Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

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1 Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo. Volume do paralelepípedo.) Matrizes elementares e factorização triangular

2 Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Considere-se o produto interno usual A M nn (C) A H A T A H H A (A + B) H A H +B H (AC) H C H A H A é hermitiana se A H A A é simétrica se A T A Se A M nn (R), A hermitiana, A simétrica Todos os valores próprios de uma matriz simétrica ou hermitiana são reais Se A fôr simétrica ou hermitiana então os vectores próprios associados a valores próprios distintos, são ortogonais Os subespaços próprios de A simétrica ou hermitiana são ortogonais entre si

3 Dem A M nn (C), A hermitiana. valor próprio de A e u vector próprio associado. u H Au. Então logo é real. Como Logo X ju i j P jui j R Sejam u e u vectores próprios associados a valores próprios distintos e. Então Como então u e u são ortogonais (Au ) H u u H u (Au ) H u u H u hu ; u i u H u 0

4 P é ortogonal : P T P, isto é, P P T I (as colunas de A T são uma base ortonormada de R n ) U é unitária : U H U, isto é, UU H I (as colunas de U H são uma base ortonormada de C n ) Se A M nn (R) A ortogonal, A unitária

5 A diz-se unitariamente diagonalizável se existir U H unitária e D diagonal tais que D UAU H isto é, se existir uma base o.n. de C n formada só por vectores próprios de A A diz-se ortogonalmente diagonalizável se existir P T ortogonal e D diagonal tais que D P AP T isto é, se existir uma base o.n. de R n formada só por vectores próprios de A

6 Teorema de Schur. Seja A uma matriz n n. Então, existe uma matriz unitária U H tal que UAU H é triangular superior (inferior). Dem. A demonstração será efectuada por indução em n. O resultado é óbvio para n. Suponhamos que a hipótese é válida para matrizes k k e seja A uma matriz (k + ) (k + ). Sejam um valor próprio de A e w um vector próprio associado de norma. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, seja w ; : : : ; w k+ uma base ortonormada para C k+. Seja W H a matriz cuja coluna i é igual ao vector w i, para i ; : : : ; k +. Então, por construção, a matriz W H é unitária. Por outro lado, a primeira coluna de W AW H é igual a W Aw, tendo-se W Aw W w W w

7 e assim W AW H onde M é uma matriz k k. j j 0 j. j M 0 j ; Pela hipótese de indução, existe uma matriz kk unitária (V ) H tal que V M (V ) H T, onde T é uma matriz triangular superior. Seja V H Então V H é unitária e tem-se j 0 0 j 0 j. j (V ) H 0 j (V W ) A (V W ) H V W AW H V H.

8 j j 0 j. j V M (V ) H 0 j j j 0 j. j T 0 j T, onde T é uma matriz triangular superior. Como a matriz (V W ) H é unitária, pondo U H (V W ) H, tem-se UAU H T, com T triangular superior e U H unitária.

9 A " # valores próprios de A : e N (A I) L (f(; )g) N (A I) L (f(; )g) U H p p p p Gram-Schmidt UAU H T p p p p " # p p p p " 0 # {z } T

10 TEOREMA (triangularização) A M nn (C): Então existe U H unitária tal que UAU H é triangular superior (inferior). TEOREMA A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável Dem. existe U H unitária tal que UAU H é triangular. Seja T UAU H. Logo T H T e como T é triangular então T é diagonal. A M nn (R) A é simétrica ) A é ortogonalmente diagonalizável A matriz P T é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada de R n

11 A hermitiana ) A unitariamente diagonalizável (D UAU H ) A hermitiana : A unitariamente diagonalizável A simétrica, A ortogonalmente diagonalizável (D P AP T )

12 A é normal : A H A AA H (ou A T A AA T se A M nn (R)) fa : A é simétricag fa : A é normalg fa : A é ortogonalg fa : A é normalg fa : A é hermitianag fa : A é normalg fa : A é unitáriag fa : A é normalg A M nn (R) tal que A é normal com todos os valores próprios reais + A simétrica

13 Se A M nn (C) é normal tem-se para todo o u kauk A H u A normal ) A I normal e k(a I) uk (A I) H u A H I u Logo Au u ) A H u u

