Sistemas de Vírgula Flutuante

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1 Luiz C. G. Lopes Departamento de Matemática e Engenharias Universidade da Madeira MAT /08

2 Definição. Diz-se que um número real x R\{0} é um número de vírgula flutuante normalizado se forem verificadas as seguintes condições: x = m β e m = ±0,d 1 d 2... d p = ±( d 1 β + d 2 β dp β p ), p N 1 d 1 β 1, 0 d i β 1, i = 2,..., p e min e e max, e min, e max Z, e min 0, e max 1 onde: β é a base do sistema de numeração, β 2; e é o expoente inteiro da base, sendo e min o menor e e max o maior expoente; m é a mantissa; p é a precisão, isto é, a quantidade máxima de dígitos usados na representação do número, e d i, i = 1,..., p são os dígitos da mantissa.

3 Definição. Diz-se que um número real x R\{0} é um número de vírgula flutuante normalizado se forem verificadas as seguintes condições: x = m β e m = ±0,d 1 d 2... d p = ±( d 1 β + d 2 β dp β p ), p N 1 d 1 β 1, 0 d i β 1, i = 2,..., p e min e e max, e min, e max Z, e min 0, e max 1 onde: β é a base do sistema de numeração, β 2; e é o expoente inteiro da base, sendo e min o menor e e max o maior expoente; m é a mantissa; p é a precisão, isto é, a quantidade máxima de dígitos usados na representação do número, e d i, i = 1,..., p são os dígitos da mantissa.

4 Definição. Chama-se sistema de numeração de vírgula flutuante a união de todos os números de vírgula flutuante com o zero, que não tem representação normalizada e é escrito da seguinte forma: 0 = 0, 000 } {{... 0 } β e min. p Um sistema de numeração de vírgula flutuante de base β, precisão p, tendo e min e e max como limites do domínio de variação do expoente, denota-se por F = F(β, p, e min, e max ).

5 Definição. Chama-se sistema de numeração de vírgula flutuante a união de todos os números de vírgula flutuante com o zero, que não tem representação normalizada e é escrito da seguinte forma: 0 = 0, 000 } {{... 0 } β e min. p Um sistema de numeração de vírgula flutuante de base β, precisão p, tendo e min e e max como limites do domínio de variação do expoente, denota-se por F = F(β, p, e min, e max ).

6 Exemplo. Sistemas de vírgula flutuante de algumas antigas calculadoras e computadores (em precisão simples) e formatos estabelecidos na norma IEEE 754: F(β, p, e min, e max ) β p e min e max HP 41CV HP 48GX Burroughs B IBM Cray T Cray Cray X-MP IEEE (simples) IEEE (duplo)

7 Exemplo. Sistemas de vírgula flutuante de algumas antigas calculadoras e computadores (em precisão simples) e formatos estabelecidos na norma IEEE 754: F(β, p, e min, e max ) β p e min e max HP 41CV HP 48GX Burroughs B IBM Cray T Cray Cray X-MP IEEE (simples) IEEE (duplo)

8 Exemplo. Sistemas de vírgula flutuante de algumas antigas calculadoras e computadores (em precisão simples) e formatos estabelecidos na norma IEEE 754: F(β, p, e min, e max ) β p e min e max HP 41CV HP 48GX Burroughs B IBM Cray T Cray Cray X-MP IEEE (simples) IEEE (duplo)

9 Exemplo. Sistemas de vírgula flutuante de algumas antigas calculadoras e computadores (em precisão simples) e formatos estabelecidos na norma IEEE 754: F(β, p, e min, e max ) β p e min e max HP 41CV HP 48GX Burroughs B IBM Cray T Cray Cray X-MP IEEE (simples) IEEE (duplo)

10 Exemplo. Sistemas de vírgula flutuante de algumas antigas calculadoras e computadores (em precisão simples) e formatos estabelecidos na norma IEEE 754: F(β, p, e min, e max ) β p e min e max HP 41CV HP 48GX Burroughs B IBM Cray T Cray Cray X-MP IEEE (simples) IEEE (duplo)

11 Num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), de base β, como o primeiro dígito deve ser diferente de zero, restam (β 1) dígitos possíveis para a primeira posição após a vírgula, podendo-se ter β dígitos nas restantes (p 1) posições; assim, o número de mantissas positivas é dado por (β 1) β p 1. Como cada uma dessas mantissas pode ser acompanhada por um dos (e max e min + 1) expoentes possíveis, a quantidade de números de vírgula flutuante positivos é igual a (β 1)(β p 1 )(e max e min + 1). Logo, incluindo os números negativos e o zero, obtém-se a cardinalidade de F: #F = 2(β 1)(β p 1 )(e max e min + 1) + 1.

