Espaços vectoriais reais

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1 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das matrizes reais de um determinado tipo, o conjunto dos polinómios reais numa indeterminada x e o conjunto das funções reais de variável real? À partida os elementos destes conjuntos são entes de natureza diferente, mas em todos os conjuntos se de ne uma operação denominada soma e, para cada um dos conjuntos, sabe-se efectuar o produto de um número real por um dos seus elementos. Quando se fala de soma não é habitualmente uma soma de números e pode nem sequer envolver qualquer soma de números, como se vê, por exemplo, no caso da soma de vectores no espaço. Veri ca-se, no entanto, que a soma de nida em qualquer dos conjuntos referidos goza de propriedades comuns em todos eles e comuns à soma usual: é comutativa, associativa, tem elemento neutro e qualquer elemento tem simétrico. Para o produto de um número real por um elemento de qualquer dos conjuntos também se encontram propriedades comuns. A observação dessas propriedades comuns conduz à de nição do conceito mais geral de espaço vectorial real. De nição Seja V um conjunto não vazio no qual estão de nidos uma soma + que associa a cada par de elementos de V um elemento de V e um produto escalar que associa a cada par formado por um número real e um elemento de V; um elemento de V, ou seja: 8v 1 ; v V; v 1 + v V. (V é fechado para a soma). 8 R; 8v V; v V: (V é fechado para o produto escalar). V é um espaço vectorial real se são satisfeitas as seguintes propriedades para a soma e produto escalar: (S 1 ) 8u; v V, u + v = v + u: (propriedade comutativa) (S ) 8u; v; w V, (u + v) + w = u + (v + w) : (propriedade associativa) (S ) Existe um elemento em V; representado por 0 V ; tal que: 8v V; v+0 V = v. (existência de elemento neutro) (S 4 ) Para todo o v V; existe um elemento em V, representado por v; tal que v + ( v) = 0 V. (existência de simétricos) (P 1 ) 8 R; 8u; v V; (u + v) = u + v: (P ) 8; R; 8v V; ( + ) v = ( v) + ( v) : (P ) 8; R; 8v V; () v = ( v) : (P 4 ) 8v V, 1 v = v.

2 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 50 Observações 1. Os elementos de V designam-se por vectores.. Os elementos de R designam-se por escalares.. A de nição de espaço vectorial não especi ca a natureza dos elementos de V, nem das operações de soma e produto escalar. Qualquer tipo de objecto pode ser um vector e as operações podem nada ter a ver com as operações de soma e produto de números. 4. Ao vector 0 V chama-se vector nulo do espaço vectorial V. 5. Ao vector v chama-se simétrico do vector v.. Quando não há ambiguidade omite-se o símbolo no produto escalar.. Há uma de nição análoga de espaço vectorial complexo, em que os escalares são números complexos. 8. A de nição de espaço vectorial pode ser ainda mais geral, sendo os escalares elementos de uma estrutura também mais geral chamada corpo. Exemplos de espaços vectoriais reais 1. O conjunto dos vectores no espaço, com a soma usual de vectores e o produto usual de um número real por um vector.. Para m; n N; o conjunto das matrizes de tipo m n; com a soma usual e o produto escalar usual. Este conjunto designa-se por M mn (R) :. Como casos particulares do exemplo anterior têm-se os conjuntos M m1 (R) e M 1n (R) : 4. Para n N;o conjunto R n = f(x 1 ; x ; :::; x n ) : x 1 ; x ; :::; x n Rg com as seguintes operações de soma e produto escalar: 8 (x 1 ; x ; :::; x n ) ; (y 1 ; y ; :::; y n ) R n ; (x 1 ; x ; :::; x n )+(y 1 ; y ; :::; y n ) = (x 1 + y 1 ; x + y ; :::; x n + y n ) 8 (x 1 ; x ; :::; x n ) R n ; 8 R; (x 1 ; x ; :::; x n ) = (x 1 ; x ; :::; x n ). 5. Como casos particulares do exemplo 4 destacam-se, pela sua importância, R (n = 1) ; R e R :. O conjunto R [x] dos polinómios reais na indeterminada x; com a soma usual de polinómios e o produto usual de um número real por um polinómio.. O conjunto R n [x] dos polinómios reais na indeterminada x com grau menor ou igual a n; com as operações referidas no exemplo.