14 Os vectores próprios associados a valores próprios distintos, de uma matriz normal, são ortogonais Dem. Seja A M nn (C) tal que A é normal. Sejam ; valores próprios de A tais que e sejam v e v vectores próprios de A associados respectivamente a e. Tem-se Av v ) A H v v e Av v ) A H v v A H v H v v H v (v ) H v A H v H v (v ) H (Av ) (v ) H v Logo ( ) hv ; v i 0: Assim, como, tem-se hv ; v i 0:

15 A é normal, A é unitariamente diagonalizável Dem. ()) A normal, existe U H unitária e T triangular superior T tais que T UAU H. T T H T H T Logo T é normal. T t ij n n. As entradas das diagonais principais de T T H e T H T : jt j + jt j + jt j + + jt n j jt j jt j + jt j + + jt n j jt j + jt j jt nn j jt n j + jt n j + jt n j + + jt nn j e assim, t ij 0 sempre que i j. Logo T é diagonal e A é unitariamente diagonalizável..

16 (() A unitariamente diagonalizável. Sejam D diagonal e U H unitária tais que Logo D UAU H A U H DU AA H U H DD H U A H A U H D H D U DD H D H D j j j j j n j AA H A H A e assim A é normal.

17 A " + i i AA H " # A H A + i i # A é hermitiana A H A Logo A é normal A normal, A unitariamente diagonalizável existem uma matriz unitária U H (U H U matriz diagonal D tais que ) e uma det(a I) D UAU H. + i i os valores próprios de A são e e tem-se N (A I) L (f( i; )g) N (A I) L ( ) ( ), + i;.

18 Note-se que os vectores de N (A I) são ortogonais aos vectores de N (A I). Logo, uma base ortonormada de C formada só com vectores próprios de A pode ser: 8 < : k( i; )k ( i; ) ; + i; + 9 i; Logo e ( p p i; U H S Bvp!B c D p " 0 0! ; p + p p i # p i; p + p p p UAU H!) p i. ;

19 0 0 0 não é simétrica logo não é ortogonalmente diagonalizável. Mas: T T então é normal e como tal é unitariamente diagonalizável.

20 0 0 0 ip ip {z } D p p p p + p p i i p p i + p i p p p i + p p i + p i i p p p {z } U H

21 Positividade do produto interno Teorema. A M nn (R) simétrica. Então: A é de nida positiva, isto é, u T Au > 0 para todo o u 0,, todos os valores próprios de A são positivos Dem. Sendo A simétrica então A é ortogonalmente diagonalizável, isto é, existem D diagonal e P T ortogonal tais que D P AP T. Assim (u T Au > 0 para todo o u 0),, (u T P T DP u > 0 para todo o u 0),, ((P u) T D (P u) > 0 para todo o u 0),, (, (u T Du > 0 para todo o u 0), nx i (u i ) i > 0 para todo o u 0),, ( i > 0 para todo o i ; :::; n) onde ; :::; n são os valores próprios de A são positivos. Logo A é de nida positiva.

22 Raíz quadrada A M nn (R) tal que A é simétrica. Então, são equivalentes: (i) A é de nida positiva (u T Au > 0 8u 0) (ii) Existe existe uma "raíz quadrada" de A, isto é, existe uma matriz simétrica e de nida positiva B tal que A B isto é B A (iii) Existe uma matriz invertível S tal que A S T S

23 Sendo A simétrica e de nida positiva existem n matrizes simétricas B tais que B A No entanto existe uma única matriz simétrica e de nida positiva B; a "raíz quadrada" de A tal que escreve-se B A B p A

24 Dem. (i) ) (ii) Supondo que A é de nida positiva, vejamos que existe uma matriz simétrica de nida positiva B tal que A B. Como A é simétrica, então A é ortogonalmente diagonalizável, isto é, existe uma matriz ortogonal P tal que P AP T D n onde ; :::; n são os valores próprios de A, os quais são todos positivos por A ser de nida positiva, tendo-se com Assim D 0 D D 0 p p n A P T DP P T D 0 P P T D 0 P P T D 0 P B.

25 com B P T D 0 P simétrica: B T P T D 0 P T P T D 0 T P T T P T D 0 P B e de nida positiva uma vez que os valores próprios de P T D 0 P são os de D 0. (ii) ) (iii) Supondo que existe uma matriz simétrica de nida positiva B tal que A B, vejamos que existe uma matriz invertível S tal que A S T S: Como B é simétrica e de nida positiva, basta fazer S B para ter-se A B BB S T S com S simétrica e invertível uma vez que sendo B de nida positiva, 0 não é valor próprio de B.