12 Num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), de base β, como o primeiro dígito deve ser diferente de zero, restam (β 1) dígitos possíveis para a primeira posição após a vírgula, podendo-se ter β dígitos nas restantes (p 1) posições; assim, o número de mantissas positivas é dado por (β 1) β p 1. Como cada uma dessas mantissas pode ser acompanhada por um dos (e max e min + 1) expoentes possíveis, a quantidade de números de vírgula flutuante positivos é igual a (β 1)(β p 1 )(e max e min + 1). Logo, incluindo os números negativos e o zero, obtém-se a cardinalidade de F: #F = 2(β 1)(β p 1 )(e max e min + 1) + 1.

13 Num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), de base β, como o primeiro dígito deve ser diferente de zero, restam (β 1) dígitos possíveis para a primeira posição após a vírgula, podendo-se ter β dígitos nas restantes (p 1) posições; assim, o número de mantissas positivas é dado por (β 1) β p 1. Como cada uma dessas mantissas pode ser acompanhada por um dos (e max e min + 1) expoentes possíveis, a quantidade de números de vírgula flutuante positivos é igual a (β 1)(β p 1 )(e max e min + 1). Logo, incluindo os números negativos e o zero, obtém-se a cardinalidade de F: #F = 2(β 1)(β p 1 )(e max e min + 1) + 1.

14 O menor número de vírgula flutuante positivo, num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), é: cujo valor decimal é dado por: b = 0,1 } 00 {{... 0 } β e min, p 1 b = (β e min 1 ) 10. O maior número de vírgula flutuante, em F(β, p, e min, e max ), é: B = 0,[β 1][β 1]... [β 1] β emax.

15 O menor número de vírgula flutuante positivo, num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), é: cujo valor decimal é dado por: b = 0,1 } 00 {{... 0 } β e min, p 1 b = (β e min 1 ) 10. O maior número de vírgula flutuante, em F(β, p, e min, e max ), é: B = 0,[β 1][β 1]... [β 1] β emax.

16 O menor número de vírgula flutuante positivo, num sistema de vírgula flutuante F(β, p, e min, e max ), é: cujo valor decimal é dado por: b = 0,1 } 00 {{... 0 } β e min, p 1 b = (β e min 1 ) 10. O maior número de vírgula flutuante, em F(β, p, e min, e max ), é: B = 0,[β 1][β 1]... [β 1] β emax.

17 Toda a mantissa tem como primeiro dígito, antes da vírgula, o zero. Logo, m < 1. Por outro lado, se m < β 1, não teríamos um número de vírgula flutuante normalizado, pois, para que isto aconteça, o primeiro dígito após a vírgula não pode ser nulo; portanto, m β 1. Assim, para qualquer mantissa m, vale: β 1 m < 1.

18 Toda a mantissa tem como primeiro dígito, antes da vírgula, o zero. Logo, m < 1. Por outro lado, se m < β 1, não teríamos um número de vírgula flutuante normalizado, pois, para que isto aconteça, o primeiro dígito após a vírgula não pode ser nulo; portanto, m β 1. Assim, para qualquer mantissa m, vale: β 1 m < 1.

19 Toda a mantissa tem como primeiro dígito, antes da vírgula, o zero. Logo, m < 1. Por outro lado, se m < β 1, não teríamos um número de vírgula flutuante normalizado, pois, para que isto aconteça, o primeiro dígito após a vírgula não pode ser nulo; portanto, m β 1. Assim, para qualquer mantissa m, vale: β 1 m < 1.

20 Não levando em conta os diversos códigos para representação dos números negativos inteiros, tem-se que: x F, x F. Deve-se observar que, no caso da representação em complemento de dois, pode-se ter x F e x / F, quando x for o maior inteiro positivo.

21 Não levando em conta os diversos códigos para representação dos números negativos inteiros, tem-se que: x F, x F. Deve-se observar que, no caso da representação em complemento de dois, pode-se ter x F e x / F, quando x for o maior inteiro positivo.

22 O conjunto F de números de vírgula flutuante é limitado, finito e discreto. Os números de F não se encontram uniformemente distribuídos, existindo, no entanto, diferentes zonas onde eles aparecem distribuídos de maneira uniforme.

23 O conjunto F de números de vírgula flutuante é limitado, finito e discreto. Os números de F não se encontram uniformemente distribuídos, existindo, no entanto, diferentes zonas onde eles aparecem distribuídos de maneira uniforme.

24 O conjunto F de números de vírgula flutuante é limitado, finito e discreto. Os números de F não se encontram uniformemente distribuídos, existindo, no entanto, diferentes zonas onde eles aparecem distribuídos de maneira uniforme.

