ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE /11 - Geometria Analítica 88. Geometria Analítica

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1 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo faz-se um revisão desses conceitos e generaliza-se ao espaço R n estas noções e outras associadas. Rectas no plano Em geometria euclidiana existe uma única recta que passa por dois pontos dados. Para se saber se um ponto está ou não sobre uma recta é necessário encontrar uma propriedade que só os pontos que estão sobre a recta possuem. Comecemos com um exemplo. Considere-se no plano a recta que passa nos pontos 1; ) e ; ) : O vector u = ; ) 1; ) = 1; 1) é um vector que tem a direcção dessa recta Qualquer ponto da recta pode ser obtido a partir de um dos pontos dados somando múltiplos deste vector. Assim, podemos, por exemplo, de nir esta recta através da igualdade: x; y) = 1; ) + 1; 1) ; R 1) A uma equação desta forma chama-se equação vectorial da recta. A equação 1) dá lugar a um sistema de duas equações: x = 1 + y = + As equações deste sistema têm o nome de equações paramétricas da recta. Explicitando o valor de na primeira equação e substituindo na segunda obtém-se: = x 1 y = + x 1 ou seja, obtém-se a equação x + y = 1 a que se chama equação geral ou equação cartesiana da recta.

2 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 9 Se nesta equação explicitarmos o valor de y obém-se: a que se chama equação reduzida da recta. y = x + 1 Em geral, se quisermos a equação da recta que passa no ponto A = a 1 ; a ) e tem a direcção do vector u = ; u ) temos que repetir este procedimento. Seja X = x; y) um ponto geral sobre a recta, então existe um número real tal que x; y) = a 1 ; a ) + ; u ): Donde passamos para as equações paramétricas: x = a 1 + y = a + u Explicitando agora o valor de na primeira equação e substituindo na segunda vem >< = x a 1 >: y = a + x a 1 ) u e nalmente y = u u x + a a 1 A equação reduzida de uma recta é da forma y = mx + h, em que m = u e h = a u a 1 : Como se vê facilmente m = u é o valor da tangente do ângulo que a recta faz com o eixo dos xx. A este valor chama-se declive da recta. Por outro lado o valor h = a u a 1 é o que se obtém para y quando se faz x = 0: A este

3 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 90 valor chama-se ordenada na origem. Na gura acima estão representadas rectas de diferentes declives todas a passar na origem. É fácil perceber que as rectas que passam na origem têm equação reduzida y = mx com excepção do eixo dos yy que tem equação x = 0) Rectas paralelas Rectas paralelas fazem todas o mesmo ângulo com o eixo dos xx, logo têm todas o mesmo declive. As rectas da gura têm todas declive 1 e têm ordenada na origem diferente. Pode-se então escrever que a equação geral desta família de rectas é da forma y = x + h, variando o h consoante o ponto onde a recta intersecta o eixo dos yy: Exemplos 1. Determinar a equação da recta paralela à recta x + y = 6 que passa na origem. Começamos por escrever a equação da recta na forma reduzida: y = x +. Vemos assim que a recta dada tem declive : Procuramos agora entre todas as rectas com

4 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 91 declive à recta dada é y = qual é a que passa no ponto 0; 0) : A equação geral das rectas paralelas x + h. É claro que para a recta passar na origem terá que ser h = 0: A recta pretendida é y = x ou seja, x + y = 0:. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é paralela à recta r e passa no ponto 5; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = 5; ) ; daqui se conclui que o declive da recta r é : Qualquer recta paralela a r tem declive, ou seja terá 5 5 equação reduzida da forma y = x + h. Para que a recta passe no ponto 5; 4) tem que ser h = 4 5 Rectas ortogonais 5 5 = 7: Então a equação da recta pretendida é y = 5 x 7: Considere-se a recta r = fa + u; Rg e a recta s = fb + v; Rg. Estas rectas são ortogonais se os vectores u e v forem ortogonais. Ou seja as rectas são ortogonais se u v = 0 A recta r tem equação reduzida y = u x + y = v v x + b b 1 : v 1 v 1 u a a 1 e a recta s tem equação reduzida Como os vectores u e v são ortogonais é u v = v 1 + u v = 0: Desta última igualdade conclui-se que u = v 1 : v Então, tendo as equações reduzidas de duas rectas y = mx + h e y = m 0 x + h 0, reconhece-se que elas são ortogonais se m = 1 m 0 : Exemplos 1. Encontrar uma equação da recta perpendicular à recta x + y = 6 que passa na origem.

5 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 9 Já vimos que esta recta tem declive : Qualquer recta perpendicular a esta terá declive : Como a recta deve passar na origem a sua equação tem que ser y = x:. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é ortogonal à recta r e passa no ponto 5; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = 5; ) ; daqui se conclui que o declive da recta r é 5 : Qualquer recta ortogonal a r tem declive 5, ou seja terá equação reduzida da forma y = 5 x + h. Para que a recta passe no ponto 5; 4) tem que ser h = = : Então a equação da recta pretendida é y = 5 69 x+ : Ângulo de duas rectas Duas rectas concorrentes de nem quatro ângulos, iguais dois a dois ângulos verticalmente opostos). A soma de dois dos ângulos diferentes é. De ne-se ângulo de duas rectas como o menor destes ângulos. A determinação do ângulo de duas rectas passa pelo cálculo do ângulo entre dois vectores, um de cada recta. O ângulo obtido pode ser o maior ou o menor dos ângulos, conforme a escolha do sentido dos vectores foi feita. Como os ângulos são suplementares, obtido o valor de um dos ângulos facilmente se obtém o valor do outro. Exemplos 1. Encontrar o ângulo entre as rectas de equações y = x + 1 e x + y = 6 Temos que encontrar um vector com a direcção de cada uma das rectas. Uma maneira fácil de o fazer é encontrar dois pontos sobre uma recta e calcular um vector de nido por esses dois pontos. Para a recta y = x + 1 temos, por exemplo, 0; 1) e 1; 0), donde se obtém, por exemplo, u = 1; 0) 0; 1) = 1; 1) : Para a recta x + y = 6 temos, por exemplo, 0; ) e ; 0), donde se obtém, por exemplo, v = ; 0) 0; ) = ; ) :