3 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais O conjunto F (R) das funções reais de variável real, com as operações usuais de soma de funções e de produto de um número real por uma função: 8f; g F (R) ; (f + g) (x) = f (x) + g (x) : 8f F (R) ; 8k R; (kf) (x) = kf (x) : Propriedades: Seja V um espaço vectorial real. Então: 1. O vector nulo é único.. O simétrico de cada vector de V é único.. 8v V; 0 v = 0 V R; 0 V = 0 V. 5. 8v V; ( 1) v = v.. Se v = 0 V, então = 0 ou v = 0 V : Combinações lineares Num espaço vectorial real V estão de nidas as operações de soma e produto escalar. As combinações lineares de vectores de V são a resultante de efectuar simultaneamente essas duas operações. Diz-se então que um vector u V é combinação linear dos vectores u 1 ; u ; :::; u k V se existem escalares 1 ; ; :::; k R tais que 1 u 1 + u + ::: + k u k = u: Os escalares 1 ; ; :::; n são os coe cientes da combinação linear. Chama-se combinação linear nula a qualquer combinação linear que origine o vector nulo. 1. A soma de vectores é um caso particular de combinação linear, em que os coe cientes são 1.. O produto escalar é também um caso particular de combinação linear, apenas com uma parcela.. Como (1; 0; 0) + (0; 1; 0) + ( 5) (0; 0; 1) = (; ; 5) ; o vector (; ; ; e 5; respectivamente. 5) é combinação linear de (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) com coe cientes

4 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 5 4. O vector (; ; 5) não é combinação linear de u 1 = (1; 0; 0) e u = (0; 1; 0) ; pois qualquer combinação linear destes dois vectores tem a última coordenada nula: 8 1 ; R; 1 (1; 0; 0) + (0; 1; 0) = ( 1 ; ; 0) : 5. O mesmo vector (; ; 5) é combinação linear dos vectores (1; 1; 1) ; (1; 1; 0) e (1; 0; 0) com coe cientes, respectivamente, 5; 8 e 1 isto é 5 (1; 1; 1) + 8 (1; 1; 0) 1 (1; 0; 0) = (; : 5) :. O vector nulo de qualquer espaço vectorial é combinação linear de qualquer sistema de vectores, com os coe cientes todos nulos. Chama-se a essa combinação linear a combinação linear nula trivial: Por exemplo, em R, 0 (; ; ) + 0 (1; 1; 0) + 0 (0; 0; 1) = (0; 0; 0) :. Pode-se escrever o vector nulo como combinação linear dos mesmos vectores do exemplo anterior, mas com coe cientes diferentes de 0: 1 (; ; ) + ( ) (1; 1; 0) + ( ) (0; 0; 1) = (0; 0; 0) : 8. A partir da fórmula fundamental da trigonometria, sen (x) + cos (x) = 1; 8x R, veri ca-se que a função real constante f (x) = 1; 8x R, é combinação linear das funcões sen (x) e cos (x) ; sendo os dois coe cientes iguais a 1: Independência e dependência linear A nocão de independência ou dependência linear de vectores é uma noção essencial em Álgebra Linear. No que se segue a palavra conjunto será abusivamente utlilizada, pois serão permitidos "conjuntos" de vectores com elementos repetidos, quando, matematicamente, um conjunto não possui elementos repetidos. De nição A: Seja fv 1 ; v ; :::; v k g um conjunto de vectores de V. Diz-se que o conjunto é linearmente independente se a única combinação linear nula de v 1 ; v ; :::; v k é a trivial, isto é: 1 v 1 + v + + k v k = 0 V ) 1 = = ::: = 0 Se o conjunto não é linearmente independente, diz-se que é linearmente dependente, ou seja um conjunto fv 1 ; v ; :::; v k g é linearmente dependente se existem números reais 1 ; ; :::; k não todos nulos tais que 1 v 1 + v + ::: + k v k = 0 V, ou, ainda, se existe uma combinação linear nula não trivial de v 1 ; v ; :::; v k :

