Enumerabilidade. Capítulo 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Enumerabilidade. Capítulo 6"

Transcrição

1 Capítulo 6 Enumerabilidade No capítulo anterior, vimos uma propriedade que distingue o corpo ordenado dos números racionais do corpo ordenado dos números reais: R é completo, enquanto Q não é. Neste novo capítulo investigaremos mais uma propriedade que distingue os racionais dos reais. Lembremos que no primeiro capítulo, vimos como que o conjunto dos números naturais é aquele cujos elementos são usados para enumerar. Nesse sentido, nos perguntamos quais conjuntos que podem ser enumerados. Dizemos que um conjunto X não vazio é dito enumerável se acontece uma das duas possibilidades: - X é finito; - X é infinito e existe uma bijeção entre N e X. Mostrar que um conjunto é ou não enumerável depende da investigação da finitude e, caso necessário, da função bijetiva. Neste curso, duas vertentes serão utilizadas. Na primeira delas, veremos esta estrutura citada anteriormente. Na segunda, buscaremos mostrar que um conjunto é ou não enumerável a partir de proposições que facilitem o trabalho. Inicialmente, vejamos alguns exemplos. Exemplo 1. Mostre que o conjunto X 1 = {a, b, c, d} é enumerável. Como X 1 é finito, então segue da definição que ele é enumerável. Exemplo 2. Mostre que o conjunto X 2 dos números pares a partir do 6 é enumerável. Precisamos mostrar que X 2 é finito ou que é infinito e admite uma bijeção entre N e ele. Claramente, ele não é finito. Então buscamos uma bijeção entre N e X 2 através de operações que transformem um conjunto no outro. X N

2 Para o nosso problema, tanto faz encontrar uma bijeção entre N e X 2 ou entre X 2 e N. Importa apenas explicitar alguma das duas. Ao observarmos a tabela, temos que, dado um elemento x de X 2, primeiramente dividimos ele por 2 e depois subtraímos essa mesma quantidade. Logo, uma das bijeções desejadas é f : X 2 N tal que f(x) = (x/2) 2. Caso estivéssemos em busca da função bijetiva que parte de N até X 2, já não precisaríamos mais de tanto trabalho. Basta utilizar a mesma tabela, só que na ordem contrária: partindo de N, primeiramente somamos dois e, em seguida, dobramos este valor. Portanto, a inversa da f acima seria g : N X 2 tal que g(n) = 2(n + 2). Resta mostrar que essas funções são bijetivas. Para mostrar que f é injetiva, suponha que existam x 1 e x 2 tais que f(x 1 ) = f(x 2 ). Logo, f(x 1 ) = x = x = f(x 2) = x 1 = x 2. Para f ser sobrejetiva, resta mostrar que, para todo n em N, ele é atingido por alguém do domínio. De fato, como já construímos uma inversa para ela, vemos que o número natural n é atingido pelo elemento 2(n + 2) em X 2. Assim, todo número em N é imagem de algum elemento do domínio. Portanto, f é injetiva e sobrejetiva, ou seja, bijetiva. Exemplo 3. Mostre que o conjunto X 3 dos quadrados dos naturais pares é enumerável. A construção segue o mesmo padrão. Primeiramente, identificamos uma associação entre os elementos desse conjunto e os naturais. X N Com isto, conseguimos duas funções (potencialmente bijetivas). As funções f : X 3 N tal que f(x) = x/2 e g : N X 3 tal que g(n) = (2n) 2 são as candidatas. Exercício 6.1. Mostre que essas funções f e g acima são bijetivas. Exercício 6.2. Obtenha uma enumeração de N em cada um dos conjuntos abaixo, mostrando que cada função é uma bijeção. a) C 1 = {n N : n é divisível por 2 e não por 4}. b) C 2 = {m N : m é um múltiplo ímpar de 3}. c) C 3 = {n nn } n N. d) C 4 = {m N : m é um natural ímpar que é um quadrado perfeito }. A partir de agora veremos uma sequência de proposições que facilitarão na hora de mostrar se um conjunto é ou não é enumerável. Na maioria das vezes é possível concluir sem conseguir exibir a enumeração! Proposição 1. Um conjunto X não vazio de números naturais é finito se e somente se ele é limitado superiormente. Demonstração: ( ) Se é finito, então X = {x 1, x 2,..., x n }, sendo x i N para todo i. Ao tomarmos a soma de todos os termos, temos o número y = x 1 + x x n que é maior 33

