Valores e vectores próprios

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1 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 Valores e vectores rórios De nem-se valores e vectores rórios aenas ara matrizes quadradas, elo que, ao longo deste caítulo e quando mais nada seja eseci cado, A designa uma matriz quadrada de ordem n: De nição Seja um número real. Diz-se que é um valor rório da matriz A se existe uma matriz coluna não nula X n tal que AX X. À matriz coluna X chama-se vector rório da matriz A associado ao valor rório. Exemlo: ; elo que é vector rório de associado ao valor rório : Determinação dos valores rórios de uma matriz Pretende-se determinar R ara o qual exista X n tal que AX X: Tem-se que : AX X,, AX X n,, AX I n X n,, (A I n ) X n () A exressão () é um sistema homogéneo cuja matriz é A I n : Como se rocura uma solução X n ; o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado. É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz do sistema é menor que n ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo. Assim, os valores rórios da matriz são os valores tais que car (A I n ) < n; ou tais que det (A I n ) : É esta última equação, chamada equação característica de A; que se utiliza ara o cálculo dos valores rórios. O determinante de A xi n é um olinómio denominado olinómio característico da matriz A: Resumindo: Os valores rórios da matriz A são as raizes do olinómio característico de A; det (A xi n ) : À matriz A xi n chama-se matriz característica de A: Quando um valor rório tem multilicidade k como raiz do olinómio característico, diz-se que tem multilicidade algébrica k:

2 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 Observações:. O olinómio característico de A tem grau n; elo que tem no máximo n raizes. Uma matriz de ordem n tem, ortanto, no máximo n valores rórios.. Uma matriz real ode não ter valores rórios reais. Por exemlo, as raizes do olinómio característico da matriz são i e i: Exemlos:. Seja A : A matriz característica de A é x A xi x elo que o olinómio característico de A é x det x x x ; cujas raizes são e : Os valores rórios de A são e ; ambos com multilicidade algébrica.. Seja A 5 : O olinómio característico de A é que tem como raizes ; e x det x x 5 x x ; : Os valores rórios de A são ; e ; todos com multilicidade algébrica.. A matriz 5 tem olinómio característico x + x, elo que os seus valores rórios são ; com multilicidade algébrica, e ; com multilicidade algébrica.. Valores rórios da matriz identidade: A matriz identidade I n tem como matriz característica a matriz I n xi n ; que é uma matriz escalar em que os elementos da diagonal rincial são iguais a x: O olinómio característico de I n é ( x) n e o único valor rório de I n é, com multilicidade algébrica n:

3 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 5. Valores rórios de uma matriz diagonal: Se A [a ij ] nn é uma matriz diagonal, a sua matriz característica é também diagonal elo que o olinómio característico é (a x) (a x) (a nn x) e os valores rórios são a ; a ; ; a nn.. Valores rórios de uma matriz triangular: Se A [a ij ] nn é uma matriz triangular (suerior ou inferior), a sua matriz característica é também triangular elo que o olinómio característico é (a x) (a x) (a nn x) e os valores rórios são a ; a ; ; a nn.. Valores rórios da transosta de uma matriz A: det A > xi n det A > xi > n det h (A xi n ) >i det (A xi n ) : Conclui-se que as matrizes A e A > têm o mesmo olinómio característico e, ortanto, os mesmos valores rórios. Determinação dos vectores rórios de uma matriz Deois de determinados os valores rórios de A; ara determinar os vectores rórios associados a um determinado valor rório basta resolver o sistema homogéneo (A I n ) X : As soluções não nulas deste sistema são os vectores rórios da matriz A associados a : Nota: Para um valor rório ; o sistema (A I n ) X tem garantidamente soluções não nulas, ois foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado. Exemlos:. A matriz A (exemlo acima) tem valores rórios e : Vamos calcular a exressão geral dos vectores rórios associados a cada um dos valores rórios. : Os vectores rórios de A associados a são as soluções não nulas do sistema (A ( ) I ) X ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja matriz é + A ( ) I + que tem or solução geral X y Os vectores rórios associados a ; y R. são da forma y ; y Rn fg.

