Grupo de Classes de Ideais em Reticulados Quadráticos

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1 Grupo de Classes de Ideais em Reticulados Quadráticos J. C. Silva, F. S. Costa Depto de Matemática e Informática, DEMATI, UEMA, , São Luís, MA joaocoelho@cecen.uema.br, felixsilvacosta@gmail.com J. A. F. Marão Depto de Matemática, DEMAT, UFMA, , São Luís, MA josemarão@ufma.br Resumo: Neste trabalho é formado grupo de classes de ideais aplicando resultados de reticulados sobre corpo quadrático. O grupo é construído utilizando um algoritmo para determinar a classe de ideais e a ordem do grupo gerado. A ordem do grupo de classes é determinada para verificar o domínio de fatoração única dos anéis dos inteiros algébricos em corpos quadráticos. Palavras-chave: Reticulados; Grupo de Classes; Domínio de Fatoração Única 1 Introdução O domínio de fatoração única nos anéis dos inteiros quadráticos imaginários é apresentado e analisado, de forma sucinta, com a introdução de uma uma relação de equivalência nos ideais, compatível com a operação de multiplicação dos ideais. A análise dos anéis dos inteiros é executada por uma interpretação geométrica no plano complexo com uso dos reticulados representados pelo conjunto gerador dos ideais. O grupo de classes de ideais calculado direto nos ideais é um processo nem sempre eficiente. Mas, quando calculado nos ideais primos que compõem o anel, tem-se um processo confiável. Portanto, o grupo de classes de ideais são verificados através de um algoritmo onde o cálculo dos ideais primos compõe uma etapa do algoritmo. O método de expressar um conjunto de palavra-código está associado à técnica geométrica de representação de pontos regularmente uniformes (reticulados) em subespaços Euclidianos, mostrando que os reticulados são representações geométricas bem relacionadas com os códigos e os empacotamentos esféricos [3]. Neste sentido, o trabalho apresenta ferramentas e métodos para utilização na implementação dos esquemas de codificação, oferecendo ganhos adicionais aos códigos de treliça pesquisados em [5]. As preliminares e resultados básicos utilizados estão nos anéis dos inteiros algébricos sobre os corpos quadráticos explorados em [1] e [2]. 2 Reticulados em Corpos Quadráticos As definições, propriedades e resultados utilizados nesta seção foram antes aplicados nos trabalhos apresentados em [4], [5] e [6]. Sejam K um corpo de número e σ i : K C, onde i = 1,...,n, as K-imersões. Os conjugados σ i (α) = α i 1186

2 de α não necessariamente elemento de K. Assim, diz-se que σ i é real, se σ i (K) R, caso contrário, é complexo. Se σ i é complexo, então definida por σ i : K C, σ i (β) = σ i (β) é um homomorfismo injetivo tal que σ i σ i e σ 2 i = σ i. Assim, denota-se os homomorfismos reais por σ i,...,σ k, os complexos por σ k+1,σ k+1,...,σ k+l,σ k+l e n = k + 2l. Seja ψ i : K R n definida por ψ(α) = (σ 1 (α),...,σ k (α),σ k+1 (α),σ k+1 (α),...,σ k+l (α),σ k+l (α)). Então ψ é um homomorfismo injetor e ψ(aα) = aψ(α), para todo α Q e α K. Em particular, se {v 1,...,v n } é uma Q-base para K, então {ψ(v 1 ),...,ψ(v n )} é linearmente independente sobre R. Neste caso, Γ = ψ(z K ) = {ψ(v 1 ),...,ψ(v n )} é um reticulado em R n, onde Z K é o anel dos inteiro de K. Um corpo quadrático é um corpo de números K de dimensão 2 sobre Q. Se d é livre de quadrado e K = Q( d), então Z K = { Z[ d] se d 2 ou 3(mod 4), Z[η] se d 1(mod 4), onde η = d 2. Se d é positivo, então K é um corpo quadrático real; se d é negativo, então K é um corpo quadrático imaginário. O corpo K imaginário será o corpo quadrático utilizado na procura do Grupo de Classes de Ideais sobre reticulados. No caso d 2 ou 3(mod 4), a base de Z K é B = {1, d} e a região básica fundamental é o reticulado retângulo (1,0);(0, d). Para d 1(mod 4), a base de Z K é B = {1,η} e a região básica fundamental é o reticulado triângulo (1,0);( 1 2, d 2 ). Teorema 1 Seja K = Q( d), d < 0 e Z K o anel dos inteiros de K e Γ um reticulado de R 2. Então: 1. Se d 2 ou 3(mod 4) e dα I = ψ 1 (Γ), então I é um ideal de Z K ; 2. Se d 1(mod 4) e ηα I = ψ 1 (Γ) e η = d 2, então I é um ideal de Z K. Definição 1 Seja p Z um número primo: 1. Se P = p é um ideal primo em Z K, diz-se que p permanece primo em Z K ; 1187