3 que todos elementos de X, ou seja, serve como uma cota superior para o conjunto. Logo, X é limitado superiormente. ( ) Se X é limitado superiormente, então existe algum natural y tal que x i y, para todo x i X. Assim, X deve ser um subconjunto de {1, 2,..., y}, já que X N. Usaremos esta proposição para demonstrar um resultado bastante interessante, o qual comentaremos posteriormente. Proposição 2. Todo subconjunto X dos números naturais é enumerável. Demonstração: Temos duas opções para X: ou ele é um conjunto finito ou ele é um conjunto infinito. Caso seja finito, então ele é enumerável por definição. Se ele for infinito, consideramos a função ϕ : N X tal que ϕ(x) = x n de modo que: x 1 é o menor elemento de X. x 2 é o menor elemento de X \ {x 1 }. x 3 é o menor elemento de X \ {x 1, x 2 }. x 4 é o menor elemento de X \ {x 1, x 2, x 3 }.. X n+1 é o menor elemento de X \ {x 1, x 2, x 3,..., x n }. O Princípio da Boa Ordem nos garante que cada um desses menores elementos podem ser tomados, já que todo subconjunto não vazio dos naturais admite um elemento minimal. Note que esta função é construída indutivamente, já que é necessário o passo atual para construir o seguinte. Ainda mais: com isto, temos que x 1 < x 2 <... < x n <..., o que já nos garante que esta função é injetiva! Para mostrar que ϕ é sobrejetiva, suponha que existe elemento x de X tal que ϕ(x) = x n x para todo n. Isto significa que x > x n para todo n N; caso contrário, se houvesse j tal que x < x j, então x j não seria o menor elemento a ser escolhido daquela vez. Por outro lado, ter que x > x n nos garante uma contradição, já que, pela Proposição 1, um subconjunto não vazio de naturais é finito e, por hipótese, temos X infinito. A contradição ocorre devido à suposição da existência de tal x que não é imagem de alguém do domínio de ϕ. Assim, esta função é obrigatoriamente sobrejetiva e, consequentemente, é bijetiva. Note que esta última proposição traz um resultado que muda um pouco a nossa forma de lidar com a enumerabilidade. Todo subconjunto não vazio dos naturais é enumerável, mesmo que aparentemente não haja padrão nos termos da sequência. Por exemplo, até hoje não é conhecida nenhuma expressão que determine a sequência de números naturais primos. Por outro lado, como formam um subconjunto não vazio de N, são enumeráveis devido à Proposição 2. Com um pouco mais de trabalho, é possível estender esta Proposição para subconjuntos de conjuntos enumeráveis. Proposição 3. Sejam X, Y conjuntos tais que X Y. Se Y for enumerável, então X é enumerável. Demonstração: Começamos do mesmo modo. Há duas possibilidades para X, ser finito ou infinito. Se for finito, então é enumerável por definição. Se X for infinito, então necessariamente Y deve ser infinito (como pode caber um conjunto infinito dentro de outro finito?). Como Y é infinito e é enumerável, existe função f 1 bijeção entre N e Y. Lembre também que X Y implica a existência da função inclusão g 1, que faz g(x) = x para todo x X. 34

4 Resta agora mostrar que a função h 1 := f 1 g 1 é bijetiva. Entretanto, isto geralmente não é verdade! A inclusão é injetiva e a enumeração é bijetiva; portanto, a composição é injetiva. O que falha geralmente é a sobrejetividade. Para entender porque isso acontece, imagine que vários elementos de Y foram enumerados e ganharam rótulos. Todos os rótulos utilizados para os elementos de Y\X serão desprezados no momento em que tentarmos construir a enumeração para os elementos de X, o que significa que nem todos naturais serão utilizados na enumeração e h 1 não será sobrejetiva. O esquema a seguir, baseado num exemplo, mostra melhor esta ideia. Y y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y X y 1 y 3 y 7 y 8... Apesar da composição não ser suficientemente boa, existe um procedimento padrão para construir tal função sobrejetiva. Segundo o esquema acima, nem todos rótulos foram utilizados. Considere o conjunto h 1 (X) como sendo os rótulos dos elementos de X através da enumeração de Y (no exemplo acima, seria o conjunto {1, 3, 7, 8,...}. Note que, por serem rótulos, são um subconjunto de N. No diagrama de Venn acima, fica mais fácil de ver que h 1 (X) N. Da Proposição anterior, temos que h 1 (X) deve ser enumerável e, como não é finito - já que h 1 é injetiva e X é infinito -, existe bijeção f : h 1 (X) N. Por outro lado, a restrição do contradomínio de h 1 produz uma nova função, agora bijetiva (pois mantemos a lei de associação e o domínio): h : X h 1 (X) tal que h(x) = h 1 (x). Tomando a composição F := f h que liga X a N, temos uma composição de bijeções. Portanto, F é uma bijeção enter X e N, o que mostra que X é enumerável. 35

5 Até agora, a única forma de mostrar que um conjunto é enumerável é exibir uma bijeção entre ele e N ou que ele é finito. A próxima proposição reduz um pouco a preocupação em encontrar a função bijetiva. Proposição 4. São equivalentes: i) X é enumerável; ii) Existe função sobrejetiva de N em X; iii) Existe função injetiva de X em N. Demonstração: Comecemos mostrando que [i = ii]. Por hipótese, X é enumerável. Portanto, X é finito ou X é infinito e existe bijeção entre N e X. Se X for infinito, esta função citada é sobrejetiva, o que satisfaz a condição. O caso mais complexo é se X for finito. Considere X = {x 1, x 2,..., x n }. Defina f : N X de modo que f(i) = x i se 1 i n. Observe que todos x i são atingidos pelos naturais 1, 2,..., n, o que já nos garante a condição de sobrejeção. Para os demais inteiros, basta combiná-los a quaisquer elementos de X, já que só falta completar a associação para obtermos uma função. Por exemplo, podemos fazer f(i) = x 1 se i > n. [ii = iii]: Esta parte da demonstração é válida para quaisquer funções e não é exatamente um problema envolvendo enumerabilidade. Seja f uma função sobrejetiva de N em X. Para cada elementos x de X, considere sua imagem inversa, conjunto dos elementos n de N tal que f(n) = x. f 1 ({x}) = {n N : f(n) = x} Como f é sobrejetiva, a imagem inversa associada a todo elemento x de X é não vazia. Pelo Axioma da Escolha, podemos tomar qualquer n x f 1 ({x}) e criar uma função g : X N tal que g(x) = n x. Resta agora mostrar que g é injetiva. Suponha que existam x 1 e x 2 em X tais que g(x 1 ) = g(x 2 ) = n. Da definição de g, temos que n f 1 ({x 1 }) e n f 1 ({x 2 }), ou seja, f(n) = x 1 e f(n) = x 2. Mas como f é uma função, a única possibilidade é a que x 1 = x 2. Logo, g é injetiva. 36

