Matemática I Capítulo 08 Função Inversa

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1 Nome: Nº Curso: Mineração Interado Disciplina: Matemática I Ano Prof. Leonardo Data: / /06 Matemática I Capítulo 08 Função Inversa 8. Função Inversa Consideremos os conjuntos A = {0,, 4, 6, 8} e B = {, 3, 5, 7, 9} e a função f: A B definida por y = x +. A função f está representada no diarama abaixo: A função f é uma função bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y = x +, além disso o contradomínio da função é iual à sua imaem. Como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x = y -, portanto temos uma outra função : B A, de modo que x = y - ou (y) = y -. Essa função está representada no diarama abaixo: Note que o domínio de f é o conjunto imaem de, e o conjunto imaem de f é o domínio de. Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y enquanto a função leva y até x. A função : B A recebe o nome de função inversa de f. Notação: f (lê-se função inversa de f) Quando queremos, a partir da sentença de y = f(x), obter a sentença de f (x), devemos seuir os seuintes passos: ) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x; ) Isolamos o y. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade

2 Exemplo Obter a função inversa de f: R R definida por y = x + : Resolução ) Trocamos x por y e y por x: x = y + ) Isolamos o y: Portanto, a função inversa de f é: f (x) = x. Observação: Para que uma função f admita a inversa f é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa. Exemplo Seja a função f: R R definida por f(x) = x² +. Determinar a sua inversa, caso exista. Resolução Tomemos, por exemplo, os elementos x = 3 e x = -3 do domínio de f. Como ambos tem como imaem, podemos concluir que a função não é injetora e portanto, também não é bijetora. Assim, a função f: R R definida por f(x) = x² + não possui função inversa. Observação: Os ráficos de uma função inversível f e de sua inversa f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do e quadrantes, em razão de o domínio de f ser a imaem de f e de a imaem de f ser o domínio de f. Observe no exemplo o ráfico da função f(x) = x + e de sua inversa f (x) = x no mesmo plano cartesiano: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade

3 Exercícios de Fixação Função Inversa 0. (Unicamp 06) Considere o ráfico da função y f(x) exibido na fiura a seuir. O ráfico da função inversa y f (x) é dado por a) b) c) d) 0. (Uece 06) A função real de variável real definida por valor de [f(0) f (0) f ( )] é a). b) 4. c) 9. d) 6. f(x) é invertível. Se f é sua inversa, então, o 03. (Uepb 04) Uma função inversível f, definida em R { 3} por onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y 0 é: a) b) 3 c) d) e) zero 5 f x, 3 tem contradomínio R { y 0 } IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 04. (Espcex (Aman) 03) Na fiura abaixo está representado o ráfico de uma função real do rau f(x). A expressão alébrica que define a função inversa de f(x) é x a) y b) y c) y x d) y x e) y x 05. (G - cftm 03) Analise o ráfico da função abaixo. O ráfico que representa corretamente sua função inversa é a) b) c) d) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 06. (Uern 0) Seja f(x) uma função do primeiro rau que intercepta os eixos cartesianos nos pontos (0, 4) e (, 0). O produto dos coeficientes da função inversa de f(x) é a). b). c) 4. d). 07. (Ufsj 0) Considere a função a) {x R x } e b) {x R x c) {x R x } e d) {x R x 3 x. O domínio de (x) e a função inversa de (x) são, respectivamente, x x x 3 x x 3 x x 3 x x x 3 x e x 3 } e e x 3 } e é 08. (Uepb 0) Dada a função bijetora f(x) = 3x+, D(f) = R {}, o domínio de f (x) x a) R {3} b) R c) R {} d) R { } e) R { 3 } 09. (Uft 008) Seja f: ] -, ] [-, [ definida por f(x) = x - 4x + 3 Então a função inversa f é: a) f (x) = - b) f c) f (x) = (x) = - d) f (x) = + 0. (G - cftm 006) Seja a função definida por f(x) = x+, x e 4x+ 4 f = x+. A soma (a + b) é: ax+b a) 0 b) c) 3 d) 5 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 . (Puccamp 00) Seja f a função de R em R dada por f(x)= -x. Um esboço ráfico da função f, inversa de f, é a) b) c) d) e). (Ufrrj 00) Determine o valor real de a para que f(x) = x+ x+a possua como inversa a função f = 3x x. 3. (Ufsm 000) Seja f: R R uma função definida por f(x)=mx+p. Se f passa pelos pontos A(0,4) e B(3,0), então f passa pelo ponto a) (8, -) b) (8, 3) c) (8, -3) d) (8, ) e) (8, ) 4. (Puccamp 999) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de x por cento da população local era de, aproximadamente, y = 300x milhares de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x iual a 400 x a) 4 3 b) 300y 400 y c) 300y 400+y d) 400y 300 y e) 400y 300+y 5. (Ufrrj 999) Seja f: R R uma função definida por f(x)=ax+b. Se o ráfico da função f passa pelos pontos A (, ) e B (, 3), a função f (inversa de f ) é a) f (x) = x + b) f (x) = - x + c) f (x) = x - d) f (x) = x +. e) f (x) = - x +. GABARITO 0 C 0 C 03 D 04 C 05 A 06 B 07 C 08 A 09 A 0 C C 3 3 C 4 E 5 C IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6