Bases Matemáticas. Juliana Pimentel. 15 de junho de 2016
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- Isabella Esteves Gabeira
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1 Bases Matemáticas Juliana Pimentel 15 de junho de 016
2 Princípio de Indução Finita Uma propriedade particularmente importante dos números naturais é expressa pelo Princípio de Indução Finita (PIF). No que se segue, P(n) denota uma propriedade genérica, atribuível ao número natural genérico n. Se n satisfaz a propriedade P(n), dizemos que P(n) é verdadeira (caso contrário, que é falsa).
3 Princípio de Indução Finita Seja P(n) uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições: (PIF 1) P(n 0 ) é verdadeira para um certo n 0 N; (PIF ) Para todo k N, com k n 0, tem-se: se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então, P(n) é verdadeira para todo natural n n 0.
4 Para provarmos a validade de uma propriedade, devemos verificar as duas condições PIF 1 e PIF. A primeira delas, em geral, é a mais simples, pois trata-se somente de acharmos um número natural que satisfaz a propriedade. Para verificar a validade da condição PIF, deve-se: (i) tomar um número natural genérico k; (ii) assumir que a propriedade P vale para esse número, i.e. que P(k) é verdadeira (nos referimos a isso como sendo a hipótese indutiva); (iii) usando a hipótese indutiva, provar que o número k+1 (i.e. o sucessor de k) também satisfaz a propriedade P, ou seja, que P(k + 1) também é verdadeira.
5 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: Solução. P(n) : n = n(n + 1)/
6 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.
7 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.basta tomar n = 1.
8 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.basta tomar n = 1.De fato, a soma à esquerda na expressão acima é 1,
9 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.basta tomar n = 1.De fato, a soma à esquerda na expressão acima é 1, enquanto o termo à direita é 1(1 + 1) = 1
10 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.basta tomar n = 1.De fato, a soma à esquerda na expressão acima é 1, enquanto o termo à direita é 1(1 + 1) = 1 Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condição PIF,
11 Exemplo 1 Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros n números naturais positivos é n(n + 1)/. Em símbolos: P(n) : n = n(n + 1)/ Solução. Para verificar a condição PIF 1, basta encontrar um número positivo n que torne a propriedade P(n) verdadeira.basta tomar n = 1.De fato, a soma à esquerda na expressão acima é 1, enquanto o termo à direita é 1(1 + 1) = 1 Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condição PIF,devemos tomar um número natural positivo qualquer k N e mostrar que vale a implicação P(k) P(k + 1).
12 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é:
13 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: P(k) : k = k(k + 1)
14 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: Temos então P(k) : k = k(k + 1) 1++ +k+(k+1) =
15 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: Temos então 1++ +k+(k+1) = P(k) : k = k(k + 1) + k(k + 1)
16 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: Temos então 1++ +k+(k+1) = P(k) : k = k(k + 1) +(k+1) = k(k + 1)
17 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: Temos então 1++ +k+(k+1) = P(k) : k = k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1) + (k + 1) +(k+1) = = =
18 Continuação... Logo, a nossa hipótese indutiva é: Temos então 1++ +k+(k+1) = P(k) : k = k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1) + (k + 1) +(k+1) = = (k + 1)(k + ) (k + 1)((k + 1) + 1) = = Assim, verificamos que, se P(k) é verdadeira, também o é P(k + 1) : k + (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1). Donde, pelo PIF, concluímos que P(n) é verdadeira para todo natural n > 1, i.e. para todo natural positivo.
19 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.
20 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva P(k) : k 1 + k.
21 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida. P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1)
22 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos k+1 = P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1)
23 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos k+1 =. k P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1)
24 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1) k+1 =. k.(1 + k) =
25 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1) k+1 =. k.(1 + k) = + k
26 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1) k+1 =. k.(1 + k) = + k + k =
27 Exemplo Mostrar por indução a propriedade P(n) : n 1 + n. Solução. Para n = 0 a propriedade é verdadeira, pois 0 = Assim, a condição PIF 1 é satisfeita.para provar a condição PIF, tomemos qualquer k N e assumamos a hipótese indutiva Queremos mostrar que é válida.temos P(k) : k 1 + k. P(k + 1) : (k+1) 1 + (k + 1) k+1 =. k.(1 + k) = + k + k = 1 + (k + 1). A condição PIF, portanto, também é válida. Logo, pelo PIF, a propriedade P vale para todo número natural.
28 Princípio de Indução Finita - a versão: Seja P(n) uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições: (PIF 1) P(n 0 ) é verdadeira para um certo n 0 N; (PIF ) Para todo n N, com n n 0, tem-se: se P(k) é verdadeira para todo k N, com n 0 k < n, então P(n) é verdadeira. Então, P(n) é verdadeira para todo natural n n 0.
29 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira.
30 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira. Vamos verificar PIF (a versão). Fixado n N(n ), nossa hipótese indutiva é: se k < n, então k é primo ou é produto de primos. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira.
31 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira. Vamos verificar PIF (a versão). Fixado n N(n ), nossa hipótese indutiva é: se k < n, então k é primo ou é produto de primos. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira.evidentemente, n é primo ou não é. Se for primo, então P(n) é verdadeira.
32 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira. Vamos verificar PIF (a versão). Fixado n N(n ), nossa hipótese indutiva é: se k < n, então k é primo ou é produto de primos. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira.evidentemente, n é primo ou não é. Se for primo, então P(n) é verdadeira.se n não é primo, então deve existir um número primo p que divide n, i.e.,
33 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira. Vamos verificar PIF (a versão). Fixado n N(n ), nossa hipótese indutiva é: se k < n, então k é primo ou é produto de primos. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira.evidentemente, n é primo ou não é. Se for primo, então P(n) é verdadeira.se n não é primo, então deve existir um número primo p que divide n, i.e.,n = p.k, para um certo k N. Ora, como k > 1 (pois p n) e k < n (pois p > 1) podemos usar a hipótese indutiva para k:
34 Exemplo 3 Prove que P(n) : n é primo ou é produto de números primos é verdadeira, para todo n > 1. Solução. A condição PIF 1 é satisfeita, pois P() é verdadeira. Vamos verificar PIF (a versão). Fixado n N(n ), nossa hipótese indutiva é: se k < n, então k é primo ou é produto de primos. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira.evidentemente, n é primo ou não é. Se for primo, então P(n) é verdadeira.se n não é primo, então deve existir um número primo p que divide n, i.e.,n = p.k, para um certo k N. Ora, como k > 1 (pois p n) e k < n (pois p > 1) podemos usar a hipótese indutiva para k:k é primo ou é produto de primos. Consequentemente, n = p.k é um produto de primos, i.e., P(n) é verdadeira. Assim, P vale para todo natural maior que 1.
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