6 [iii = i]: Suponha agora que exista uma função injetiva f de X em N. Analisemos as duas possibilidades para a quantidade de elementos de X. Se o conjunto for finito, automaticamente será enumerável por definição. Se for infinito, precisamos exibir a bijeção. A princípio, a função f da hipótese é a principal candidata, já que já é injetiva. Infelizmente, a sobrejeção falha em geral. Mas o argumento a ser utilizado é o mesmo da demonstração da Proposição 3. O conjunto f(x) = {n N : n = f(x)} é um subconjunto dos naturais (portanto, enumerável) e admitem uma correspondência biunívoca com os elementos de x, já que f é injetiva. Logo, a função g : X f(x) tal que g(x) = f(x) é uma bijeção desejada. Estas proposições demonstradas até agora serão a base para mostrar que alguns dos conjuntos numéricos são enumeráveis. Proposição 5. O conjunto dos inteiros é enumerável. Demonstração: Um dos pensamentos mais comuns é de que Z contém o dobro dos elementos de N. Agora veremos que, na verdade, os dois possuem mesma quantidade de elementos. Uma função construída de forma alternada resolve nosso problema: Fazemos, portanto, as seguintes associações de números inteiros aos naturais: Formalizamos isto em uma função definida em duas partes: { 2x, se x N f(x) = 2x + 1, se x Z \ N. Resta mostrar que esta função é bijetiva. A f é sobrejetiva pois todos os naturais são pares ou ímpares. Os números naturais pares são atingidos pelos números inteiros positivos e pelo zero; os naturais ímpares são atingidos pelos inteiros negativos. Suponha agora que existam dois inteiros x 1 e x 2 tais que f(x 1 ) = f(x 2 ). Note que, necessariamente, os dois devem ter mesmo sinal. Caso contrário, a imagem desses números deveria ser par e ímpar simultaneamente. 37

7 Se x 1 e x 2 são positivos, então, aplicando a função, temos 2x 1 = 2x 2 e, consequentemente, x 1 = x 2. Caso ocorra x 1 0 e x 2 0, acontece 2x = 2x 2 + 1, o que implica x 1 = x 2. Portanto, a f citada é bijetiva. Proposição 6. O conjunto dos números racionais é enumerável. Demonstração: Primeiramente, devemos relembrar como definimos os números racionais. A enumeração que encontraremos está atrelada àquele procedimento. Considere A = {(m, n) (Z\{0}) Z}. Este conjunto admite enumeração derivada da figura acima, que copia o procedimento que adotamos para os números inteiros: a enumeração segue alguma ordem de proximidade com a origem do eixo ou plano cartesiano. Neste caso, a ordem de enumeração seria: (1, 0) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 0) ( 1, 1) (1, 1) (2, 1) (2, 0) (2, 1) (2, 2) Devido ao comportamento dessa bijeção, não existe uma forma ótima de escrever quem é o par ordenado associado a um número natural escolhido. Demonstraremos que Q é enumerável mesmo sem conhecer explicitamente a bijeção. Caso consideremos apenas a condição da construção de números racionais, os pares ordenados (1, 1) e (2, 2), por exemplo, dariam origem aos mesmos racionais, embora admitissem rótulos 2 e 10, considerando a enumeração de A. Buscamos uma bijeção entre os naturais e os racionais, independendo da forma que escrevemos este número. Para resolver este problema, consideramos uma forma de escrever Q sem repetir nenhuma das frações: Q = {(m, n) A : MDC( m, n ) = 1}. Com isto, todo r em Q é escrito de forma única. Por outro lado, isto implica que Q A. Mas como A é enumerável, segue da Proposição 3 que o conjunto dos racionais é enumerável. 38