5 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 5 1. O conjunto de vectores de R ; f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g é linearmente independente, pois 8 >< 1 = 0 1 (1; 0; 0) + (0; 1; 0) + (0; 0; 1) = (0; 0; 0), ( 1 ; ; ) = 0, = 0 >: = 0. O conjunto de vectores de R ; f(; ; ) ; (1; 1; 0) ; (0; 0; 1)g é linearmente dependente pois, como foi visto acima, 1 (; ; ) + ( ) (1; 1; 0) + ( ) (0; 0; 1) = (0; 0; 0) : Alternativamente, a noção de dependência linear admite a seguinte de nição, equivalente à anterior: De nição B: Um conjunto de vectores fv 1 ; v ; :::; v k g é linearmente dependente se algum dos vectores é combinação linear dos restantes. (E, portanto, um conjunto de vectores fv 1 ; v ; :::; v k g é linearmente independente se nenhum dos vectores é combinação linear dos restantes.) Para ver a equivalência entre as duas de nições, começamos por supor que fv 1 ; v ; :::; v k g é um conjunto de vectores linearmente dependente. Seguindo a de nição A, existem números reais 1 ; ; :::; k não todos nulos, tais que 1 v 1 + v + ::: + k v k = 0 V ; Sendo i = 0, tem-se: 1 v 1 + v + + k v k = 0 V,, i v i = 1 v 1 i 1 v i 1 i+1 v i+1 ::: k v k,, v i = 1 i 1 i+1 k v 1 v i 1 v i+1 ::: v k i i i i Conclui-se que v i ; pelo menos, é combinação linear dos restantes vectores. Por outro lado, se um dos vectores v 1 ; v ; :::; v k é combinação linear dos outros, então v i = 1 v i 1 v i 1 + i+1 v i+1 + ::: + k v k,, 1 v i 1 v i 1 + v i + i+1 v i+1 + ::: + k v k = 0 V (1) e a expressão (1) é uma combinação linear nula de v 1 ; v ; :::; v k em que nem todos os coe - cientes são nulos. A de nição B permite reconhecer facilmente a dependência ou independência linear de um conjunto de vectores, sobretudo quando envolve poucos vectores ou quando acontece alguma das situações descritas na proposição seguinte:

6 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 54 Proposição: Seja fv 1 ; v ; :::; v k g um conjunto de vectores de um espaço vectorial real V. 1. Se algum dos vectores do conjunto é o vector nulo; então o conjunto é linearmente dependente.. Se o conjunto tem dois vectores iguais, então o conjunto é linearmente dependente.. Se um dos vectores do conjunto é múltiplo real de outro, então o conjunto é linearmente dependente. 1. O conjunto f(1; ) ; (; 4)g ; em R ; é linearmente dependente porque (; 4) = (1; ) :. O conjunto f(1; ; 1) ; (0; 4; 1) ; (; 0; )g ; em R ; é linearmente dependente porque (0; 4; 1) = (1; ; 1) + ( 1) (; 0; ) :. O conjunto 1; ; ; 4 ; (1; 1; 0; e) ; (0; 0; 0; 0) ; (; 1; 4; ) ; ; 1; 1; 10 ; em R 4 ; é linearmente dependente, porque contém o vector nulo. 4. O conjunto f(1; ) ; (; )g ; em R ; é linearmente independente porque nenhum dos vectores é múltiplo real do outro. 5. O conjunto f(1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1; 0; 0)g ; em R, é linearmente independente porque nenhum dos vectores é combinação linear dos restantes.. Considere-se, em R 4 ; o conjunto de vectores f(1; ; ; 4) ; (; 1; ; 5) ; (4; ; ; ) ; (1; 8; ; )g : () Usando a de nição A, para reconhecer se este conjunto é dependente começa-se por formar a combinação linear nula a (1; ; ; 4) + b (; 1; ; 5) + c (4; ; ; ) + d (1; 8; ; ) = (0; 0; 0; 0) () e veri ca-se se os escalares a; b; c e d são obrigatoriamente nulos (e o conjunto é independente) ou se, pelo contrário, existem escalares não nulos que satisfaçam a igualdade () (e o conjunto é dependente). A igualdade () é equivalente ao sistema de equações lineares homogéneo: 8> < >: a + b + 4c + d = 0 a b + c 8d = 0 a + b c d = 0 4a + 5b c d = 0 ; (4)

7 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 55 ao qual corresponde a matriz simples: A = Como car (A) = e o número de incógnitas é 4, o sistema de equações (4) é indeterminado e, portanto, o conjunto de vectores () é linearmente dependente pois a = b = c = d = 0 não é a única solução. Se a característica da matriz A fosse 4 o sistema de equações era determinado e os vectores seriam linearmente independentes. Observando com atenção o procedimento descrito no exemplo, vê-se que, para vectores de R n ; o processo pode ser simpli cado. Na matriz A as colunas são exactamente os vectores do conjunto () e foi só necessário calcular a característica dessa matriz para concluir que o conjunto era dependente. Num caso geral pode-se, então, construir directamente a matriz em que as colunas sejam os vectores do conjunto para o qual se quer avaliar a independência linear. Calculando a característica dessa matriz podem ocorrer duas situações: a característica é igual ao número de vectores - o conjunto é linearmente independente. a característica é menor que o número de vectores - o conjunto é linearmente dependente. Como a característica de uma matriz é igual à característica da sua transposta, pode-se também utilizar a matriz cujas linhas são os vectores. Subespaços vectoriais Um subespaço vectorial de um espaço vectorial é um subconjunto do espaço que por sua vez ainda é espaço vectorial. Para isso tem de ser fechado para a soma e para o produto escalar. Formalmente tem-se a seguinte de nição: De nição: Seja V um espaço vectorial real. Um subconjunto F de V é um subespaço 5 : vectorial de V se e só se, simultaneamente se veri cam: 1. F =? (em particular, 0 V F );. 8u; v F; u + v F (F é fechado para a soma);. 8 R; 8u F; u F:(F é fechado para o produto escalar). Nota: O vector nulo 0 V de um espaço vectorial pertence a todos os seus subespaços vectoriais: De facto, se F é subespaço vectorial de V e v F, pelo ponto da de nição anterior, ( 1) v = v também pertence a F: Somando v com v; obtém-se 0 V e conclui-se, pelo ponto da de nição, que 0 V F:

8 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 5 1. Para qualquer espaço vectorial real V; os subconjuntos V e f0 V g são subespaços vectoriais de V. O subespaço f0 V g denomina-se subespaço nulo. De notar que o subespaço nulo é o único subespaço vectorial de um espaço vectorial real que tem um número nito de elementos. Qualquer subespaço vectorial que contenha um elemento v diferente de 0 V tem de conter todos os "múltiplos" desse elemento, ou seja todos os produtos v; com R:. Seja A uma matriz real de tipo m n. O conjunto F = fx M n1 (R) : AX = 0g formado pelas soluções do sistema homogéneo AX = 0 é um subespaço vectorial de M n1 (R) (ou de R n ; em forma não matricial). A este subespaço chama-se núcleo da matriz A e é designado por NucA:. Se é um valor próprio de uma matriz quadrada de ordem n, A; o subespaço próprio U = fx M n1 (R) : AX = Xg é um subespaço vectorial de M n1 (R). 4. O conjunto F = fa M nn (R) : A é triangular inferiorg é subespaço vectorial de M nn (R) : 5. O conjunto F = ff F (R) : f é contínuag é subespaço vectorial de F (R) :. Para cada n N; R n [x] é subespaço vectorial de R [x] :. O conjunto F = f(x 1 x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g é subespaço vectorial de R : Este exemplo é um caso particular do exemplo, pois os elementos de F são as soluções do sistema homogéneo ( x 1 x = 0 x 1 x = 0 ; ou seja, as soluções do sistema AX = 0; em que " A = 0 1 # : Conclui-se, portanto, que F = NucA: 8. O conjunto F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 1 e x 1 x = g não é subespaço vectorial de R : 9. Mais geralmente, sendo A uma matriz real de tipo mn, o conjunto de soluções de um sistema de equações AX = B; não homogéneo (B = 0), nunca é subespaço vectorial de M n1 (R) : 10. O conjunto F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0g não é subespaço vectorial de R :

9 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 5 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u k são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ; :::; u k e outros não. O conjunto de todas as combinações lineares de um determinado de conjunto de vectores forma um subespaço vectorial de V : Teorema: Se u 1 ; u ; :::; u k são vectores de um espaço vectorial real V; então: 1. O conjunto W de todas as possíveis combinações lineares de u 1 ; u ; :::; u k é um subespaço vectorial de V:. W é o "menor" subespaço de V que contém u 1 ; u ; :::; u k ; querendo isto dizer que, se W 0 é outro subespaço vectorial de V que contenha u 1 ; u ; :::; u k ; então W W 0 : De nição: Seja V um espaço vectorial real e u 1 ; u ; :::; u k vectores de V. O subespaço W de nido no teorema anterior, isto é, o subespaço W = f 1 u 1 + u + ::: + k u k : 1 ; ; :::; k Rg chama-se expansão linear dos vectores u 1 ; u ; :::; u k ou subespaço vectorial gerado pelos vectores u 1 ; u ; :::; u k e representa-se por hu 1 ; u ; :::; u k i ou por L (fu 1 ; u ; :::; u k g) : Os vectores u 1 ; u ; :::; u k dizem-se um conjunto de geradores de W: Observação Quando se coloca um conjunto de vectores (eventualmente só com um vector) entre os símbolos h i passa-se a ter o subespaço vectorial gerado por esses vectores, que, não sendo o subespaço nulo, é in nito. 1. R = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i, ou seja, os vectores (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) formam um conjunto de geradores para o espaço vectorial R :. Mais geralmente, R n = h(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) ; (0; 0; 1; :::; 0) ; :::; (0; 0; 0; :::; 1)i.. Em R, o subespaço vectorial F = (x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 : x 1 x + x 4 = 0 e x 1 x = 0 é gerado por (1; 1; 1; 0) e (0; ; 0; 1) ; isto é, F = L (f(1; 1; 1; 0) ; (0; ; 0; 1)g) ou F = h(1; 1; 1; 0) ; (0; ; 0; 1)i : Para calcular ( estes geradores, bastou encontrar a solução geral, em R 4, do sistema de x 1 x + x 4 = 0 equações : x 1 x = 0

