Multiplicidade geométrica

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1 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 Multiplicidade geométrica Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio ao grau de indeterminação do sistema (A I n ) X : O grau de indeterminação de corresponde ao número de parâmetros livres na expressão geral dos vectores próprios associados a : Exemplos Todos os valores próprios calculados nos exemplos anteriores têm multiplicidade geométrica, excepto no exemplo da página, em que o valor próprio tem multiplicidade geométrica ; como se pode veri car através do exemplo da página 5 A matriz A 5 5 tem um único valor próprio, 5; com multiplicidade 5 algébrica : Os vectores próprios associados a 5 são as soluções não nulas do sistema cuja matriz é A 5I 5 : Como esta matriz tem característica ; o grau de indeterminação do sistema é e, portanto, 5 tem multiplicidade geométrica : Neste último exemplo constata-se que as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio podem ser diferentes Pode-se, no entanto, provar a seguinte relação entre as multiplicidades: Teorema A multiplicidade geométrica de um valor próprio de uma matriz é menor ou igual à sua multiplicidade algébrica Deste teorema conclui-se facilmente o seguinte corolário: Corolário: Se um valor próprio tem multiplicidade algébrica ; a sua multiplicidade geométrica é também : Subespaços próprios Se é um valor próprio da matriz A, chama se subespaço próprio de ao conjunto U formado pela matriz nula e por todos os vectores próprios associados ao valor próprio : U fx n : AX Xg : O subespaço próprio de um valor próprio é constituído pela solução geral do sistema (A I n ) X n e a multiplicidade geométrica de é o número de parâmetros livres nessa solução

2 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 5 Veri ca-se que: Se X ; X U então X + X U Daqui conclui-se que: Se X e X são vectores próprios da matriz A associados ao valor próprio ; então X + X ou é a matriz nula ou é um vector próprio de A associado ao valor próprio Se X U e k R, então kx U : Daqui conclui-se que: Se X é um vector próprio da matriz A associado ao valor próprio e k é um número real, então kx ou é a matriz nula ou é um vector próprio de A associado ao valor próprio Exemplos: Para A Para A Para A tem-se U ( y 5 tem-se U p 8 >< 5 tem-se U >: y Valores próprios e invertibilidade 8 >< >: z ; y R ) p p z e U ( y 9 > 5 ; z R >; : 9 > 5 ; y; z R >; ; y R Se uma matriz A admite o valor próprio, então é raiz do polinómio característico de A; isto é, det (A I n ) e a matriz tem determinante nulo, pelo que não é invertível Por outro lado se A não é invertível, car (A) < n e o sistema AX n tem soluções não nulas, ou seja, existe X tal que AX n e, portanto, é valor próprio de A: Acabámos de mostrar que: ) : Teorema: Uma matriz A não é invertível se e só tem como valor próprio ou Teorema: Uma matriz A é invertível se e só se não tem como valor próprio

3 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 Pode-se então enunciar o seguinte resultado: Teorema: Seja A uma matriz quadrada de ordem n São equivalentes as a rmações: (a) car (A) < n: (b) A matriz A não é invertível (c) det (A) (d) O sistema AX é indeterminado (e) A matriz A admite o valor próprio : Diagonalização de matrizes Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz P; invertível, tal que B P AP: Proposição: Se uma matriz A é semelhante a uma matriz B, então A e B têm o mesmo polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios Demonstração: Se A é semelhante a B, existe P; invertível, tal que B P AP: Então: det (B xi n ) det P AP xi n det P AP xp P det P (A xi n ) P det P det (A xi n ) det P (det P ) det (A xi n ) det P det (A xi n ) : Uma matriz A diz-se diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existirem matrizes D; diagonal, e P; invertível, tais que D P AP: À matriz P chama-se matriz diagonalizante Exemplos: Qualquer matriz diagonal é diagonalizável, pois qualquer matriz é semelhante a si própria De facto A In AI n : A matriz A é diagonalizável, pois Observações: Se uma matriz A é diagonalizável os seus valores próprios são as entradas diagonais da matriz D a que A é semelhante; pois, pela proposição acima, os seus valores próprios são os mesmos da matriz D, ou seja, as suas entradas diagonais:

4 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 Quando uma matriz é diagonalizável, torna-se fácil o cálculo de potências de qualquer ordem da matriz: Para uma matriz D diagonal, D diag fd ; : : : ; d n g tem-se, D k diag d k ; : : : ; d k n ; 8k N: Sendo A diagonalizável, existem D; diagonal, e P, invertível, tais que D P AP e, portanto, A P DP : Para k N; A k P DP k P DP P DP : : : P DP {z } k vezes P D P P D P P : : : P P {z } {z } {z } I n I n I n DP P D k P Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A matriz A é diagonalizável se e só se existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A: Demonstração: Mostrar uma a rmação envolvendo se e só se é provar uma equivalência ) entre duas condições, ou seja, provar duas implicações, uma em cada sentido Suponhamos que A é diagonalizável Então existem matrizes p p p n D 5 e P p p p n n p n p n p nn 5 ; invertível tais que P AP D Daqui sai que AP P D:Temos então: p p p n p p n p n p p p n AP 5 5 p p n p n p n p n p nn n p n p n n p nn 5 () Por outro lado, designando as colunas de P por P ; : : : ; P n ; veri ca-se que Igualando () e () obtém-se: AP [AP AP : : : AP n ] () AP P ; AP P ; : : : ; AP n n P n Como P é invertível, todas as suas colunas são não nulas e, portanto, cada P i ; para i ; : : : ; n; é um vector próprio de A associado ao valor próprio i : ( Suponhamos agora que existe uma matriz invertível P cujas colunas P ; : : : ; P n são vectores próprios de A associados, respectivamente, a valores próprios ; : : : ; n : Tem-se: AP P ; AP P ; : : : ; AP n n P n

5 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 8 Utilizando () obtém-se AP [AP AP : : : AP n ] [ P P : : : n P n ] p p n p n p p n p n 5 p n p n n p nn p p p n p p p n 5 5 P D; p n p n p nn n em que D é uma matriz diagonal em que as entradas diagonais são os valores próprios de A: Como AP P D implica que P AP D; A é diagonalizável Coloca se agora a questão de saber quando existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A: A resposta é dada no seguinte teorema: Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; existe uma matriz invertível P cujas colunas são valores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de A coincidem: Dos dois últimos teoremas conclui-se: Corolário : Uma matriz quadrada A; de ordem n; é diagonalizável se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de A coincidem: Corolário : Se uma matriz quadrada A; de ordem n; tem n valores próprios distintos, então é diagonalizável Nota: Este último corolário não é se e só se Há matrizes diagonalizáveis que não têm n valores próprios distintos Exemplos: A matriz 5 tem um único valor próprio real, : As multiplicidades algébrica e geométrica de coincidem (são ambas ), mas a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios não é e A não é diagonalizável

6 Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 9 A matriz 5, tem dois valores próprios: com multiplicidade algébrica e com multiplicidade algébrica A soma 8 das multiplicidades 9algébricas é ; mas, < como o subespaço próprio de é U : 5 ; com R ;, a multiplicidade geométrica de é Como as multiplicidades algébrica e geométrica de não coincidem, A não é diagonalizável A matriz 5 tem dois valores próprios: com multiplicidade algébrica e com multiplicidade algébrica A soma das multiplicidades algébricas é : Os subespaços próprios são 8 < U : e 8 < U : ; com R ( tem multiplicidade geométrica ) ; 9 5 ; com ; R ( tem multiplicidade geométrica ) ; pelo que as multiplicidades algébrica e geométrica dos dois valores próprios coincidem Conclui-se que esta matriz é diagonalizável Neste caso, para se construir a matriz diagonalizante P; escolhem-se três vectores próprios de A; um associado a associados a e dois Para garantir a invertibilidade de P; escolhe-se, na expressão geral dos vectores próprios, um ligado a cada um dos diferentes parâmetros que aí guram A matriz diagonal D tem na diagonal os valores próprios de A, pela ordem em que guram, nas colunas de P; os vectores próprios a eles associados: Se P 5 ; P AP 5 A matriz 5 tem três valores próprios distintos, por isso é diagonalizável