6 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 9 Temos que calcular o ângulo entre u e v para o que podemos recorrer à fórmula Temos então:cos ^ u; v) = u:v = kuk kvk cos ^ u; v) 1; 1) ; ) k1; 1)k k; )k = 5 p p donde se conclui que 1 ^ u; v) = arccos 5 p p 1 ' 0:19740 Neste caso veri ca-se facilmente, pelo sentido dos vectores escolhidos, que este é realmente o menor ângulo. Rectas no espaço O processo de de nir uma recta no espaço é idêntico ao que foi usado para de nir uma recta no plano. Comecemos com um exemplo. Considere-se no espaço R a recta que passa nos pontos 1; ; ) e ; ; 1) : O vector u = ; ; 1) 1; ; ) = 1; 1; ) é um vector que tem a direcção dessa recta. Um ponto X = x; y; z) está sobre a recta se existir um real tal que x; y; z) = 1; ; ) + 1; 1; ). >< x = 1 + Esta equação pode ser transformada no sistema y = +. >: z = >< = x 1 Agindo de modo análogo ao descrito no plano temos: y = 1 + x >: z = 5 x y = 1 + x Ou seja a equação cartesiana da recta é z = 5 x ou z = 7 z = 5 Vemos assim que para caracterizar uma recta no espaço precisamos de duas condições. Como veremos mais à frente cada uma das condições corresponde a um plano, sendo portanto a recta de nida como intersecção de dois planos. y x

7 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 94 Planos no espaço Para determinar um plano em R são necessários três pontos não colineares, ou um ponto e dois vectores linearmente independentes, ou um ponto e um vector ortogonal ao plano. Repare-se que se tivermos três pontos A; B e C não colineares, podemos construir dois vectores linearmente independentes u = C A e v = B A), assim como com um ponto e dois vectores linearmente independentes se podem obter três pontos não colineares. Um plano em R é um conjunto de pontos da forma M = fp + u + v; ; Rg, em que u e v são linearmente independentes. Um ponto do plano X = x; y; z) pode assim ser obtido >< x = p v 1 fazendo x; y; z) = p 1 ; p ; p ) + ; u ; u ) + v 1 ; v ; v ) ou seja y = p + u + v ; >: z = p + u + v para algum par de valores reais para e para : Exemplos 1. Encontrar o plano que contém os pontos A = 1; 1; 0); B = 0; 1; 1) e C = 1; 0; 1) : De nir dois vectores linearmente independentes: u = B A = 0; 1; 1) 1; 1; 0) = 1; 0; 1); v = C A = 1; 0; 1) 1; 1; 0) = 0; 1; 1); O plano pretendido é o conjunto dos pontos da forma x; y; z) = 1; 1; 0) + 1; 0; 1) + 0; 1; 1) >< x = 1 para algum par de valores reais e : Esta igualdade conduz ao sistema y = 1 : >: z = + Para que este sistema seja possível os valores de x; y e z têm que obedecer a uma certa condição. É essa condição que vai conduzir à equação cartesiana do plano. Vejamos em que condições é que este sistema, nas incógnitas e ; tem solução: 1 0 x x y 1 5! y : 1 1 z 0 0 x + y + z Para que este sistema seja possível é obrigatório que seja x+y+z = 0: Esta condição é aquela a que devem obedecer todos os pontos sobre o plano. A x + y + z = 0 chama-se equação cartesiana do plano representado na gura seguinte:

8 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica 95 Tem particular importância conhecer-se as intersecções dos planos com os eixos e com os planos coordenados. Para este exemplo vê-se facilmente que as intersecções com os eixos são ; 0; 0) ; 0; ; 0) e 0; 0; ) : Quanto às intersecções com os planos coordenados temos: Intersecção com o plano xoy : Intersecção com o plano xoz : Intersecção com o plano yoz : x + y + z = 0 z = 0 x + y + z = 0 y = 0 x + y + z = 0 x = 0!!! x + y = z = 0 x + z = z = 0 y + z = z = 0. É também possível de nir um plano através de um ponto por onde o plano passe e um vector normal ao plano. Com efeito, se um vector é normal a um plano então é normal a todos os vectores do plano. Seja P um ponto que se sabe pertencer ao plano e n um vector ortogonal ao plano. Sendo X um ponto genérico do plano, então n é ortogonal ao vector X P, ou seja X P ) n = 0: Vejamos como utilizar este conhecimento para de nir o plano do exemplo anterior. Já determinámos dois vectores do plano u = 1; 0; 1) e v = 0; 1; 1): Um vector ortogonal ao plano será ortogonal a ambos os vectores simultaneamente e pode ser facilmente obtido efectuando o produto externo de u e de v: 6 " det " 4 e 1 e e = det " # e 1 det = e 1 + e + e = 1; 1; 1) : " # e + det " # e = Assim, X P ) n = 0 ) x; y; z) 1; 1; 0)) 1; 1; 1) = 0 ) x 1; y 1; z) 1; 1; 1) = 0 ) x 1 + y 1 + z = 0; obtendo-se a equação do plano x + y + z = 0: Ângulo de dois planos O ângulo entre dois planos é de nido pelo ângulo entre duas rectas que sejam, respectivamente, ortogonais a cada um dos planos.