Expansão linear e geradores

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1 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ; :::; u n e outros não. O conjunto de todas as combinações lineares de um determinado de conjunto de vectores forma um subespaço vectorial de V : Teorema: Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial real V; então: 1. O conjunto W de todas as possíveis combinações lineares de u 1 ; u ; :::; u n é um subespaço vectorial de V:. W é o "menor" subespaço de V que contém u 1 ; u ; :::; u n ; querendo isto dizer que, se W 0 é outro subespaço vectorial de V que contenha u 1 ; u ; :::; u n ; então W W 0 : De nição: Seja V um espaço vectorial real e u 1 ; u ; :::; u n vectores de V. O subespaço W de nido no teorema anterior, isto é, o subespaço W = f 1 u 1 + u + ::: + n u n : 1 ; ; :::; n Rg chama-se expansão linear dos vectores u 1 ; u ; :::; u n ou subespaço vectorial gerado pelos vectores u 1 ; u ; :::; u n e representa-se por hu 1 ; u ; :::; u n i. Os vectores u 1 ; u ; :::; u n dizem-se um sistema de geradores de W: 1. R = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i, ou seja, os vectores (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) formam um sistema de geradores para o espaço vectorial R :. Mais geralmente, o sistema [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) ; (0; 0; 1; :::; 0) ; :::; (0; 0; 0; :::; 1)] de n vectores de R n é um sistema de geradores de R n.. O subespaço vectorial de R ; F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g é 1 gerado por ; 1; 1 ; isto é, F = 1 ; 1; 1 : Para calcular este gerador, basta encontrar ( x 1 x = 0 a solução geral do sistema de equações x 1 x = 0 : 4. Os polinómios 1; x; x ; : : : ; x n formam um sistema de geradores para R n [n] : 5. Para (0; 0; 1; 0) e (0; 0; 0; 1) em R ; veri ca-se que h(0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)i = (1) = f 1 (0; 0; 1; 0) + (0; 0; 0; 1) : 1 ; Rg = () = (x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 : x 1 = x = 0 : ()

2 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Observações: 1. As expressões (1), () e () do exemplo 5 mostram diferentes formas de representar um subespaço vectorial.. Um subespaço vectorial admite muitos sistemas de geradores diferentes. No exemplo veri ca-se que 1 F = ; 1 ; 1 = h(1; 1; )i = h(1; 1; ) ; (0; 0; 0)i = 1 ; 1 ; 1 ; (1; 1; ) ; (0; 0; 0) :. Um espaço vectorial que admita um número nito de geradores diz-se nitamente gerado. 4. Nem todos os espaços vectoriais são nitamente gerados. Dos espaços estudados até agora, nem R [x] ; nem F (R) são nitamente gerados. Bases e dimensão de um espaço vectorial Se V é um espaço vectorial real, F um subespaço de V e u 1 ; u ; :::; u k vectores de F, diz-se que o sistema de vectores [u 1 ; u ; :::; u k ] é uma base de F se: (i) F = hu 1 ; u ; :::; u k i ; (ii) o sistema [u 1 ; u ; :::; u k ] é linearmente independente. 1. Como o sistema de geradores de R n [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) (0; 0; 1; :::; 0) ; ::: (0; 0; 0; :::; 1)] é linearmente independente, é uma base de R n ; a que se chama base canónica de R n.. O sistema de vectores [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R é uma base de R : 1 ::: 0 0 ::: 1 0 ::: 0 0 ::: 0. O sistema ; :::; ; :::; ; :::; de 0 ::: 0 0 ::: 0 1 ::: 0 0 ::: 1 mn vectores de M mn (R) é uma base de M mn (R) ; a que se chama base canónica de M mn (R). 4. Como o sistema de geradores de R n [x] formado pelos polinómios 1; x; x ; : : : ; x n é linearmente independente, é uma base de R n [n] ; a que se chama base canónica de R n [x] : 5. O subespaço vectorial de R ; F = f(x 1; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g tem como base, por exemplo, o sistema 1 ; 1 ; 1.

3 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 8 Os seguintes dois teoremas são fundamentais quando se estudam espaços vectoriais que admitem um sistema nito de geradores. Teorema: Qualquer espaço vectorial nitamente gerado tem uma base. Observação: Tendo um sistema de geradores de um espaço vectorial nitamente gerado, para obter uma base basta retirar do sistema de geradores os vectores que "estragam" a independência linear. Isto faz-se identi cando no sistema os vectores que se podem escrever como combinação linear dos restantes e retirando-os até se obter um sistema de geradores linearmente independente. Teorema: Num espaço vectorial nitamente gerado todos as bases têm o mesmo número de vectores. A partir do teorema anterior de ne-se dimensão de um espaço vectorial nitamente gerado V como sendo o número de vectores de uma base e representa-se esse número por dim (V ). Considera-se que o espaço vectorial nulo tem dimensão Para n N; o espaço vectorial R n tem uma base com n vectores, logo dim (R n ) = n.. Para m; n N, o espaço vectorial M mn (R) tem uma base com mn vectores, logo dim (M mn (R)) = mn.. Para n N; o espaço vectorial R n [n] tem uma base com n + 1 vectores, logo dim (R n [n]) = n Se A e uma matriz de ordem n; um seu valor próprio e U o subespaço próprio associado ao valor próprio ; então dim (U ) é a multiplicidade geométrica de. 5. A dimensão do espaço nulo de uma matriz A mn é dada pelo grau de indeterminação do sistema AX = 0; que é n car (A) : Saber a dimensão de um espaço vectorial permite tirar conclusões práticas importantes: Proposição: Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Então: 1. Qualquer sistema de vectores de V com mais de n vectores é linearmente dependente.. Qualquer sistema linearmente independente com n vectores é uma base de V.. Qualquer sistema de geradores de V com n vectores é uma base de V.