25 A quantidade constante de números de vírgula flutuante pertencentes a cada uma dessas zonas, definidas pelas potências sucessivas da base, corresponde ao número de distintas mantissas positivas. Portanto, em F(β, p, e min, e max ), a quantidade de números de máquina entre potências sucessivas da base é dada por: c = (β 1)β p 1.

26 A quantidade constante de números de vírgula flutuante pertencentes a cada uma dessas zonas, definidas pelas potências sucessivas da base, corresponde ao número de distintas mantissas positivas. Portanto, em F(β, p, e min, e max ), a quantidade de números de máquina entre potências sucessivas da base é dada por: c = (β 1)β p 1.

27 Denomina-se região de underflow a região entre o menor número de vírgula flutuante positivo e o zero e, simetricamente, entre o maior número negativo e o zero. Região de underflow: ( b, 0) (0, b) As regiões situadas além do maior e aquém do menor dos números de vírgula flutuante constituem a região de overflow. Região de overflow: (, B) (B, )

28 Denomina-se região de underflow a região entre o menor número de vírgula flutuante positivo e o zero e, simetricamente, entre o maior número negativo e o zero. Região de underflow: ( b, 0) (0, b) As regiões situadas além do maior e aquém do menor dos números de vírgula flutuante constituem a região de overflow. Região de overflow: (, B) (B, )

29 Denomina-se região de underflow a região entre o menor número de vírgula flutuante positivo e o zero e, simetricamente, entre o maior número negativo e o zero. Região de underflow: ( b, 0) (0, b) As regiões situadas além do maior e aquém do menor dos números de vírgula flutuante constituem a região de overflow. Região de overflow: (, B) (B, )

30 Denomina-se região de underflow a região entre o menor número de vírgula flutuante positivo e o zero e, simetricamente, entre o maior número negativo e o zero. Região de underflow: ( b, 0) (0, b) As regiões situadas além do maior e aquém do menor dos números de vírgula flutuante constituem a região de overflow. Região de overflow: (, B) (B, )

31 Sistemas de numeração de vírgula flutuante Uma representação simplificada de um sistema de vírgula flutuante F na recta real, destacando as regiões de underflow e de overflow, é apresentada a seguir.

32 Sistemas de numeração de vírgula flutuante Uma representação simplificada de um sistema de vírgula flutuante F na recta real, destacando as regiões de underflow e de overflow, é apresentada a seguir.

33 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

34 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

35 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

36 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

37 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

38 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Como a base do sistema de numeração de vírgula flutuante é 2 e a precisão 3, as mantissas possíveis são 0,100, 0,101, 0,110 e 0,111. Os expoentes da base são 1, 0, 1 e 2. A cardinalidade de F é 33. O maior número pertencente a F é (0, ) 2. O menor número de vírgula flutuante positivo é (0, ) 2 = (0,25) 10.

39 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

40 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

41 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

42 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

43 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

44 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

45 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

46 Os valores decimais correspondentes aos números de vírgula flutuante positivos aparecem no corpo do quadro a seguir. e m 0,100 0,101 0,110 0, /4 5/16 3/8 7/16 0 1/2 5/8 3/4 7/ /4 3/2 7/ /2 3 7/2 (0, ) 2 = (0,01) 2 = = 1 4 = (0,25) 10. (0, ) 2 = (11,1) 2 = = 7 2 = (3,5) 10

47 A região de underflow na base 2 é ( 0, , 0, ) (0, , 0, ), que, na base 10, corresponde a ( 1 4, 0) (0, 1 4 ). Na base 2, a região de overflow é (, 0, ) (0, , ), que corresponde, na base 10, a (, 7 2 ) ( 7 2, ).

48 A região de underflow na base 2 é ( 0, , 0, ) (0, , 0, ), que, na base 10, corresponde a ( 1 4, 0) (0, 1 4 ). Na base 2, a região de overflow é (, 0, ) (0, , ), que corresponde, na base 10, a (, 7 2 ) ( 7 2, ).

49 A região de underflow na base 2 é ( 0, , 0, ) (0, , 0, ), que, na base 10, corresponde a ( 1 4, 0) (0, 1 4 ). Na base 2, a região de overflow é (, 0, ) (0, , ), que corresponde, na base 10, a (, 7 2 ) ( 7 2, ).

50 A região de underflow na base 2 é ( 0, , 0, ) (0, , 0, ), que, na base 10, corresponde a ( 1 4, 0) (0, 1 4 ). Na base 2, a região de overflow é (, 0, ) (0, , ), que corresponde, na base 10, a (, 7 2 ) ( 7 2, ).

51 As leis que valem para a aritmética em R não são válidas num sistema de vírgula flutuante F. Assim, sendo x y, {+,,, /}, uma operação aritmética em F, verifica-se que: x y x + y x y x y x y x y x y x/y Como consequência, algumas das propriedades básicas de R, como a associatividade e a distributividade, em geral não se verificam em F.