8 Mostrar que o conjunto dos reais não é enumerável é um pouco mais complicado. Faremos duas demonstrações nesse material. A primeira abordagem é a que utiliza uma ferramenta bastante interessante, que é o Teorema dos Intervalos Compactos Encaixados (um intervalo é compacto se é limitado e fechado). Proposição 7 (Teorema dos intervalos compactos encaixados). Dada sequência de intervalos então tem-se que [a i, b i ]. i=1 [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ]..., Demonstração: Observemos o que acontece na sequência dos a i. Como cada intervalo está contido no próximo, segue que a i < a i+1 para todo i N e podemos escrever a 1 < a 2 <... < a n <... Por outro lado, essa sequência de números reais é limitada. Qualquer um dos termos b k serve como cota superior. Caso isto não fosse verdade, existiria algum j, k N tal que a j > b k ; mas isto contradiz o fato de que os intervalos são da forma [a i, b i ]. Temos, portanto, uma sequência limitada de números reais. O Axioma do supremo nos diz que toda sequência limitada de números reais admite supremo. Denotemos por x o supremo do conjunto {a i } i N. Por hipótese, para todo i N valem x a i (pois x é supremo dos termos a i ) e x b i (porque x é a menor das cotas superiores). Assim, concluímos que x [a i, b i ] para todo i natural. Uma das demonstrações possíveis de que R não é enumerável segue do Teorema dos Intervalos Compactos Encaixados (TICE). A proposição a seguir será demonstrada de duas formas diferentes. Proposição 8. O conjunto dos números reais não é enumerável. Demonstração 1: (Via TICE) De acordo com a Proposição 4, basta mostrar que não pode existir função sobrejetiva de N em R. Suponha que exista função f : N R sobrejetiva. Escrevamos f(i) = x i, com i N. Para cada x i, construímos um intervalo [a i, b i ] de modo que x i [a i, b i ] e que ocorra [a i, b i ] [a i+1, b i+1 ]. O esquema abaixo mostra uma possível organização dos passos i = 1, 2 e 3. Do Teorema dos Intervalos Compactos Encaixados, temos que existe x R tal que x pertence a todos [a i, b i ], sendo i natural. Por hipótese, f é sobrejetiva. Logo, existe j N tal que f(j) = x j = x. Observemos a consequência disto acontecer quando consideramos a construção dos intervalos: x j [a j, b j ] e x [a j, b j ], o que gera uma contradição. Esta contradição decorre da suposição de que f 1 ({x}). Devido a isto, nenhuma função f de N a R pode ser sobrejetiva. Da proposição 4, R não é enumerável. 39

9 Demonstração 2: (Construção da Diagonal de Cantor) O objetivo desta demonstração é utilizar a demonstração de que o intervalo ]0, 1[ não é enumerável e, a partir disso, concluir a não enumerabilidade do conjunto dos reais. Suponha, por contradição, que o intervalo seja enumerável e considere f(i) = x i uma enumeração. Nesta enumeração, toda vez que um número tiver expansão decimal finita (racional), considere a versão em que a expansão é infinita e periódica. Por exemplo, ao invés de escrever 0, 234, tomamos 0, A partir dos números escolhidos por f, construímos um novo número x a partir da i-ésima casa decimal de x i (para todo i natural) da seguinte forma: Se a i-ésima casa decimal de x i for 1, então a i-ésima casa decimal de x é 2. Se a i-ésima casa decimal de x i não for 1, então a i-ésima casa decimal de x é 1. Exemplo: x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0, x 7 0, x 8 0, x 9 0, x 10 0, Da enumeração acima, o número construído é x = 0, O x criado participa em algum ponto da enumeração? Não. Caso participasse, x = x k para algum k natural. Da construção de x, temos que a k-ésima casa decimal desse número é diferente da k-ésima cada decimal de x k, o que gera um absurdo. Portanto, não existe função sobrejetiva de N em ]0, 1[, o que implica (Proposição 4) que este intervalo não é enumerável. Claramente, ]0, 1[ R. Caso o conjunto dos números reais fosse enumerável, todo subconjunto dele (inclusive o intervalo) seriam enumeráveis, o que contradiz a demonstração acima. Logo, R não pode ser enumerável. Exercício 6.3. Mostre que todo conjunto infinito contém um subconjunto enumerável. Exercício 6.4. Encontre uma decomposição N = X 1 x 2... X n... tal que os conjuntos X 1, X 2,..., X n,... sejam dois a dois disjuntos. Exercício 6.5. Sabemos que Q é um conjunto enumerável. Portanto, o conjunto { } n A = n + 1 : n N é enumerável e finito. a) Considere a aplicação f : N A tal que f(n) = n n+1. Mostre que f é injetiva e sobrejetiva. b) Determine a bijeção inversa g : A N da função f. c) Considere B = {1, 2} A. Explique porque B é enumerável e defina uma bijeção de N sobre B.. 40

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos Capítulo 2 Conjuntos Infinitos Não é raro encontrarmos exemplos equivocados de conjuntos infinitos, como a quantidade de grãos de areia na praia ou a quantidade de estrelas no céu. Acontece que essas quantidades,

Leia mais

Números naturais e cardinalidade

Números naturais e cardinalidade Números naturais e cardinalidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 5 de Janeiro de 2008 Resumo 1 Axiomas de Peano e o princípio da indução Intuitivamente, o conjunto N dos números naturais corresponde

Leia mais

Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso)

Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso) Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso) Roberto Imbuzeiro Oliveira 8 de Janeiro de 2014 1 Conjuntos e funções Neste curso procuraremos fundamentar de forma precisa os fundamentos

Leia mais

Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios

Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado

Leia mais

Os números reais. Capítulo O conjunto I

Os números reais. Capítulo O conjunto I Capítulo 4 Os números reais De todos os conjuntos numéricos que estudamos agora, a transição de um para outro sempre era construída de forma elementar A passagem do conjunto dos números racionais aos reais

Leia mais

Análise Real. IF Sudeste de Minas Gerais. Primeiro semestre de Prof: Marcos Pavani de Carvalho. Marcos Pavani de Carvalho

Análise Real. IF Sudeste de Minas Gerais. Primeiro semestre de Prof: Marcos Pavani de Carvalho. Marcos Pavani de Carvalho IF Sudeste de Minas Gerais Prof: Primeiro semestre de 2014 Proposição: É uma afirmação que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Exemplo: Sejam as proposições: A: A soma dos

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA: ANÁLISE REAL. Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro Curso: Matemática, 4º ano

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA: ANÁLISE REAL. Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro Curso: Matemática, 4º ano UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA: ANÁLISE REAL Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro Curso: Matemática, 4º ano CAMPO MOURÃO 203 Capítulo Conjuntos e Funções Neste capítulo vamos fazer uma breve

Leia mais

Funções. Funções. Cardinalidade de conjuntos. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.