10 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais Os polinómios 1; x; x ; : : : ; x n formam um conjunto de geradores para R n [x] : 5. Para (0; 0; 1; 0) e (0; 0; 0; 1) em R ; veri ca-se que h(0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)i = (5) = f 1 (0; 0; 1; 0) + (0; 0; 0; 1) : 1 ; Rg = () = (x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 : x 1 = x = 0 : () Observações: 1. As expressões (5), () e () do exemplo 5 mostram diferentes formas de representar um subespaço vectorial.. Um espaço vectorial nitamente gerado admite muitos conjuntos de geradores diferentes. Temos, por exemplo, R = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i = h(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)i ou F = 1 ; 1 1 ; 1 = h(1; 1; )i = h(1; 1; ) ; (0; 0; 0)i = ; 1 ; 1 ; (1; 1; ) ; (0; 0; 0) :. Um espaço vectorial que admita um número nito de geradores diz-se nitamente gerado. 4. Nem todos os espaços vectoriais são nitamente gerados. Dos espaços referidos até agora, nem R [x] ; nem F (R) são nitamente gerados. Bases e dimensão de um espaço vectorial Como foi referido, um espaço vectorial pode admitir vários conjuntos diferentes de geradores. Destes vão interessar sobretudo aqueles que não possuem vectores supér uos, entendendo-se por supér uos aqueles que se escrevem como combinação linear de outros geradores, ou seja os que são conjuntos linearmente independentes. Seja V um espaço vectorial real, F um subespaço de V e u 1 ; u ; :::; u k conjunto de vectores fu 1 ; u ; :::; u k g é uma base de F se: vectores de F: O (i) F = hu 1 ; u ; :::; u k i ; (ii) o conjunto fu 1 ; u ; :::; u k g é linearmente independente. Uma base de um espaço vectorial é, portanto, um conjunto linearmente independente de geradores do espaço.

11 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais O conjunto de geradores de R n f(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) ; (0; 0; 1; :::; 0) ; :::; (0; 0; 0; :::; 1)g é linearmente independente, pelo que forma uma base de R n ; que tem o nome particular de base canónica de R n. Concretamente, em R a base canónica é f(1; 0) ; (0; 1)g e em R a base canónica é f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g :. O conjunto de vectores f(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g de R é uma base de R : 8 9 >< 1 ::: 0 0 ::: 1 0 ::: 0 0 ::: 0. O conjunto >: ; :::; ; :::; ; :::; >= de 0 ::: 0 0 ::: 0 1 ::: 0 0 ::: 1 >; m n vectores de M mn (R) é uma base de M mn (R) ; que tem o nome particular de base canónica de M mn (R). 4. O conjunto de geradores de R n [x] formado pelos polinómios 1; x; x ; : : : ; x n é linearmente independente, pelo que é uma base de R n [x] ; que tem o nome particular de base canónica de R n [x] : 5. O subespaço vectorial de R ; F = f(x 1; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g tem como base, por exemplo, o conjunto de vectores 1 ; 1 ; 1.. O conjunto de vectores 1 ; 1 ; 1 ; (1; 1; ) ; (0; 0; 0) é um conjunto de geradores de F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g ; mas não é uma sua base porque não é linearmente independente.. O subespaço vectorial de R 4 ; F = f(x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g, tem como base, por exemplo, o conjunto de vectores 1 ; 1 ; 1; 0, (0; 0; 0; 1) : Dado um espaço vectorial V; se um subespaço vectorial F é de nido por uma base fv 1 ; v ; : : : ; v k g, veri car se um vector v pertence a F é veri car se v é combinação linear dos vectores v 1 ; v ; : : : ; v k, que é o mesmo que veri car se o conjunto de vectores fv 1 ; v ; : : : ; v k ; vg é linearmente dependente. No caso de se estar a trabalhar no espaço vectorial R n isso pode ser feito usando o método matricial descrito na página 54. Esse mesmo método permite também identi car condições que de nam um subespaço vectorial de R n, quando se conhecem apenas os seus geradores. Exemplo: Consideremos, em R 4 ; o subespaço F = h(1; ; ; 4) ; (5; ; ; 8)i : 1. Para veri car se o vector (; ; ; 1) pertence a F; forma-se a matriz 1 4 A = : 1

