Proprios de uma Exemplo (cont.) E(7) ={x R (A 7I)x = } A 7I = (A 7I)x = L + L 1 L + L x 1 x x 18 1 = 4 L +L 8 < 8 < x 1 + x + x = 18 x + 1 x = = x 1 = 1 x x = x x R E(7) ={(x 1, x, x ) R x 1 = 1 x x = x } = {( 1 x, x, x )=( 1,, 1)x x R} =< ( 1,, 1) > Base de E(7) ={( 1,, 1)} dim(e(7)) = 1 mg(7) =1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 9 / 1 6. Diagonalização de uma Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se u 1, u,..., u k são vectores próprios de A associados a valores próprios todos distintos, então são linearmente independentes. Corolário Uma matriz de ordem n não tem mais do que n valores próprios. es Semelhantes e Diagonalizável Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir uma matriz invertível S tal que A = SBS 1. Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante com uma matriz diagonal, ou seja, se existir uma matriz diagonal D e uma matriz invertível S tais que A = SDS 1. Neste caso S diz-se uma matriz diagonalizante de A. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 1 / 1

6 6. Diagonalização de uma Teorema Uma matriz A ordem n é diagonalizável se e só sea tem n vectores próprios linearmente independentes. Dizer que u 1, u,...,u n são n vectores próprios de A linearmente independentes, associados aos valores próprios, respectivamente, λ 1,λ 1,...,λ n, significa exactamente que A = SDS 1 com λ 1 S = λ u 1 u... u n e D =... λn (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 11 / 1 6. Diagonalização de uma Dada uma matriz A de ordem n, três situações podem ocorrer 1. Existem n valores prórios distintos e, portanto, existem n vectores próprios linearmente independentes, pelo que a matriz A é diagonalizável.. Existem m valores prórios distintos com m < n, mas existem n vectores próprios linearmente independentes e, portanto, a matriz A é diagonalizável.. Existem m valores prórios distintos com m < n, enão existe um conjunto com n vectores próprios que seja linearmente independente e, portanto, a matriz A não é diagonalizável. As três situações seguintes correspondem às três situações descritas atrás 1. A matriz tem n valores próprios distintos. Neste caso tem-se mg(λ i )=ma(λ i )=1 para todo o valor próprio λ i de A. A matriz A é diagonalizável.. Para cada valor próprio λ i de A, mg(λ i )=ma(λ i ). A matriz A é diagonalizável.. Algum dos valores prórios tem multiplicidade geométrica inferior à multiplicidade algébrica, isto é, para algum λ i, mg(λ i ) < ma(λ i ). Neste caso, a matriz A não é diagonalizável. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 1 / 1

7 6. Diagonalização de uma Exemplo (Ex. 11.d) da Ficha n o 11) 1 1 A = 4 mg(1) =ma(1) = mg(7) =ma(7) =1 Logo, A é diagonalizável. Então, S A = SDS 1, com D = e S = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 7/8 1 / 1