26 (iii) ) (i) Supondo que existe uma matriz invertível S tal que A S T S, vejamos que A é de nida positiva, isto é, vejamos que para todo o u 0. Tem-se u T Au > 0; u T Au u T S T Su (Su) T Su ksuk > 0 para todo o u 0, uma vez que S é invertível. Exemplos Existem in nitas v u t" 0 0 # por exemplo t " s r r s com s; r; t N tais que t s +r (triplos pitagóricos) # Não existe v u t" #

27 A " # valores próprios de A: e vectores próprios associados a : L (f( ; )g) n f0g vectores próprios associados a : L (f(; )g) n f0g " 0 0 # p p p p " # p p p p B p p p p " p # p 0 0 p p p p " p p p p # + p p p p + p A B " p p p p # + p p p p + " #

28 valores próprios de A: 0 e base de R formada só por vectores próprios: 8 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) ; (; ; ) {z } >: N (A)nf0g {z } A {z } N (A 9 > I)nf0g >; {z } {z } P {z } D P p C {z } {z } A P p {z } D P

29 p A p {z } {z } P p {z } D P p p p p p p p p p

30 base ortogonal de R formada só por vectores próprios: 8 9 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) {z } >: N (A)nf0g ( ; 0; ) ; (; ; ) {z } N (A > I)nf0g>; f( ; 0; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g base ortonormada de R formada só por vectores próprios: 8 >< p p ; 0;! ; p p ; ; p {z } >: N (A)nf0g p A p p p p p 0 p p p {z } P T! ; p p p ; ; 9! > {z } N (A I)nf0g >; p p p p p p p p p p {z } {z } D P

31 p p p p p p p p p

32 Formas quadráticas Equação quadrática em duas variáveis x e y: ax + by + cxy + dx + ey + f 0 h i " a c x y c b # {z } A " x y (A real simétrica). Q : R! R, # + h d e i " x y # {z } u Q (u) u T Au ax + by + cxy + f 0 forma quadrática associada à equação quadrática Equação quadrática em n variáveis x ; x ; : : : ; x n : u T Au + Bu + 0 u M n (R), A a ij real simétrica n n, B M n (R) e escalar. Q : R n! R Q (u) u T Au n P i np j forma quadrática associada à equação quadrática a ij x j! x i

33 A real (simétrica) n n. A forma quadrática Q : R n! R é: Q (u) u T Au de nida positiva se u T Au > 0, para todo o u 0; de nida negativa se u T Au < 0, para todo o u 0; semide nida positiva se u T Au 0, para todo o u; semide nida negativa se u T Au 0, para todo o u; inde nida se existirem pontos onde u T Au seja positiva e pontos onde u T Au seja negativa.

34 A M nn (R), A simétrica. Então A é de nida positiva, todos os valores próprios de A são positivos; A é de nida negativa, todos os valores próprios de A são negativos; A é semide nida positiva, todos os valores próprios de A são não negativos; A é semide nida negativa, todos os valores próprios de A são não positivos; A é inde nida, A tem pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo.

35 Em R u x y z A a d e d b f e f c B g h i ax +by +cz +dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+ 0 À super cie resultante da equação anterior chama-se quádrica. Existem quatro tipos de quádricas não degeneradas: elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas), cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos). Em R : Cónica ou secção cónica é a curva plana obtida por meio de um corte efectuado por um plano relativamente a uma superfície cónica. As secções cónicas que se obtêm quando o plano que efectua o corte não passa pelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valores próprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunferências: quando o corte é efectuado perpendicularmente ao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos dois valores próprios é zero) e hipérboles (os dois valores próprios têm sinais contrários).

36 x + xy + y elipse Q(x; y) x + xy + y h x y i A " x y # h x y i P T DP " x y # h x 0 y 0 i D " x 0 y 0 # h x 0 y 0 i " 0 0 # " x 0 y 0 # x 0 + y 0 com " x y # P T " x 0 y 0 # A " # D " 0 0 # P P T p p p p cos sen sen cos

37 x + y elipse y x x + xy + y elipse y x

38 x y hipérbole y x x y parábola y x

39 Mínimos quadrados Au b A M mn (R), b R n bu R n é a melhor solução aproximada ou solução de mínimos quadrados de Au b se 8u R n kb Abuk kb Auk kb Abuk é o erro de mínimos quadrados Au C (A) para todo o u R n a distância kb isto é Auk é mínima se Au P C(A) (b) A T Au A T b é a equação normal associada a Au b.