12 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 0 Como car (A) =, o conjunto de vectores f(1; ; ; 4) ; (5; ; ; 8) ; (; ; ; 1)g é linearmente dependente e (; ; ; 1) é combinação linear de (1; ; ; 4) e (5; ; ; 8) :. Para um vector genérico (x; y; z; w) pertencer a F é necessário que seja combinação linear de (1; ; ; 4) e (5; ; ; 8) e para isso basta que a matriz 1 4 A = x y z w tenha característica. Uma forma de escada da matriz A é 1 4 A 0 = x y + z x y + w A matriz A tem característica se e só se a última linha de A 0 é nula, isto é, se e só se x y + z = 0 e x y + w = 0, pelo que se conclui que 5 ; F = (x; y; z; w) R 4 : x y + z = 0 e x y + w = 0 : Os seguintes dois teoremas são fundamentais quando se estudam espaços vectoriais nitamente gerados. Teorema: Qualquer espaço vectorial nitamente gerado tem uma base. Observação: Tendo um conjunto de geradores de um espaço vectorial nitamente gerado, para obter uma base basta retirar do conjunto de geradores os vectores que "estragam" a independência linear. Isto faz-se identi cando no conjunto os vectores que se podem escrever como combinação linear dos restantes e retirando-os até se obter um conjunto de geradores linearmente independente. Teorema: Num espaço vectorial nitamente gerado todos as bases têm o mesmo número de vectores. A partir do teorema anterior de ne-se dimensão de um espaço vectorial nitamente gerado V como sendo o número de vectores de uma base e representa-se esse número por dim (V ). Para calcular a dimensão de um espaço vectorial é su ciente encontrar uma sua base e contar o número de vectores que aí guram. Considera-se que o espaço vectorial nulo tem dimensão Para n N; o espaço vectorial R n tem uma base com n vectores (por exemplo, a base canónica), logo dim (R n ) = n.

13 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 1. Para m; n N, o espaço vectorial M mn (R) tem uma base com m n vectores (por exemplo, a base canónica), logo dim (M mn (R)) = m n.. Para n N; o espaço vectorial R n [x] tem uma base com n + 1 vectores (por exemplo, a base canónica), logo dim (R n [x]) = n + 1: 4. A dimensão do subespaço vectorial de R ; F = 1 ; 1 ; 1 é A dimensão do subespaço vectorial de R 4 ; F = 1 ; 1 ; 1; 0 ; (0; 0; 0; 1) é :. Se A e uma matriz de ordem n; um seu valor próprio e U o subespaço próprio associado ao valor próprio ; então dim (U ) é a multiplicidade geométrica de.. A dimensão do núcleo de uma matriz A mn é dada pelo grau de indeterminação do sistema AX = 0; que é n car (A) : Saber a dimensão de um espaço vectorial permite tirar conclusões práticas importantes: Proposição: Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Então: 1. Qualquer conjunto de vectores de V com mais de n vectores é linearmente dependente.. Qualquer conjunto linearmente independente com n vectores é uma base de V.. Qualquer conjunto de geradores de V com n vectores é uma base de V. Pode-se ainda relacionar a dimensão de um espaço vectorial com a dimensão dos seus subespaços vectoriais: Proposição: 1. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial, então F é também nitamente gerado e dim (F ) dim (V ).. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial tal que dim (F ) = dim (V ), então F = V. Coordenadas de um vector relativamente a uma base Se V é um espaço vectorial e B = fu 1 ; u ; : : : ; u n g é uma base de V; cada vector de V escreve-se de forma única como combinação linear dos vectores de B; isto é, cada vector de v V escreve-se de modo único na forma v = a 1 u 1 + a u + + a n u n ; com a 1 ; a ; : : : ; a n R.

