Conjuntos Finitos e Infinitos

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1 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 1/1 Conjuntos Finitos e Infinitos Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP

2 Axiomas de Peano Conjuntos Finitos e Infinitos p. 2/1

3 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 2/1 Axiomas de Peano (N1) s : N N é injetiva e o complementar da sua imagem contém apenas um elemento, denotado pelo símbolo 1.

4 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 2/1 Axiomas de Peano (N1) s : N N é injetiva e o complementar da sua imagem contém apenas um elemento, denotado pelo símbolo 1. (N2) Seja S N; então S = N se, e somente se: 1. 1 S; 2. n S s(n) S.

5 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 3/1 1o. Princípio da Indução TEOREMA Seja P : N {0, 1}. Se (i) P(1) = 1 e (ii) P(n) = 1 P ( s(n) ) = 1, então n N, P(n) = 1.

6 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 4/1 Princípio da Definição por Recorrência Seja X um conjunto. Queremos definir uma função f : N X. Suponha que seja dado o valor f(1) e, para todo n N, uma regra para se definir f ( s(n) ) supondo-se definido f(n). Então existe uma única f : N X nestas condições.

7 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 5/1 Soma de Números Naturais Define-se indutivamente, n N:

8 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 5/1 Soma de Números Naturais Define-se indutivamente, n N: n + 1. = s(n);

9 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 5/1 Soma de Números Naturais Define-se indutivamente, n N: n + 1 =. s(n); n + s(m) =. s(m + n).

10 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 6/1 Produto de Números Naturais Define-se indutivamente, n N:

11 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 6/1 Produto de Números Naturais Define-se indutivamente, n N: n 1. = n;

12 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 6/1 Produto de Números Naturais Define-se indutivamente, n N: n 1 =. n; n s(m) =. n m + n.

13 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 7/1 Relação de Ordem em N DEFINIÇÃO Sejam n,m N. m < n p N/n = m + p m n m = n ou m < n

14 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 8/1 Teorema da Boa Ordenação TEOREMA Seja A N não-vazio. Então A possui um menor elemento.

15 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 9/1 2o. Princípio da Indução TEOREMA Seja P : N {0, 1}. Suponha que, para todo n N, (k < n P(k) = 1) P(n) = 1. Então n N, P(n) = 1.

16 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 10/1 Princípio da Definição por Recorrência Seja X um conjunto. Queremos definir uma função f : N X. Suponha que seja dado o valor f(1) e uma regra para se definir f(n) supondo-se definidos os valores f(m) para todo m < n. Então existe uma única f : N X nestas condições.

17 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 11/1 Conjuntos Finitos DEFINIÇÃO Diz-se que um conjunto X é finito se X = ou se existir n N e uma bijeção f : I n X. Neste caso, diz-se que X tem n elementos.

18 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 12/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Seja A I n. Suponha que existe f : A I n bijeção. Então A = I n.

19 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 12/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Seja A I n. Suponha que existe f : A I n bijeção. Então A = I n. COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se existem bijeções f : A I n e f : A I m, então m = n.

20 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 13/1 Conjuntos Finitos COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos, ambos com n elementos. Seja f : A B. São equivalentes: 1. f é injetiva; 2. f é sobre; 3. f é bijetiva.

21 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 13/1 Conjuntos Finitos COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos, ambos com n elementos. Seja f : A B. São equivalentes: 1. f é injetiva; 2. f é sobre; 3. f é bijetiva. COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se A é finito, não existe bijeção entre A e uma parte própria de A.

22 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 14/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n elementos e A X. Então A é finito e tem m n elementos.

23 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 14/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n elementos e A X. Então A é finito e tem m n elementos. COROLÁRIO Seja f : X Y. Tem-se: 1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito. 2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.

24 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 14/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n elementos e A X. Então A é finito e tem m n elementos. COROLÁRIO Seja f : X Y. Tem-se: 1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito. 2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito. COROLÁRIO X N é finito se, e somente se, for limitado, i.e. se existir p N tal que ( n X)n p.

25 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 14/1 Conjuntos Finitos TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n elementos e A X. Então A é finito e tem m n elementos. COROLÁRIO Seja f : X Y. Tem-se: 1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito. 2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito. COROLÁRIO X N é finito se, e somente se, for limitado, i.e. se existir p N tal que ( n X)n p. COROLÁRIO N não é finito.

26 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 15/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis DEFINIÇÃO Um conjunto X se diz infinito se não for finito; X se diz enumerável se for finito ou se existir uma bijeção N X.

27 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 16/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA Seja X um conjunto. São equivalentes: 1. X é infinito; 2. existe f : N X injetiva; 3. existe uma bijeção entre X e uma parte própria de X.

28 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 17/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA Seja X N. Então X é enumerável.

29 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 17/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA Seja X N. Então X é enumerável. COROLÁRIO Seja f : X Y. Tem-se: 1. Se Y é enumerável e f injetiva, então X é enumerável. 2. Se X é enumerável e f é sobre, então Y é enumerável.

30 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 18/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA N N é enumerável.

31 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 18/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA N N é enumerável. COROLÁRIO O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.

32 Conjuntos Finitos e Infinitos p. 18/1 Conjuntos Enumeráveis e não-enumeráveis TEOREMA N N é enumerável. COROLÁRIO O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. COROLÁRIO Seja (X i ) i N uma família enumerável de conjuntos enumeráveis. Então i N X i é enumerável.