4 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 9 Pode-se ainda relacionar a dimensão de um espaço vectorial com a dimensão dos seus subespaços vectoriais: Proposição: 1. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial, então F é também nitamente gerado e dim (F ) dim (V ).. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial tal que dim (F ) = dim (V ), então F = V. Coordenadas de um vector relativamente a uma base Se V é um espaço vectorial e B = [u 1 ; u ; : : : ; u n ] é uma base de V; cada vector de V escreve- -se de forma única como combinação linear dos vectores de B; isto é, cada vector de v V escreve-se de modo único na forma v = a 1 u 1 + a u + + a n u n ; com a 1 ; a ; : : : ; a n R. Aos coe cientes a 1 ; a ; : : : ; a n desta combinação linear chamam-se coordenadas do vector v relativamente à base B: Como estas coordenadas são únicas, xando uma base de um espaço vectorial, pode-se "identi car" cada vector do espaço com o n-uplo das suas coordenadas, isto é, com um vector de R n : Isso pode-se representar, por exemplo, na forma: v! (a 1 ; a ; : : : ; a n ) B 1. O vector (1; 1; ) tem coordenadas 1; 1; relativamente à base canónica de R.. O mesmo vector (1; 1; ) tem coordenadas (1; 0; 1) B relativamente à base B = [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R :. Ainda o mesmo vector (1; 1; ) ; considerado agora como elemento do subespaço F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g ; tem coordenadas () B relativamente à base B = 1 de F: 4. O 5 vector tem coordenadas (; 4 " # 5; 4; ) B relativamente à base B = ; ; ; de M (R). 5. O vector 5 x + x tem coordenadas (5; ; 0; ) B relativamente à base [1; x; x ; x ] de R [x] :

5 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 40 Utilização de matrizes no estudo de espaços vectoriais As linhas de uma matriz do tipo m n podem ser identi cadas com vectores de R n : Quando se efectua uma operação elementar de tipo II ou III sobre as linhas de uma matriz substitui- -se uma linha por uma combinação linear de linhas. Quando, no decorrer do método de eliminação de Gauss uma linha é anulada, signi ca que essa linha é combinação linear das restantes, ou seja, que o sistema de vectores formado pelas linhas da matriz é linearmente dependente. Sendo u 1 ; : : : ; u k um sistema de vectores de vectores de R n ; pode-se formar a matriz A do tipo k n cujas linhas são esses vectores. Calculando a característica dessa matriz pode-se concluir que: (i) Se car (A) < k; o sistema de vectores [u 1 ; : : : ; u k ] é linearmente dependente. (ii) Se car (A) = k; o sistema de vectores [u 1 ; : : : ; u k ] é linearmente independente. (iii) Se car (A) = t, t k; então t é a dimensão do subespaço vectorial gerado por u 1 ; : : : ; u k, isto é dim hu 1 ; : : : ; u k i = car (A) : (iv) Quando a matriz A está em forma de escada, as linhas que não foram anuladas correspondem a vectores de uma base de hu 1 ; : : : ; u k i : Exemplo: Considere-se o sistema [(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)] de R 4 : Forma-se a matriz de tipo 4; A = : Aplicando o método de eliminação de Gauss a A chega-se à forma de escada A 0 = concluir: : Pode-se então (i) O sistema [(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)] é linearmente dependente. (ii) dim h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i = (iii) Uma base para o subespaço h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i é formada pelos vectores (1; 1; ; 1) e (; 1; 1; ) : Este método pode ser utilizado para vectores que não pertençam a R n ; desde que sejam vectores de um espaço nitamente gerado. Para isso xa-se uma base do espaço (sempre que possível uma base canónica, para facilitar os cálculos) e determinam-se as coordenadas, relativamente a essa base, dos vectores com os quais se está a trabalhar. Essas coordenadas correspondem a vectores de R n (sendo n a dimensão do espaço), com os quais se pode, então formar uma matriz e aplicar o procedimento descrito atrás.

6 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/ Considere-se o sistema [1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x ] de R [x] : Estes vectores, relativamente à base canónica de R [x] ; B = [1; x; x ; x ] ; têm coordenadas: 1 + x + x + x! (1; 1; ; 1) B x + x + x! (; 1; 1; ) B 1 + x + x x! ( 1; ; 1; 1) B Identi cadas as coordenadas, forma-se a matriz A = ; que admite, como vimos atrás, a forma de escada A 0 = : Pode-se então concluir que: (i) O sistema [1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x ] é linearmente dependente. (ii) dim h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i = : (iii) Uma base para o subespaço h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i pode ser formada pelos vectores 1 + x + x + x e x + x + x : " # 1. Considere-se o sistema ; ; de M (R) : Estes vectores, relativamente à base canónica B de M (R) ; têm coordenadas: ! (1; 1; ; 1) B ;! (; 1; 1; ) B e! ( 1; ; 1; 1) B Seguindo o procedimento anterior pode-se concluir que: " # 1 (i) O sistema ; ; é linearmente dependente. 1 * + 1 (ii) dim ; ; = : 1 * + 1 (iii) Uma base para o subespaço ; ; pode ser formada pelos vectores e 1 1 1