14 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais Aos coe cientes a 1 ; a ; : : : ; a n desta combinação linear chamam-se coordenadas do vector v relativamente à base B: Para o que se segue consideramos só bases ordenadas, isto é bases em que está xa a ordem dos vectores. Por exemplo, como bases ordenadas, consideramos diferentes as bases B 1 = f(1; 0) ; (0; 1)g e B = f(0; 1) ; (1; 0)g de R : Fixando uma base ordenada de um espaço vectorial, pode-se "identi car" cada vector do espaço com o n-uplo das suas coordenadas, isto é, com um vector de R n : Isso pode-se representar, por exemplo, na forma: v! (a 1 ; a ; : : : ; a n ) B : 1. O vector (1; 1; ) tem coordenadas (1; 1; ) B relativamente à base canónica B de R.. O mesmo vector (1; 1; ) tem coordenadas (1; 0; 1) B relativamente à base B = f(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g de R :. Ainda o mesmo vector (1; 1; ) ; considerado agora como elemento do subespaço F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g ; tem coordenadas () B relativamente à base B = 1 de F: " # 4. O 5 vector tem coordenadas (; 4 (" # " # " # " #) 5; 4; ) B relativamente à base B = ; ; ; de M (R). 5. O vector 5 x + x tem coordenadas (5; ; 0; ) B relativamente à base f1; x; x ; x g de R [x] : Utilização de matrizes no estudo de espaços vectoriais Como foi visto atrás, as matrizes são um instrumento útil para o estudo de vectores de R n : Foram já descritas várias aplicações: estudar um conjunto de vectores quanto à independência linear, concluir se um vector pertence ou não a um subespaço vectorial ou encontrar condições que de nam um subespaço vectorial. Do ponto de vista matricial, as linhas de uma matriz do tipo m n podem ser identi cadas com vectores de R n e as suas colunas com vectores de R m : Quando se efectua uma operação elementar de tipo II ou III sobre as linhas de uma matriz substitui-se uma linha por uma combinação linear de linhas. Se, no decorrer do método de eliminação de Gauss, uma linha é anulada, signi ca que essa linha é combinação linear das restantes, ou seja, que o conjunto de vectores formado pelas linhas da matriz é linearmente dependente. Isto permite

15 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais compreender que a característica de uma matriz, de nida inicialmente como o número de linhas diferentes de zero numa forma de escada da matriz, é exactamente o número máximo de linhas da matriz que são vectores linearmente independentes (e também o número máximo de colunas que são linearmente independentes, dado que a característica de uma matriz é igual à característica da sua transposta). Pode-se então identi car a característica de uma matriz com a dimensão do subespaço de R n gerado pelas linhas dessa matriz (chamado espaço das linhas da matriz) e com a dimensão do espaço vectorial de R m gerado pelas colunas (chamado espaço das colunas da matriz). Dependência linear e bases de subespaços Sendo u 1 ; : : : ; u k um conjunto de vectores de vectores de R n ; pode-se formar a matriz A do tipo k n cujas linhas são esses vectores. Calculando a característica dessa matriz pode-se concluir que: (i) Se car (A) < k; o conjunto de vectores fu 1 ; : : : ; u k g é linearmente dependente. (ii) Se car (A) = k; o conjunto de vectores fu 1 ; : : : ; u k g é linearmente independente. (iii) Se car (A) = t, t k; então t é a dimensão do subespaço vectorial gerado por u 1 ; : : : ; u k, isto é dim hu 1 ; : : : ; u k i = car (A) : (iv) Quando a matriz A está em forma de escada, as linhas que não foram anuladas correspondem a vectores de uma base de hu 1 ; : : : ; u k i : 1. Considere-se o conjunto f(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)g de R 4 : Forma-se a matriz de tipo 4 A = Aplicando o método de eliminação de Gauss a A chega-se à forma de escada Pode-se então concluir: A 0 = : 5 : (i) O conjunto f(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)g é linearmente dependente. (ii) dim h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i = (iii) Uma base para o subespaço h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i é formada pelos vectores (1; 1; ; 1) e (; 1; 1; ) :

16 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 4. Considere-se o conjunto f(1; 1; ) ; (; ; 4) ; (0; 0; 1)g de R : Forma-se a matriz A = : Aplicando o método de eliminação de Gauss a A tem-se A = Pode-se então concluir: 5! 4 L L 1 +L ! 4 L!L : (i) O conjunto f(1; 1; ) ; (; ; 4) ; (0; 0; 1)g é linearmente dependente. (ii) dim h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i = (iii) Uma base para o subespaço h(1; 1; ) ; (; ; 4) ; (0; 0; 1)i é formada pelos vectores (1; 1; ) ; (0; 0; 1) ; que são os vectores correspondentes às linhas da matriz que não foram anuladas durante o método de eliminação. Este método pode ser utilizado para vectores que não pertençam a R n ; desde que sejam vectores de um espaço nitamente gerado. Para isso xa-se uma base do espaço (sempre que possível uma base canónica, para facilitar os cálculos) e determinam-se as coordenadas, relativamente a essa base, dos vectores com os quais se está a trabalhar. Essas coordenadas correspondem a vectores de R n (sendo n a dimensão do espaço), com os quais se pode, então formar uma matriz e aplicar o procedimento descrito atrás. 1. Considere-se, de R [x] ; o conjunto 1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x : Os vectores deste conjunto, relativamente à base canónica de R [x] ; B = f1; x; x ; x g ; têm coordenadas: 1 + x + x + x! (1; 1; ; 1) B x + x + x! (; 1; 1; ) B 1 + x + x x! ( 1; ; 1; 1) B Identi cadas as coordenadas, forma-se a matriz A = ;