Funções. Funções. Cardinalidade de conjuntos. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006. Funções Funções. Cardinalidade de conjuntos. Referência: Capítulo: 3 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 FUNÇÕES Funções-2 Definição de função Uma função

Leia mais

1 Conjuntos, Números e Demonstrações

1 Conjuntos, Números e Demonstrações 1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para

Leia mais

Contando o Infinito: os Números Cardinais

Contando o Infinito: os Números Cardinais Contando o Infinito: os Números Cardinais Sérgio Tadao Martins 4 de junho de 2005 No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us David Hilbert 1 Introdução Quantos elementos há no

Leia mais

Parte 1. Conjuntos finitos, enumeráveis e

Parte 1. Conjuntos finitos, enumeráveis e Parte 1 Conjuntos finitos, enumeráveis e não-enumeráveis Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1818) Rússia. A descoberta de que há diversos tipos de infinito deve-se a Georg Cantor. Mas, para os

Leia mais

Os números naturais. Capítulo Operações em N

Os números naturais. Capítulo Operações em N Capítulo 1 Os números naturais O conjunto dos números naturais, denotado por N, é aquele composto pelos números usados para contar. Na verdade, o mais correto seria dizer que é o conjunto dos números usados

Leia mais

O espaço das Ordens de um Corpo

O espaço das Ordens de um Corpo O espaço das Ordens de um Corpo Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é exibir corpos com infinitas ordens e exibir uma estrutura topológica ao conjunto das ordens de um corpo.

Leia mais

Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral

Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral 4 4 13 + 1 = 53 Em que temos a fórmula geral: Exatamente um

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 10 23 de maio de 2010 Aula 10 Pré-Cálculo 1 Funções injetivas Funções injetivas, sobrejetivas

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções

Leia mais

Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações

Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações Notação. Usaremos Nat para representar o conjunto dos números naturais; Int para representar o conjunto dos números inteiros. Para cada n Nat, [n] representa o

Leia mais

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. SANDRO MARCOS GUZZO RESUMO. A construção dos conjuntos numéricos é um assunto clássico na matemática, bem como o estudo das propriedades das operações

Leia mais

José Paulo Carneiro (0; 0) (0; 1) (0; 2) (0; 3) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 0) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 0) (3; 1) (3; 2) (3; 3)

José Paulo Carneiro (0; 0) (0; 1) (0; 2) (0; 3) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 0) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 0) (3; 1) (3; 2) (3; 3) A ENUMERABILIDADE DE E O CHÃO TRIANGULAR José Paulo Carneiro Nível Intermediário < < é < < e

Leia mais

Então (τ x, ) é um conjunto dirigido e se tomarmos x U U, para cada U vizinhança de x, então (x U ) U I é uma rede em X.

Então (τ x, ) é um conjunto dirigido e se tomarmos x U U, para cada U vizinhança de x, então (x U ) U I é uma rede em X. 1. Redes Quando trabalhamos no R n, podemos testar várias propriedades de um conjunto A usando seqüências. Por exemplo: se A = A, se A é compacto, ou se a função f : R n R m é contínua. Mas, em espaços

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Medida e Probabilidade Aluno: Daniel Cassimiro Carneiro da Cunha Professor: Andre Toom 1 Resumo Este trabalho contem um resumo dos principais

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula

Leia mais

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017 Análise I Notas de Aula 1 Alex Farah Pereira 2 3 23 de Agosto de 2017 1 Turma de Matemática. 2 Departamento de Análise-IME-UFF 3 http://alexfarah.weebly.com ii Conteúdo 1 Conjuntos 1 1.1 Números Naturais........................

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Prove que para todo x 0 IR

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

1 Conjuntos enumeráveis

1 Conjuntos enumeráveis Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales de maio de 007. Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, ] Q, são os números racionais

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito

Leia mais

MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04

MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04 MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04 Para efetuar cálculos, a forma mais eciente de representar os números reais é por meio de expressões decimais. Vamos falar um pouco

Leia mais

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e

Leia mais

Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais

Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Relatório de Pesquisa Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais Laís Ribeiro

Leia mais

Funções, Seqüências, Cardinalidade

Funções, Seqüências, Cardinalidade Funções, Seqüências, Cardinalidade Prof.: Rossini Monteiro Noções Básicas Definição (Função) Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um mapeamento de exatamente um elemento de B para cada elemento

Leia mais

Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação

Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação CAPÍTULO1 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 1.1 Introdução Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação f(x) = 0, onde f é uma função arbitrária. Quando escrevemos resolver numericamente,

Leia mais

Notas de Aula de Fundamentos de Matemática

Notas de Aula de Fundamentos de Matemática Universidade Estadual de Montes Claros Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Ciências Exatas Notas de Aula de Fundamentos de Matemática Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que

Leia mais

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos Tópicos de Matemática Lic. em Ciências da Computação Teoria elementar de conjuntos Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Tóp. de Matemática - LCC - 2010/2011 Dep. Matemática

Leia mais

3 O Teorema de Ramsey

3 O Teorema de Ramsey 3 O Teorema de Ramsey Nesse capítulo enunciamos versões finitas e a versão infinita do Teorema de Ramsey, além das versões propostas por Paris, Harrington e Bovykin, que serão tratadas no capítulos subseqüentes.