40 (i) As soluções de mínimos quadrados do sistema linear Au b são as soluções da equação normal A T Au A T b: (ii) Se car A n então a equação normal A T Au A T b tem a solução única bu A T A A T b P C(A) (b) Abu A A T A A T b isto é, A A T A A T é a matriz que representa a projecção ortogonal P C(A). N (A) N A T A

41 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), y a 0 + a x 8 >< >: y a 0 + a x. y m a 0 + a x m A x.. x m ; u se car A a equação normal x.. x m " a0 a # " a0 a #, b y. y m y. y m A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados bu A T A A T b Assim, a recta de mínimos quadrados y a 0 + a x é a recta que torna mínimos os quadrados (y (a 0 + a x )) + +(y m (a 0 + a x m )) kb Abuk kb Abuk é o erro de mínimos quadrados

42 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ) y a 0 + a x + ::: + a n x n A 8 >< >: y a 0 + a x + + a n x n. y m a 0 + a x m + + a n x n m. x. x n. x m x n m. x. x n. x m x n m a 0 a. a n u a 0 a. a n y. y m b y. y m se car A n + e então a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados bu A T A A T b:

43 y + x é a recta de mínimos quadrados relativa aos pontos (0; ) ; (; ) ; (; ) e (; ) : A 0 b car A, a solução de mínimos quadrados é única: bu " a0 a # A T A A T b 0 " 0 # 0 C A " 0 # " kb Abuk v u t (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) s p.

44 Um produto interno em C ([a; b]) h; i : C ([a; b]) C ([a; b])! R (f; g)! hf; gi Z b a f (x) g (x) dx. Prova da positividade: hf; fi > 0 para toda a função não nula. Seja f C ([a; b]). Seja x 0 [a; b] tal que f (x 0 ) 0. Como f é contínua em [a; b], existe um intervalo I [a; b] tal que para todo o x I (f (x)) (f (x 0)). Logo Z b hf; fi (f a (x)) dx (f I (x)) dx (f (x 0)) ZI dx (f (x 0)) jij > 0 onde jij denota o comprimento do intervalo I. Z Z I (f (x 0 )) dx

45 Polinómio de Taylor versus Mínimos quadrados Z f (t) g (t) dt produto interno em C [ ; ] n ; t; t o base de U L n ; t; t o C [ ; ] Gram-Schmidt: n ; t; + t o base ortogonal de L n ; t; t o P U e t proj e t + proj t e t + proj +t e t e e + e t + e e + t Z +t e t dt Z +t dt + t e e + t

46 e t P U e t v Z u t e t e e + e t + e e + t dt r e e e + 9 : 9 0 Aproximação usando o polinómio de Taylor: e t + t + t v Z u t e t + t + t dt q sinh sinh : 9 8 0

47 Produto externo e produto misto Produto interno usual em R u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R O produto externo (vectorial) de u por v: u v (u v u v ; u v u v ; u v u v ) u u v v u u v v ; e e e e u u u v v v u u v v u u v v det ; e + u u v v e e e u u u v v v fe ; e ; e g é a base canónica de R! u u v v e u; v;w R e R. Então

48 (i) e e e (ii) e e e (iii) e e e (iv) u v (v u) (v) u (v + w) u v + u w (vi) (u + v) w u w + v w (vii) (u v) (u) v u (v) (viii) u 0 0 u 0 (ix) u u 0 (x) Se u e v forem linearmente dependentes, u v 0 (xi) u (v w) hu; wi v (xii) (u v) w hw; ui v hu; vi w hw; vi u (xiii) ku vk + hu; vi kuk kvk (xiv) u (v w) + w (u v) + v (w u) 0

49 Área do paralelogramo u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R n f0g [0; ] o ângulo entre u e v. Então A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v: A (base)(altura) kuk kvk sen ku vk kuk kvk sen kuk kvk q cos kuk kvk q kuk kvk hu; vi v u t hu; vi kuk kvk r u + u + u v + v + v (u v + u v + u v ) q (u v u v ) + (u v u v ) + (u v u v ) k(u v u v ; u v u v ; u v u v )k ku vk