17 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 5 que admite, como vimos atrás, a forma de escada Pode-se então concluir que: A 0 = (i) O conjunto f1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x g é linearmente dependente. (ii) dim h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i = : (iii) Uma base para o subespaço h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i pode ser formada pelos vectores 1 + x + x + x e x + x + x : 5 :. Em M (R) :considere-se o conjunto (" # " ; 1 1 # ; " #) : Os vectores do conjunto, relativamente à base canónica B de M (R) ; têm coordenadas: " 1 1 " " 1 # 1 1! (1; 1; ; 1) B # 1 1 1! (; 1; 1; ) B #! ( 1; ; 1; 1) B Seguindo o procedimento anterior pode-se concluir que: (" # " # " #) (i) O conjunto ; ; é linearmente dependente *" # " # " # (ii) dim ; ; = : (iii) Uma base para o subespaço gerado *" # " # " ; ; #+ pode ser formada pelos vectores " # e " 1 1 # :

18 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais Modos de de nir um subespaço vectorial Na página 0 foi exempli cado como as matrizes podem ser utilizadas para determinar condições que de nam um subespaço vectorial de R n, quando apenas se conhecem os geradores. Vamos agora formalizar e generalizar esse procedimento para qualquer subespaço de um espaço nitamente gerado. Como foi evidenciado no exemplo 5 da página 58 há várias formas de de nir um subespaço vectorial. Quando o subespaço é de nido através de equações lineares (caso () do exemplo referido), é fácil determinar um conjunto de geradores: basta escontrar a solução geral do sistema de equações. Os vectores que guram nessa solução geral formam uma base dos subespaço. Quando são dados os geradores e se pretende encontrar as equações, a utilização de matrizes facilita muito a tarefa, como foi visto no exemplo, de acordo com o procedimento que descrevemos de seguida. Consideremos, então, um espaço vectorial real V, de dimensão n e um conjunto linearmente independente de vectores fu 1 ; u ; : : : ; u k g. Um vector x pertence ao subespaço F = hu 1 ; u ; : : : ; u k i se e só se x é combinação linear dos vectores u 1 ; u ; : : : ; u k e isto acontece se e só se o conjunto fu 1 ; u ; : : : ; u k ; xg é linearmente dependente. Assim, sendo V = R n, forma-se uma matriz com os vectores u 1 ; u ; : : : ; u k, acrescentado uma linha com entradas x 1 ; x ; : : : ; x n ; correspondentes ao vector genérico x: Obtendo-se uma forma de escada da matriz, fu 1 ; u ; : : : ; u k ; xg é linearmente dependente se e só se a característica da matriz é k e, portanto, se a linha correspondente ao vector x fôr nula. Igualando a zero as condições em x 1 ; x ; : : : ; x n obtidas nessa linha, encontramos as condições que de nem F: No caso de V ser um espaço vectorial diferente de R n, faz-se o mesmo procedimento, mas utilizando as coordenadas dos vectores relativamente a uma base de V previamente xada e tendo o cuidado de dar a solução relativamente ao espaço V: Exemplo: Consideremos, em R [x] ; o subespaço F = 1 + x + x + 4x ; 5 + x + x + 8x : Para encontrar condições que de nam F xamos uma base em R [x] ; escolhendo para isso a base canónica B = f1; x; x ; x g : Um vector genérico de R [x] é um polinómio a + bx + cx + dx : Relativamente à base B tem-se:

19 ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 1 + x + x + 4x! (1; ; ; 4) B 5 + x + x + 8x! (5; ; ; 8) B a + bx + cx + dx! (a; b; c; d) B Com as coordenadas dos vectores forma-se a matriz 1 4 A = a b c d Uma forma de escada da matriz A é 1 4 A 0 = a b + c a b + d A matriz A tem característica se e só se a última linha de A 0 é nula, isto é, se e só se pelo que se conclui que a b + c = 0 e a b + d = 0; F = a + bx + cx + dx R [x] : a b + c = 0 e a b + d = 0 : 5 ;