Métodos Formais. Agenda. Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções. Relações e Funções

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1 Métodos Formais Relações e Funções por Mauro Silva Agenda Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções MF - Relações e Funções 2 1

2 Relações Binárias Definição Relação entre pares de elementos pertencentes a um conjunto. Tipos Ordem Parcial: elementos relacionados por uma ordem parcial podem ser representados graficamente. Equivalência: elementos relacionados por uma relação de equivalência podem ser agrupados em classes. MF - Relações e Funções 3 Relações Binárias Aplicação Uma generalização de uma relação binária forma a base para um banco de dados relacional. Usando as operações de restrição, projeção e união nas relações de um banco de dados, podemos fazer diversas consultas ao banco. Função é um tipo particular de relação binária. Funções assim como relações, descrevem diversas situações reais. MF - Relações e Funções 4 2

3 Relações Binárias Se descobrirmos que duas pessoas, Henriqueta e Horácio, estão relacionadas, entenderemos que existe alguma conexão familiar entre elas que o par (Henriqueta, Horácio) se diferencia de outros pares ordenados de pessoas porque existe uma relação (são primos, irmãos, etc.) que Henriqueta e Horácio satisfazem. O análogo matemático é distinguir determinados pares ordenados de objetos de outros pares ordenados porque as componentes dos pares satisfazem alguma relação que os outros não satisfazem. MF - Relações e Funções 5 Relações Binárias O produto cartesiano de S com ele mesmo, S x S ou S 2, é o conjuntos de todos os pares ordenados de elementos de S. Seja S={1,2,3}: então, S x S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} Interessados na relação de igualdade, então (1,1),(2,2) e (3,3) seriam os elementos de S x S que escolheríamos, ie, os únicos pares ordenados cujas componentes são iguais. Interessados na relação de um número ser menor do que o outro (1,2),(1,3) e (2,3) em S x S. MF - Relações e Funções 6 3

4 Relações Binárias Escolher os pares ordenados (x,y) dizendo que x = y ou x < y. A notação x y indica que o par ordenado (x,y) satisfaz a relação. A relação pode ser definida por palavras ou, simplesmente, listando-se os pares ordenados que o satisfazem. MF - Relações e Funções 7 Relações Binárias Seja S = {1,2,4}. No conjunto S x S = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}, pode-se definir uma relação por x y se, e somente se, x = y/2, abreviada como x y x = y/2. Portanto, (1,2) e (2,4) satisfazem. Ou, {(1,2),(2,4)} é o conjunto de pares ordenados que satisfazem. MF - Relações e Funções 8 4

5 Relações Binárias Uma relação binária é um subconjunto, vemos que x y (x,y) Obs.1: uma relação binária é definida por uma descrição. Obs.2: a descrição é um predicado binário que é satisfeito por determinados pares ordenados. MF - Relações e Funções 9 Relações Binárias Seja S = {1,2}. Então S x S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}. Seja a relação em S dada pela descrição x yx + y é ímpar, Então (1,2) e (2,1) Seja {1,2}. Então S x S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}. Se é definida em S por = {(1,2),(2,1)}, então 1 1 e 2 1 são verdadeiras. MF - Relações e Funções 10 5

6 Relações Binárias Exercício Para cada uma das relações binárias definidas a seguir em, decida quais entre os pares ordenados pertencem a. A. x y x = y + 1; (2,2),(2,3),(3,3),(3,2) B. x y x divide y; (2,4),(2,5),(2,6) C. x y x é ímpar; (2,3),(3,4),(4,5),(5,6) D. x y x > y 2 ; (1,2),(2,1),(5,2),(6,4),(4,3) MF - Relações e Funções 11 Relações Binárias Um para um Um para muitos muitos para um muitos para muitos MF - Relações e Funções 12 6

7 Relações & Banco de Dados Modelo Relacional As relações são descritas por tabelas. Um banco de dados relacional [[ ]] consiste em uma coleção de tais tabelas. Uma tabela entidade leva o nome de entidade. Cada linha da tabela contém os valores dos n atributos de um elemento particular daquele conjunto entidade. Pode-se considerar a tabela relacional como um conjunto de n-uplas (as linhas) e uma linha individual é chamada de tupla. Segundo a idéia de conjunto não existem tuplas duplicadas e não se tem nenhuma ordem entre as tuplas. O número de atributos (colunas) é chamado de grau da relação. O número de tuplas (linhas) é chamado de cardinalidade da relação. MF - Relações e Funções 13 Relações & Banco de Dados Modelos Conceitual Tentativa de se capturar as característica importantes e o funcionamento de um empreendimento. Entidade- relação (E- R) Representação de alto nível onde são identificados objetos importantes junto com seus atributos ou propriedades relevantes. Relacional Desenvolvida a partir de um modelo E-R. Tanto as entidades quanto as relações do modelo E-R tornam-se relações (no sentido matemático) no modelo relacional. MF - Relações e Funções 14 7