50 Área do triângulo de vértices (x ; y ) ; (x ; y ) e (x ; y ): det x y x y x y

51 Volume do paralelepípedo w (w ; w ; w ) ; u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R hw; u vi é o produto misto de u; v e w: hw; u vi det w w w u u u v v v Sendo o ângulo formado por w e u v, o volume do paralelepípedo com um vértice em (0; 0; 0) e arestas w, u, v, é dado por V ku vk {z } kwk jcos j {z } área da face determinada por u e v altura jhw; u vij det 0 w w w u u u v v v hu; u vi 0 hv; u vi 0 C A hu; v wi hu v; wi

52 Sendo V o volume do hiperparalelepípedo determinado por fw ; :::; w n g, tem-se V det h w w n i det h w w n i det h w w n i h i T det w w n det h i w w n det h w w n i T h w w n i Logo det det det (w ) T (w n ) T h w i C w n A (w ) T w (w ) T w n... (w n ) T w (w n ) T w n hw ; w i hw ; w n i... hw n ; w i hw n ; w n i V det G. C C A A det G.

53 A distância entre duas rectas disjuntas r e s não paralelas de nidas por: r fag + L fug e s fbg + L fvg é dada por: d (r; s) V A jhb a; u vij ku vk onde os vectores b a; u e v determinam o paralelepípedo cuja altura é a distância entre as duas rectas, V é o volume desse paralelepípedo e A é a área do paralelogramo que é a base do paralelepípedo.

54 Matrizes elementares e factorização triangular! L $L j 0 0 j j! j 0 0 j j j 0 0 j j j 0 0 j j

55 j 0 0 j j! L!L! j 8 j j j 0 0 j j j 8 j j

56 j 8 j j! L +L!L! j 0 0 j j j 8 j j j 0 0 j j

57 j 0 0 j j! L +L!L! j 0 0 j j j 0 0 j j j 0 0 j j 0

58 E () E ( ) E P j 0 0 j j j 0 0 j j 0

59 Matriz elementar é uma matriz do tipo n n obtida de I através de uma única operação elementar. A matriz de permutação P ij é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j de I. P ij i j

60 A matriz E i () é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar 0 pela linha i da matriz I. E i () i A matriz E ij () é a matriz elementar obtida de I por soma da linha j com um múltiplo da linha i. Para i < j: E ij () i j

61 E ij (), com i < j, são matrizes triangulares inferiores E ij (), com i > j, são matrizes triangulares superiores Pij Pij (E i ()) E i () para 0 Eij () Eij ( )

62 As matrizes elementares do tipo são: P P " 0 0 # E () " 0 0 # E () " 0 0 # E () " 0 # E () " 0 #

63 ou A LU ou P A LU E ( )E ( )E () 0 {z } A {z } U A (E ()) E ( ) E ( ) )E ( {z ) 0 } L {z } U A E ( )E ( A {z } {z } L U

64 ou A LU ou P A LU E E ( ) P {z } A {z } U P P {z } L P A E () E P A {z } U {z } {z } L U

65 E P {z } A {z } U P P {z } L P A E {z } U P A {z } L {z } U

66 Factorização triangular Consequências do método de eliminação de Gauss A m n. Então ou A LU ou P A LU P é uma matriz de permutação L é triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a U é uma matriz em escada Se A é nn e invertível então as factorizações anteriores são únicas e U é triangular superior e as entradas da diagonal principal são os pivots A invertível, (A produto de matrizes elementares) ("Outro" modo de calcular a inversa de uma matriz invertível)

67 Teorema. A M nn (R). São equivalentes: (i) A é igual ao produto de matrizes elementares (ii) A é invertível (iii) Au 0 tem apenas a solução trivial u 0 (iv) Au b tem solução única u para cada b R n (v) car A n (vi) nul A 0 (vii) det A 0 (Num próximo capítulo) (viii) A T A é invertível (ix) N (A) f0g

68 (x) As colunas de A geram R n (xi) As colunas de A são independentes (xii) As colunas de A formam uma base de R n (xiii) As linhas de A geram R n (xiv) As linhas de A são independentes (xv) As linhas de A formam uma base de R n (xvi) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é sobrejectiva. (xvii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é injectiva. (xviii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é bijectiva.

69 (xix) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é invertível. (xx) 0 não é valor próprio de A. (xxi) (N (A))? R n. (xxii) (L (A))? f0g.