52 As leis que valem para a aritmética em R não são válidas num sistema de vírgula flutuante F. Assim, sendo x y, {+,,, /}, uma operação aritmética em F, verifica-se que: x y x + y x y x y x y x y x y x/y Como consequência, algumas das propriedades básicas de R, como a associatividade e a distributividade, em geral não se verificam em F.

53 As leis que valem para a aritmética em R não são válidas num sistema de vírgula flutuante F. Assim, sendo x y, {+,,, /}, uma operação aritmética em F, verifica-se que: x y x + y x y x y x y x y x y x/y Como consequência, algumas das propriedades básicas de R, como a associatividade e a distributividade, em geral não se verificam em F.

54 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Se x = 5 8, y = 3 8 e z = 3 4, então: (x y) z = ( (0, ) (0, ) ) (0, ) = (0,101 0,011) 0,110 = (1,11) 2 x (y z) = 0,101 (0,011 0,110) = 0,101 1,001/ = 0,101 1,00 = 1,101/ = (1,10) 2 Logo, (x y) z x (y z).

55 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Se x = 5 8, y = 3 8 e z = 3 4, então: (x y) z = ( (0, ) (0, ) ) (0, ) = (0,101 0,011) 0,110 = (1,11) 2 x (y z) = 0,101 (0,011 0,110) = 0,101 1,001/ = 0,101 1,00 = 1,101/ = (1,10) 2 Logo, (x y) z x (y z).

56 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Se x = 5 8, y = 3 8 e z = 3 4, então: (x y) z = ( (0, ) (0, ) ) (0, ) = (0,101 0,011) 0,110 = (1,11) 2 x (y z) = 0,101 (0,011 0,110) = 0,101 1,001/ = 0,101 1,00 = 1,101/ = (1,10) 2 Logo, (x y) z x (y z).

57 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Se x = 5 8, y = 3 8 e z = 3 4, então: (x y) z = ( (0, ) (0, ) ) (0, ) = (0,101 0,011) 0,110 = (1,11) 2 x (y z) = 0,101 (0,011 0,110) = 0,101 1,001/ = 0,101 1,00 = 1,101/ = (1,10) 2 Logo, (x y) z x (y z).

58 Exemplo. Seja F = F(2, 3, 1, 2). Se x = 5 8, y = 3 8 e z = 3 4, então: (x y) z = ( (0, ) (0, ) ) (0, ) = (0,101 0,011) 0,110 = (1,11) 2 x (y z) = 0,101 (0,011 0,110) = 0,101 1,001/ = 0,101 1,00 = 1,101/ = (1,10) 2 Logo, (x y) z x (y z).

59 Se x = 7 8, y = 5 4 e z = 3 8, tem-se: x (y z) = (0, ) ( (0, ) (0, ) ) = 0,111 (1,01 0,011) = 0,111 1,101/ = 0,111 1,10 = 1,010/1/ = (1,01) 2 (x y) (x z) = (0,111 1,01) (0,111 0,011) = 1,000/1/1/ 0,01010/1/ = 1,00 0,0101 = 1,010/1/ = (1,10) 2 Logo, x (y z) (x y) (x z).

60 Se x = 7 8, y = 5 4 e z = 3 8, tem-se: x (y z) = (0, ) ( (0, ) (0, ) ) = 0,111 (1,01 0,011) = 0,111 1,101/ = 0,111 1,10 = 1,010/1/ = (1,01) 2 (x y) (x z) = (0,111 1,01) (0,111 0,011) = 1,000/1/1/ 0,01010/1/ = 1,00 0,0101 = 1,010/1/ = (1,10) 2 Logo, x (y z) (x y) (x z).

61 Se x = 7 8, y = 5 4 e z = 3 8, tem-se: x (y z) = (0, ) ( (0, ) (0, ) ) = 0,111 (1,01 0,011) = 0,111 1,101/ = 0,111 1,10 = 1,010/1/ = (1,01) 2 (x y) (x z) = (0,111 1,01) (0,111 0,011) = 1,000/1/1/ 0,01010/1/ = 1,00 0,0101 = 1,010/1/ = (1,10) 2 Logo, x (y z) (x y) (x z).

62 Se x = 7 8, y = 5 4 e z = 3 8, tem-se: x (y z) = (0, ) ( (0, ) (0, ) ) = 0,111 (1,01 0,011) = 0,111 1,101/ = 0,111 1,10 = 1,010/1/ = (1,01) 2 (x y) (x z) = (0,111 1,01) (0,111 0,011) = 1,000/1/1/ 0,01010/1/ = 1,00 0,0101 = 1,010/1/ = (1,10) 2 Logo, x (y z) (x y) (x z).

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