Leia mais

Dízimas e intervalos encaixados.

Dízimas e intervalos encaixados. Dízimas e intervalos encaixados. Recorde que uma dízima com n casas decimais é um número racional da forma a 0.a a 2...a n = a 0 + a 0 + a 2 0 2 + + a n n 0 n = a j 0 j em que a 0,a,...,a n são inteiros

Leia mais

O PRINCÍPIO DAS GAVETAS Paulo Cezar Pinto Carvalho - IMPA

O PRINCÍPIO DAS GAVETAS Paulo Cezar Pinto Carvalho - IMPA Nível Intermediário O PRINCÍPIO DAS GAVETAS Paulo Cezar Pinto Carvalho - IMPA Muitos problemas atraentes de matemática elementar exploram relações entre conjuntos finitos, expressas em linguagem coloquial.

Leia mais

Construção dos Números Reais

Construção dos Números Reais 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação

Leia mais

Axiomas de corpo ordenado

Axiomas de corpo ordenado Axiomas de corpo ordenado 2 a lista de exercícios Análise real A abordagem axiomática dos números reais previne erros que a intuição pode ocasionar e torna mais rigoroso o processo de demonstração matemática,

Leia mais

20 AULA. Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis LIVRO. META: Estabelecer os conceitos de cardinalidade e de conjuntos enumeráveis.

20 AULA. Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis LIVRO. META: Estabelecer os conceitos de cardinalidade e de conjuntos enumeráveis. 2 LIVRO Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis META: Estabelecer os conceitos de cardinalidade e de conjuntos enumeráveis. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Conceituar cardinalidade

Leia mais

Fabio Augusto Camargo

Fabio Augusto Camargo Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Introdução à Topologia Autor: Fabio Augusto Camargo Orientador: Prof. Dr. Márcio de Jesus Soares

Leia mais

ANÁLISE E TOPOLOGIA. 1 o semestre. Estudaremos neste curso alguns dos conceitos centrais da análise matemática: números reais, derivadas,

ANÁLISE E TOPOLOGIA. 1 o semestre. Estudaremos neste curso alguns dos conceitos centrais da análise matemática: números reais, derivadas, ANÁLISE E TOPOLOGIA 1 o semestre Estudaremos neste curso alguns dos conceitos centrais da análise matemática: números reais, derivadas, séries e integrais. 1. Espaços topológicos e métricos Todos estes

Leia mais

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA Concurso Público 2016 Conteúdo Teoria dos conjuntos. Razão e proporção. Grandezas proporcionais. Porcentagem. Regras de três simples. Conjuntos numéricos

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1

Leia mais

Definição: Um ou mais elementos que tenham características iguais ou atendam a uma regra que lhes permitam fazer parte de um mesmo meio.

Definição: Um ou mais elementos que tenham características iguais ou atendam a uma regra que lhes permitam fazer parte de um mesmo meio. CONJUNTOS Definição: Um ou mais elementos que tenham características iguais ou atendam a uma regra que lhes permitam fazer parte de um mesmo meio. Exemplos: A = {a, e, i, o, u} (conjunto das vogais do

Leia mais

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro MAT 1511 - Laboratório de Matemática I - Diurno - 2005 Profa. Martha Salerno Monteiro Representações decimais de números reais Um número real pode ser representado de várias maneiras, sendo a representação

Leia mais

Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia

Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia Giselle Moraes Resende Pereira Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação Tutorial

Leia mais

Curso de Matemática Aplicada.

Curso de Matemática Aplicada. Aula 1 p.1/25 Curso de Matemática Aplicada. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Sistema de números reais e complexos Aula 1 p.2/25 Aula 1 p.3/25 Conjuntos Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo

Leia mais

ALGORITMO DE EUCLIDES

ALGORITMO DE EUCLIDES Sumário ALGORITMO DE EUCLIDES Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com lulismartino@gmail.com PROFMAT - Colégio Pedro II 25 de agosto de 2017 Sumário 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares 1 Preliminares Neste curso não temos a pretensão de apresentar a teoria de conjuntos e seus axiomas, tão somente pretendemos apresentar um pequeno esboço

Leia mais

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c.

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Divisores Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Quando a é múltiplo de d dizemos também que a é divisível

Leia mais

Números Reais. Gláucio Terra. Departamento de Matemática IME - USP. Números Reais p. 1/2

Números Reais. Gláucio Terra. Departamento de Matemática IME - USP. Números Reais p. 1/2 Números Reais Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP Números Reais p. 1/2 Corpos DEFINIÇÃO Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por + e. Diz-se que (K,

Leia mais

Aula 4 Aula 5 Aula 6. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 4 Aula 5 Aula 6. Ana Carolina Boero.   Página: E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Números naturais Como somos apresentados aos números? Num primeiro momento, aprendemos

Leia mais

O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ANA PAULA CHAVES AND THIAGO PORTO 1. Introdução Os temas centrais deste texto - bases numéricas e critérios de divisibilidade

Leia mais

Conjuntos. Notações e Símbolos

Conjuntos. Notações e Símbolos Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas

Leia mais

Aula 1 Conjuntos. Meta. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de. conjuntos. Objetivos

Aula 1 Conjuntos. Meta. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de. conjuntos. Objetivos Conjuntos AULA 1 Aula 1 Conjuntos Meta conjuntos. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de Objetivos Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Definir as noções básicas de conjunto