4 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 : Os vectores rórios de A associados a são as soluções não nulas do sistema (A I ) X ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja matriz é que tem or solução geral X y A I ; y R. Os vectores rórios associados a são da forma y. Para a matriz A 5 (do exemlo acima), os valores rórios associados a são as soluções não nulas do sistema A I X em que A I A forma condensada desta matriz é rocurados têm a exressão geral z. Para a matriz rório têm a exressão geral ; y Rn fg. + 5 : 5 ; elo que os vectores rórios 5 ; z Rn fg : 5, (exemlo acima) os vectores rórios associados ao valor y 5 + z com y; z R, não simultaneamente nulos. 5 ;

5 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 Multilicidade geométrica Chama-se multilicidade geométrica de um valor rório ao grau de indeterminação do sistema (A I n ) X : O grau de indeterminação de corresonde ao número de arâmetros livres na exressão geral dos vectores rórios associados a : Exemlos. Todos os valores rórios calculados nos exemlos anteriores têm multilicidade geométrica, exceto no exemlo da ágina, em que o valor rório tem multilicidade geométrica ; como se ode veri car através do exemlo da ágina. 5. A matriz A 5 5 tem um único valor rório, 5; com multilicidade 5 algébrica : Os vectores rórios associados a 5 são as soluções não nulas do sistema cuja matriz é A 5I 5 : Como esta matriz tem característica ; o grau de indeterminação do sistema é e, ortanto, 5 tem multilicidade geométrica : Neste último exemlo constata-se que as multilicidades algébrica e geométrica de um valor rório odem ser diferentes. Pode-se, no entanto, rovar a seguinte relação entre as multilicidades: Teorema A multilicidade geométrica de um valor rório de uma matriz é menor ou igual à sua multilicidade algébrica. Deste teorema conclui-se facilmente o seguinte corolário: Corolário: Se um valor rório tem multilicidade algébrica ; a sua multilicidade geométrica é também : Subesaços rórios Se é um valor rório da matriz A, chama se subesaço rório de ao conjunto U formado ela matriz nula e or todos os vectores rórios associados ao valor rório : U fx n : AX Xg : O subesaço rório de um valor rório é constituído ela solução geral do sistema (A I n ) X n e a multilicidade geométrica de é o número de arâmetros livres nessa solução.

6 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 5 Veri ca-se que:. Se X ; X U então X + X U. Daqui conclui-se que: Se X e X são vectores rórios da matriz A associados ao valor rório ; então X + X ou é a matriz nula ou é um vector rório de A associado ao valor rório.. Se X U e k R, então kx U : Daqui conclui-se que: Se X é um vector rório da matriz A associado ao valor rório e k é um número real, então kx ou é a matriz nula ou é um vector rório de A associado ao valor rório. Exemlos:. Para A. Para A. Para A tem-se U ( y 5 tem-se U 8 >< 5 tem-se U >: y Valores rórios e invertibilidade 8 >< >: z ; y R ) z e U ( y 9 > 5 ; z R >; : 9 > 5 ; y; z R >;. ; y R Se uma matriz A admite o valor rório, então é raiz do olinómio característico de A; isto é, det (A I n ) e a matriz tem determinante nulo, elo que não é invertível. Por outro lado se A não é invertível, car (A) < n e o sistema AX n tem soluções não nulas, ou seja, existe X tal que AX n e, ortanto, é valor rório de A: Acabámos de mostrar que: ) : Teorema: Uma matriz A não é invertível se e só tem como valor rório. ou Teorema: Uma matriz A é invertível se e só se não tem como valor rório.

7 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 Pode-se então enunciar o seguinte resultado: Teorema: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. São equivalentes as a rmações: (a) car (A) < n: (b) A matriz A não é invertível. (c) det (A). (d) O sistema AX é indeterminado. (e) A matriz A admite o valor rório : Diagonalização de matrizes Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz P; invertível, tal que B P AP: Proosição: Se uma matriz A é semelhante a uma matriz B, então A e B têm o mesmo olinómio característico e, ortanto, os mesmos valores rórios. Demonstração: Se A é semelhante a B, existe P; invertível, tal que B P AP: Então: det (B xi n ) det P AP xi n det P AP xp P det P (A xi n ) P det P det (A xi n ) det P (det P ) det (A xi n ) det P det (A xi n ) : Uma matriz A diz-se diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existirem matrizes D; diagonal, e P; invertível, tais que D P AP: À matriz P chama-se matriz diagonalizante. Exemlos:. Qualquer matriz diagonal é diagonalizável, ois qualquer matriz é semelhante a si rória. De facto A In AI n :. A matriz A é diagonalizável, ois Observações:. Se uma matriz A é diagonalizável os seus valores rórios são as entradas diagonais da matriz D a que A é semelhante; ois, ela roosição acima, os seus valores rórios são os mesmos da matriz D, ou seja, as suas entradas diagonais:

8 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5. Quando uma matriz é diagonalizável, torna-se fácil o cálculo de otências de qualquer ordem da matriz: Para uma matriz D diagonal, D diag fd ; : : : ; d n g tem-se, D k diag d k ; : : : ; d k n ; 8k N: Sendo A diagonalizável, existem D; diagonal, e P, invertível, tais que D P AP e, ortanto, A P DP : Para k N; A k P DP k P DP P DP : : : P DP {z } k vezes P D P P D P P : : : P P {z } {z } {z } I n I n I n DP P D k P Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A matriz A é diagonalizável se e só se existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores rórios de A: Demonstração: Mostrar uma a rmação envolvendo se e só se é rovar uma equivalência ) entre duas condições, ou seja, rovar duas imlicações, uma em cada sentido. Suonhamos que A é diagonalizável. Então existem matrizes n D e P n n n n nn 5 ; invertível tais que P AP D. Daqui sai que AP P D:Temos então: n n n n AP n n n n nn n n n n nn 5 () Por outro lado, designando as colunas de P or P ; : : : ; P n ; veri ca-se que Igualando () e () obtém-se: AP [AP AP : : : AP n ] () AP P ; AP P ; : : : ; AP n n P n Como P é invertível, todas as suas colunas são não nulas e, ortanto, cada P i ; ara i ; : : : ; n; é um vector rório de A associado ao valor rório i : ( Suonhamos agora que existe uma matriz invertível P cujas colunas P ; : : : ; P n são vectores rórios de A associados, resectivamente, a valores rórios ; : : : ; n : Tem-se: AP P ; AP P ; : : : ; AP n n P n

9 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 8 Utilizando () obtém-se AP [AP AP : : : AP n ] [ P P : : : n P n ] n n n n n n n nn n n P D; n n nn n em que D é uma matriz diagonal em que as entradas diagonais são os valores rórios de A: Como AP P D imlica que P AP D; A é diagonalizável. Coloca se agora a questão de saber quando existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores rórios de A: A resosta é dada no seguinte teorema: Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores rórios de A se e só se a soma das multilicidades algébricas dos valores rórios de A é n e as multilicidades algébrica e geométrica de cada valor rório de A coincidem: Dos dois últimos teoremas conclui-se: Corolário : Uma matriz quadrada A; de ordem n; é diagonalizável se e só se a soma das multilicidades algébricas dos valores rórios de A é n e as multilicidades algébrica e geométrica de cada valor rório de A coincidem: Corolário : Se uma matriz quadrada A; de ordem n; tem n valores rórios distintos, então é diagonalizável. Nota: Este último corolário não é se e só se. Há matrizes diagonalizáveis que não têm n valores rórios distintos. Exemlos:. A matriz 5 tem um único valor rório real, : As multilicidades algébrica e geométrica de coincidem (são ambas ), mas a soma das multilicidades algébricas dos valores rórios não é e A não é diagonalizável.

10 Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 9. A matriz 5, tem dois valores rórios: com multilicidade algébrica e com multilicidade algébrica. A soma 8 das multilicidades 9algébricas é ; mas, < como o subesaço rório de é U : 5 ; com R ;, a multilicidade geométrica de é. Como as multilicidades algébrica e geométrica de não coincidem, A não é diagonalizável.. A matriz 5 tem dois valores rórios: com multilicidade algébrica e com multilicidade algébrica. A soma das multilicidades algébricas é : Os subesaços rórios são 8 < U : e 8 < U : ; com R ( tem multilicidade geométrica ) ; 9 5 ; com ; R ( tem multilicidade geométrica ) ; elo que as multilicidades algébrica e geométrica dos dois valores rórios coincidem. Conclui-se que esta matriz é diagonalizável. Neste caso, ara se construir a matriz diagonalizante P; escolhem-se três vectores rórios de A; um associado a associados a e dois. Para garantir a invertibilidade de P; escolhe-se, na exressão geral dos vectores rórios, um ligado a cada um dos diferentes arâmetros que aí guram. A matriz diagonal D tem na diagonal os valores rórios de A, ela ordem em que guram, nas colunas de P; os vectores rórios a eles associados: Se P 5 ; P AP 5.. A matriz 5 tem três valores rórios distintos, or isso é diagonalizável.