3 2. Se PP = p e P P, diz-se que p é decomposto em Z K ; 3. Se PP = p e P = P, diz-se que p é ramificado em Z K. Para um anel dos inteiros Z K e um primo p, vale: 1. Se d 2 ou 3(mod 4), então p permanece primo em Z K se, e somente se, f = x 2 d é irredutível sobre Z p ; 2. Se d 1(mod 4), então p permanece primo em Z p se, e somente se, é irredutível sobre Z p. f = x 2 x + 1 d 4 3 Construção do Grupo de Classes Sejam I e J dois ideais não nulos de Z K, diz-se que I e J sao similares, se αi = βj, onde α, β Z K e é denotado por I J. Para cada ideal I de Z K, [I] = {J J é um ideal de Z K e I J} é o conjunto das classes de ideais determinada por I. Além disso, I é similar a Z K se, e somente se, I é um ideal principal. O conjunto de todas as classes de ideais de Z K será denotado por O conjunto G com a operação binária G = {[I] I é um ideal de Z K }. [I][J] = [IJ] é um grupo abeliano. O elemento inverso de [I] é [I], pois [I][I] = n e como [ n ] = [ I ], tem-se que [I][I] = [Z K ]. A ordem do grupo de classes G é o número de classes. Quando Z K é um domínio de fatoração única, a ordem do grupo de classes G é igual a 1, isto é, G é o grupo trivial formado pelo elemento neutro. A norma de um ideal I é definida por N(I) = Z K /I = [Z K : I] e toda classe de ideais em Z K contém um ideal I, tal que N(I) µ, onde µ = 2 D π e D é o discriminante de Z K. Existe um número finito de reticulados Λ de R 2 contendo ψ(i) = Λ tal que [Λ : Γ] = n e N(I) µ. Assim, Logo, o grupo de classes G é finito. [Z K : I] µ. 1188

4 Teorema 2 Seja K = Q( d) e Z K o anel dos inteiros K. Então o grupo de classes G é gerado pela classe dos ideais primos P que divide p, com p µ, onde p é um número primo e é a função maior inteiro. O Teorema 2 fornece as etapas para construção de um algoritmo para determinar o grupo de classes G. As etapas seguintes mostram um Algoritmo para construção de grupo de Classes de Ideais: Etapa 1. Calcular o discriminante D de Z K, o valor µ e µ ; Etapa 2. Calcular os primos p com p µ ; Etapa 3. Verificar se p permanece primo em Z K. Se p permanece primo, então é excluído o ideal p da classe de um dos fatores primos, se não, inclua p na classe de um dos fatores primos; Etapa 4. Repetir o passo 3 para todos os geradores primos de G; Etapa 5. Calcular as relações entre os geradores primos de G; Etapa 6. Verificar se o grupo de classes de ideais é trivial, no caso afirmativo, é um domínio de fatoração única. 4 Aplicações e Resultados Esta seção apresenta os domínios de fatoração única dos anéis dos inteiros sobre corpos quadráticos Z K a partir do Algoritmo construído na seção 3. O processo de calcular os ideais primos formadores do anel é exaustivo, mas, é mostrado a eficiência na análise dos geradores primos que formam o grupo de classes. Exemplo 1 Para d = 23, tem-se d 1(mod 4), Z K = Z[η] e D = 23. Assim, µ = 2 23 π 3,1 e µ = 3. O grupo de classes G é gerado pelas classes de ideais primos de Z K dividindo 2 e 3. O polinômio do ideal, dado por f = x 2 x + 6 é redutível para os primos 2 e 3. Verifique que, PP = 2 e P P, onde P = 2,η, com η = Considere que QQ = 3. Como N(η) = 6 e N(1 + η) = 8, tem-se que η η = PPQQ e 1 + η 1η = P 3 P 3. Reordenando, obtém-se η = PQ e 1 + η = P 3 ou P 3. Logo, [Q] = [P] 1 e [P] 3 = [ 1 ]. Portanto, G = [ P ] é um grupo cíclico de ordem 3. Exemplo 2 Para d = 67, tem-se d 1(mod 4), Z K = Z[ η] e D = 67. Assim, µ = 2 67 π 5,2 e µ =