Leia mais

Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização

Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização 1 Provas, lemas, teoremas e corolários Uma prova é um argumento lógico de que uma afirmação é verdadeira Um teorema

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação

Leia mais

Projeto de Iniciação Científica Pibic

Projeto de Iniciação Científica Pibic Projeto de Iniciação Científica Pibic ESTIMATIVAS DE CURVATURAS EM CURVAS DISCRETAS - GEOMETRIA PROJETIVA Alunos: Iuri Sobral/ Pedro Chaves Moreira Orientador: Marcos Craizer Introdução A geometria projetiva

Leia mais

Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados

Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados A lista abaixo é formada por um subconjunto dos exercícios dos seguintes livros: Djairo G. de Figueiredo, Análise na reta Júlio

Leia mais

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F.

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1.

Leia mais

A Construção dos Números Reais e suas Extensões

A Construção dos Números Reais e suas Extensões A Construção dos Números Reais e suas Extensões IVAN AGUILAR & MARINA SEQUEIROS DIAS Universidade Federal Fluminense 4 o Colóquio da Região Centro-Oeste Novembro de 2015 Sumário 1 Introdução 1 1.1 Noções

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 28 de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y

Leia mais

Máximos e mínimos em intervalos fechados

Máximos e mínimos em intervalos fechados Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Máximos e mínimos em intervalos fechados No texto em que aprendemos a Regra da Cadeia, fomos confrontados com o seguinte problema: a partir

Leia mais

Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos. Ana Cristina Vieira. Departamento de Matemática - ICEx - UFMG

Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos. Ana Cristina Vieira. Departamento de Matemática - ICEx - UFMG 1 Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos Ana Cristina Vieira Departamento de Matemática - ICEx - UFMG - 2011 1. Representações de Grupos Finitos 1.1. Fatos iniciais Consideremos

Leia mais

Propriedades das Funções Contínuas e Deriváveis

Propriedades das Funções Contínuas e Deriváveis Propriedades das Funções Contínuas e Deriváveis O Corpo dos Números Reais Prof. Doherty Andrade 2005/Agosto/20 Vamos rever algumas coisas que já sabemos sobre o corpo dos números reais. Por corpo entendemos

Leia mais

2 A Teoria de Conjuntos - Preliminares

2 A Teoria de Conjuntos - Preliminares 2 A Teoria de Conjuntos - Preliminares Esse capítulo se propõe a apresentar de maneira breve os resultados da teoria de conjuntos que serão utilizados nos capítulos subseqüentes. Começamos definindo as

Leia mais

1 Congruências e aritmética modular

1 Congruências e aritmética modular 1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)

Leia mais

15 AULA. Máximos e Mínimos LIVRO. META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais.

15 AULA. Máximos e Mínimos LIVRO. META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais. 1 LIVRO Máximos e Mínimos 1 AULA META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Maximizar e/ou minimizar função de duas variáveis a valores reais.

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra

Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra Notas de aula 1. Título: Subgrupos finitos de. 2. Breve descrição da aula A aula

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária.

III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Fuvest 2000) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições: I) a soma dos quadrados dos 1 e 4 algarismos é 58; II) a soma dos quadrados

Leia mais

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

Representação decimal dos números racionais

Representação decimal dos números racionais Representação decimal dos números racionais Alexandre Kirilov Elen Messias Linck 4 de abril de 2017 1 Introdução Um número é racional se puder ser escrito na forma a/b, com a e b inteiros e b 0; esta é

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento

Leia mais

2. A figura a seguir ilustra várias relações binárias em Quais são funções? Dentre as que são funções, quais as sobrejetivas? E quais as injetivas?

2. A figura a seguir ilustra várias relações binárias em Quais são funções? Dentre as que são funções, quais as sobrejetivas? E quais as injetivas? Seção 4.3 Funções 199 Exercícios 4.3 1. A figura a seguir representa uma função. a. Qual seu domínio? Qual seu contradomínio? Qual o conjunto imagem? b. Qual a imagem de 5? E de 8? c. Quais as pré-imagens

Leia mais

LÓGICA I ANDRÉ PONTES

LÓGICA I ANDRÉ PONTES LÓGICA I ANDRÉ PONTES 3. Introdução à Teoria dos Conjuntos Um conjunto é uma coleção ou um agregado de objetos. Introduzindo Conjuntos Ex.: O conjunto das vogais; O conjuntos de pessoas na sala; O conjunto

Leia mais

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS. Professor: Marcelo Silva Natal - RN, agosto de 2013.

TEORIA DOS CONJUNTOS. Professor: Marcelo Silva Natal - RN, agosto de 2013. TEORIA DOS CONJUNTOS Professor: Marcelo Silva marcelo.silva@ifrn.edu.br Natal - RN, agosto de 2013. 1 INTRODUÇÃO Um funcionário do departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando

Leia mais

Matemática Básica. Capítulo Conjuntos

Matemática Básica. Capítulo Conjuntos Capítulo 1 Matemática Básica Neste capítulo, faremos uma breve revisão de alguns tópicos de Matemática Básica necessários nas disciplinas de cálculo diferencial e integral. Os tópicos revisados neste capítulo

Leia mais

Teoria Combinatória dos Números

Teoria Combinatória dos Números Teoria Combinatória dos Números Samuel Feitosa, Yuri Lima, Davi Nogueira 27 de fevereiro de 2004 O objetivo deste artigo é mostrar algumas propriedades dos números inteiros, que combinadas podem originar

Leia mais

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E.