8 Operações nas Relações Duas operações unárias podem ser executadas em relações são as operações de Restrição. Projeção. Restrição Cria uma nova relação formada pelas tuplas da relação original que satisfazem uma determinada propriedade. Projeção Cria uma nova relação formada por determinados atributos da relação original, eliminando as duplicatas. As operações de Restrição e Projeção podem ser consideradas em termos de subconjuntos. MF - Relações e Funções 15 Operações nas Relações Restrição: cria um subconjunto de linhas que satisfazem uma determinada propriedade. Projeção: cria um subconjunto de colunas que representam determinados atributos.!"#$% #$ & '( MF - Relações e Funções 16 8

9 Operações nas Relações Junção: executada em duas relações com um atributo em comum (coluna). )* MF - Relações e Funções 17 Operações nas Relações Álgebra Relacional: é uma linguagem teórica em bando de dados relacionais na qual as operações de restrição, projeção e junção podem ser combinadas.!"+%!",-%,./ MF - Relações e Funções 18 9

10 Operações nas Relações SQL: é uma linguagem padrão internacional de bando de dados relacional.!"# $%&! '()*!"+% +()*!",-% ) $ ) $32... ) $42... ) $52... MF - Relações e Funções 19 Operações nas Relações Cálculo Relacional: descrição teórica em termos de conjuntos. # 6 # 6 7 8!"+%,!!",-%9 MF - Relações e Funções 20 10

11 Resumo Relações Técnicas: Execução das operações de restrição, projeção e junção em um bando de dados relacional. Formulação de pesquisas em um banco de dados relacional usando álgebra relacional, SQL e cálculo relacional. Idéias Principais: Um banco de dados relacional usa relações matemáticas, descritas por tabelas, para modelar objetos e relações em um empreendimento. MF - Relações e Funções 21 Resumo Relações Idéias Principais: As operações de restrição, projeção e junção em um bando de dados são operações em relações (conjunto de tuplas). Podem ser formuladas pesquisas em um bando de dados relacional usando- se as operações de restrição, projeção e junção, comandos SQL ou notações de teoria dos conjuntos e da lógica de predicados. MF - Relações e Funções 22 11

12 Funções Casos particulares de relações binárias de um conjunto S em um conjunto T. Bastante comum mesmo em contextos nãotécnicos. O aumento do salário- base inicial depende da carreira O aumento do salário- base inicial é uma função da carreira Salário-base inicial de formandos MF - Relações e Funções C. da Comp. Direito Engenharia 23 Funções Funções também são usadas em álgebra e cálculo. g(x) = x 3 expressa uma relação funcional entre os valores de x e y e os valores correspondentes que resultam quando o x é substituído por seu valor na expressão. g(1) = 1 3 = 1, g(-1) = (-1) 3 = -1, etc. Para cada valor de x, o valor correspondente para g(x) é único. MF - Relações e Funções 24 12

13 Funções O gráfico dessa função em um sistema retangular de coordenadas, os pontos (2,8), (1,1) e (-1,-1) seriam pontos pertencentes ao gráfico. y (2,8) C. da Comp. 5,5% (-1,-1) (1,1) x Carreira. % Carreira Aumento percentual do salário MF - Relações e Funções 25 Funções Para o exemplo algébrico g(x)=x 3 a função sempre começa com um número real e tem um outro real associado. A associação é descrita por { (x,g(x)) g(x)=x 3 } Partes da Função (1) um conjunto de valores iniciais: domínio da função. (2) um conjunto de valores associados: imagem da função. (3) a associação propriamente dita. MF - Relações e Funções 26 13

14 Funções Números Reais Números Reais x g g(x) g : Domínio S Contradomínio T s f f(s)=t f : S T MF - Relações e Funções 27 Funções f : S T A associação é um conjunto de pares ordenados da forma (s,t), onde s S, t T e t é o valor de T que a função associa ao valor de s em S; t = f(s). A associação é um subconjunto de S x T. Propriedade importante: Todo elemento de S tem que ter um, e um único, valor em T associado, de modo que todo s S aparece exatamente uma vez como a primeira componente de um par (s,t). MF - Relações e Funções 28 14

15 Funções : ; 6< - - ' = ' >../ 6 MF - Relações e Funções 29 Funções Questão (???) Uma relação do tipo um para muitos (ou muitos para muitos) pode ser uma função? MF - Relações e Funções 30 15

16 Funções Exercícios: quais das relações abaixo são funções do domínio no contradomínio indicado? Para as que não são, por que não? A. f : S T, onde S = T = {1,2,3}, f = {(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}. B. g :, onde g é definida por g(x) = x (módulo de x). C. h :, onde h é definida por h(x) = x 4. MF - Relações e Funções 31 Métodos Formais Relações e Funções por Mauro Silva 16