5 O grupo de classes G é gerado pelas classes de ideais primos de Z K dividindo 2, 3 e 5. O polinômio é dado por f = x 2 x + 17 é redutível sobre Z p para p primo e p = 2, 3 ou 5. Assim, tem=se que p permanece primo em Z K. Logo, G = [Z K ] é o grupo trivial. Portanto, é um domínio de fatoração única. Z[ ] 2 Na Tabela 1, são mostrados outros grupos de classes de ideais construídos baseados no Algoritmo de construção de grupo de classes fundamentados no Teorema 2. d Discriminante D(B) Função menor inteiro µ O Grupo de Classes de Ideais Trivial Ordem Cíclico de ordem Grupo de Klein Ordem 3 Tabela 1: Casos Particulares de Grupo de Classes de Ideais Para d 2(mod 4) o único domínio de fatoração única é Z K = Z[ 2] e para d 3(mod 4) o único domínio de fatoração única é Z K = Z[ 1]. Gauss conjecturou e Baker e Stark provaram, em 1966, que d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 e 163 são os únicos domínios de fatoração única em Z K, onde os mesmo podem ser verificados pelo Algoritmo. Na aplicação do Algoritmo é mostrado que µ = 1 quando d = 1, 2, 3 e 7, isto é, a classe de ideais de Z K é vazia, e os primos p permanecem primos em Z K quando d = 11, 19, 43, 67 e 163, isto é, Z K é um domínio de ideais principais. Aa aplicações e resultados desenvolvidos afirmam que: o grupo de classes de ideais dos anéis dos inteiros Z K é trivial se, e somente se, Z K é um domínio de fatoração única. 5 Conclusão O domínio de fatoração única foi mostrado relacionando os ideais primos em Z K na procura dos irredutíveis em Z K. O Algoritmo para formar grupo de classes de ideais apresentou uma análise nos irredutíveis em Z K que permanecem primos, e estes são os geradores primos de G. O domínio de fatoração única é provado pela trivialidade da classe de ideais de Z K, investigada no conjunto de geradores do grupo de classes, o qual é um processo eficiente. 1190

6 Referências [1] J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer-Verlag, New York [2] O. Endler, Teoria dos Números Algébricos. IMPA, Rio de Janeiro, [3] G. D. Forney Jr., Geometrically Uniforme Codes. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 37, pp , [4] J. C. Silva Filho, Partições de Reticulados Para Constelações de Sinais em Hiperplanos Aplicadas aos Códigos de Treliça Ótimos. XXIII CNMAC, Águas de Lindóia, [5] J. C. Silva Filho, Contribuições aos Métodos de Procura dos Códigos de Treliça Ótimos Sobre Novas Partições de Reticulados, Tese de Doutorado, UNICAMP, Campinas, [6] J. C. Silva Filho, W. C. Borelli, A. A. Silva, Construção de Reticulados Quocientes em Corpos Quadráticos. VI ERMAC, J. Pessoa,