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS Injetiva FUNÇÕES Sobrejetiva Bijetiva Carlos Eurico Galvão Rosa UFPR 1 / 33 de Injetiva Sobrejetiva Bijetiva : Dados

Leia mais

Matemática Básica EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS. Dê um contraexemplo para cada sentença falsa.

Matemática Básica EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS. Dê um contraexemplo para cada sentença falsa. DR. SIMON G. CHIOSSI @ GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 NOME LEGÍVEL: Matemática Básica Prova V 1 turma A1 0 / 02 / 2016 MATRÍCULA: EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS (1) Sejam P(x) o predicado x 2 = x e Q(x) o predicado

Leia mais

Aula 12 HOMOMORFISMO DE ANÉIS PRÉ REQUISITOS. As aulas 6, 10 e 11. META. Estabelecer o conceito de Homomorfismo de Anéis.

Aula 12 HOMOMORFISMO DE ANÉIS PRÉ REQUISITOS. As aulas 6, 10 e 11. META. Estabelecer o conceito de Homomorfismo de Anéis. Aula 12 HOMOMORFISMO DE ANÉIS META Estabelecer o conceito de Homomorfismo de Anéis. OBJETIVOS Reconhecer e classificar homomorfismos de anéis. Aplicar as propriedades básicas dos homomorfismos na resolução

Leia mais

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS . CONJUNTOS NUMÉRICOS.. INTRODUÇÃO Uma exposição sistemática dos conjuntos numéricos, utilizados na Matemática, pode ser feita a partir dos números usados para contar, chamados de números naturais. Estes

Leia mais

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DO CPÍTULO 1 1) Escreva em notação simbólica: a) a é elemento de b) é subconjunto de c) contém d) não está contido em e) não contém f) a não é elemento de ) Enumere os elementos de cada um dos

Leia mais

x B A x X B B A τ x B 3 B 1 B 2

x B A x X B B A τ x B 3 B 1 B 2 1. Definição e exemplos. Bases. Dar uma topologia num conjunto X é especificar quais dos subconjuntos de X são abertos: Definição 1.1. Um espaço topológico é um par (X, τ) em que τ é uma colecção de subconjuntos

Leia mais

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção

Leia mais

A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há

A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há 1 Produto Cartesiano Par Ordenado A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há casos entretanto em que a ordem é importante. Daí a necessidade de se introduzir

Leia mais

O limite de uma função

O limite de uma função Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 O ite de uma função Se s(t) denota a posição de um carro no instante t > 0, então a velocidade instantânea v(t) pode ser obtida calculando-se

Leia mais

Aula 10: Decidibilidade

Aula 10: Decidibilidade Teoria da Computação Segundo Semestre, 2014 Aula 10: Decidibilidade DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Definição 10.1. Um problema de decisão P é um conjunto de questões para as quais as respostas

Leia mais

Gabarito da Primeira Prova MAT0234 Análise Matemática I Prof. Daniel Victor Tausk 13/09/2011

Gabarito da Primeira Prova MAT0234 Análise Matemática I Prof. Daniel Victor Tausk 13/09/2011 Gabarito da Primeira Prova MAT0234 Análise Matemática I Prof. Daniel Victor Tausk 13/09/2011 Questão 1. Sejam X, X conjuntos e φ : X X uma função. (a) (valor 1,25 pontos) Mostre que se A é uma σ-álgebra

Leia mais

Aula 10: Decidibilidade

Aula 10: Decidibilidade Teoria da Computação Aula 10: Decidibilidade DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Definição 10.1. Um problema de decisão P é um conjunto de questões para as quais as respostas são sim ou não. Exemplo

Leia mais

1 Conjunto dos números naturais N

1 Conjunto dos números naturais N Conjuntos numéricos Os primeiros números concebidos pela humanidade surgiram da necessidade de contar objetos. Porém, outras necessidades, práticas ou teóricas, provocaram a criação de outros tipos de

Leia mais

Cálculo Numérico. Santos Alberto Enriquez-Remigio FAMAT-UFU 2015

Cálculo Numérico. Santos Alberto Enriquez-Remigio FAMAT-UFU 2015 Cálculo Numérico Santos Alberto Enriquez-Remigio FAMAT-UFU 2015 1 Capítulo 1 Solução numérica de equações não-lineares 1.1 Introdução Lembremos que todo problema matemático pode ser expresso na forma de

Leia mais

Soluções dos exercícios propostos

Soluções dos exercícios propostos Indução e Recursão Soluções dos exercícios propostos 1 Iremos demonstrar que a expressão proposta a seguir é correta: i = 0 + + + + + (n 1) = n(n 1), para n > 0 0 i

Leia mais

σ-álgebras, geradores e independência

σ-álgebras, geradores e independência σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de

Leia mais

MA21 (2015) - Teste - Gabarito comentado. Problema 1 (OBM 2005) Na sequência de números

MA21 (2015) - Teste - Gabarito comentado. Problema 1 (OBM 2005) Na sequência de números MA21 (2015) - Teste - Gabarito comentado Problema 1 (OBM 2005) Na sequência de números 1, a, 2, b, c, d,... dizemos que o primeiro termo é 1, o segundo é a, o terceiro é 2, o quarto é b, o quinto é c e

Leia mais