ALGA /09 - Geometria Analítica 78. Geometria Analítica

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1 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 7 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo faz-se um revisão desses conceitos e generaliza-se ao espaço R n estas noções e outras associadas. Rectas no plano Em geometria euclidiana existe uma única recta que passa por dois pontos dados. Para se saber se um ponto está ou não sobre uma recta é necessário encontrar uma propriedade que só os pontos que estão sobre a recta possuem. Comecemos com um exemplo. Considere-se no plano a recta que passa nos pontos 1; ) e ; ) : O vector u = ; ) 1; ) = 1; 1) é um vector que tem a direcção dessa recta Qualquer ponto da recta pode ser obtido a partir de um dos pontos dados somando múltiplos deste vector. Assim, podemos, por exemplo, de nir esta recta através da igualdade: x; y) = 1; ) + 1; 1) ; R 1) A uma equação desta forma chama-se equação vectorial da recta. A equação 1) dá lugar a um sistema de duas equações: x = 1 + y = + As equações deste sistema têm o nome de equações paramétricas da recta. Explicitando o valor de na primeira equação e substituindo na segunda obtém-se: = x 1 y = + x 1 ou seja, obtém-se a equação x + y = 1 a que se chama equação geral ou equação cartesiana da recta.

2 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 79 Se nesta equação explicitarmos o valor de y obém-se: a que se chama equação reduzida da recta. y = x + 1 Em geral, se quisermos a equação da recta que passa no ponto A = a 1 ; a ) e tem a direcção do vector u = ; u ) temos que repetir este procedimento. Seja X = x; y) um ponto geral sobre a recta, então existe um número real tal que x; y) = a 1 ; a ) + ; u ): Donde passamos para as equações paramétricas: x = a 1 + y = a + u Explicitando agora o valor de na primeira equação e substituindo na segunda vem >< = x a 1 y = a + x a 1 ) u e nalmente y = u u x + a a 1 A equação reduzida de uma recta é da forma y = mx + h, em que m = u e h = a u a 1 : Como se vê facilmente m = u é o valor da tangente do ângulo que a recta faz com o eixo dos xx. A este valor chama-se declive da recta. Por outro lado o valor h = a u a 1 é o que se obtém para y quando se faz x = 0: A este

3 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 0 valor chama-se ordenada na origem. Na gura acima estão representadas rectas de diferentes declives todas a passar na origem. É fácil perceber que as rectas que passam na origem têm equação reduzida y = mx com excepção do eixo dos yy que tem equação x = 0) Rectas paralelas Rectas paralelas fazem todas o mesmo ângulo com o eixo dos xx, logo têm todas o mesmo declive. As rectas da gura têm todas declive 1 e têm ordenada na origem diferente. Pode-se então escrever que a equação geral desta família de rectas é da forma y = x + h, variando o h consoante o ponto onde a recta intersecta o eixo dos yy: Exemplos 1. Determinar a equação da recta paralela à recta x + y = 6 que passa na origem. Começamos por escrever a equação da recta na forma reduzida: y = x +. Vemos assim que a recta dada tem declive : Procuramos agora entre todas as rectas com declive qual é a que passa no ponto 0; 0) : A equação geral das rectas paralelas

4 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 1 à recta dada é y = x + h. É claro que para a recta passar na origem terá que ser h = 0: A recta pretendida é y = x ou seja, x + y = 0:. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é paralela à recta r e passa no ponto ; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = ; 11) ; daqui se conclui que o declive da recta r é : Qualquer recta paralela a r tem declive, ou seja terá equação reduzida da forma y = 11 x + h. Para que a recta passe no ponto ; 4) tem que ser h = 4 11 Rectas ortogonais 11 = 7: Então a equação da recta pretendida é y = x 7: Considere-se a recta r = fa + u; Rg e a recta s = fb + v; Rg. Estas rectas são ortogonais se os vectores u e v forem ortogonais. Ou seja as rectas são ortogonais se u v = 0 A recta r tem equação reduzida y = u x + y = v v x + b b 1 : v 1 v 1 u a a 1 e a recta s tem equação reduzida Como os vectores u e v são ortogonais é u v = v 1 + u v = 0: Desta última igualdade conclui-se que u = v 1 : v Então, tendo as equações reduzidas de duas rectas y = mx + h e y = m 0 x + h 0, reconhece-se que elas são ortogonais se m = 1 m 0 : Exemplos. Encontrar uma equação da recta perpendicular à recta x + y = 6 que passa na origem.

5 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica Já vimos que esta recta tem declive : Qualquer recta perpendicular a esta terá declive : Como a recta deve passar na origem a sua equação tem que ser y = x: 4. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é ortogonal à recta r e passa no ponto ; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = ; 11) ; daqui se conclui que o declive da recta r é 11 : Qualquer recta ortogonal a r tem declive, ou seja 11 terá equação reduzida da forma y = x + h. Para que a recta passe no ponto ; 4) 11 tem que ser h = = : Então a equação da recta pretendida é y = 69 x : Ângulo de duas rectas O ângulo de duas rectas é o de nido por dois vectores tais que cada um tenha a direcção de uma das rectas. Exemplos. Encontrar o ângulo entre as rectas de equações y = x + 1 e x + y = 6 Temos que encontrar um vector com a direcção de cada uma das rectas. Uma maneira fácil de o fazer é encontrar dois pontos sobre uma recta e calcular um vector de nido por esses dois pontos. Para a recta y = exemplo, u = 1; 0) 0; 1) = 1; 1) : x + 1 temos, por exemplo, 0; 1) e 1; 0), donde se obtém, por Para a recta x + y = 6 temos, por exemplo, 0; ) e ; 0), donde se obtém, por exemplo, v = ; 0) 0; ) = ; ) : Temos que calcular o ângulo entre u e v para o que podemos recorrer à fórmula Temos então:cos ^ u; v) = u:v = kuk kvk cos ^ u; v) 1; 1) ; ) k1; 1)k k; )k = p p donde se conclui que 1 ^ u; v) = arccos p p 1 ' 0:19740

6 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica. Distância de um ponto a uma recta Definiç~ao: Chama-se distância de um ponto A a uma recta r à distância de A ao ponto de r mais próximo de A: Na gura estão representados a recta y = x a distância do ponto à recta. 1 e o ponto ; 6) : Pretende-se determinar O ponto da recta mais perto do ponto ; 6) obtém-se na direcção perpendicular à recta. A construção geométrica consiste então em fazer passar por ; 6) uma recta perpendicular a y = x 1, determinar o ponto que ca na intersecção das duas rectas e a distância de ; 6) a esse ponto. A família de rectas perpendiculares a y = x 1 tem equação da forma y = 1 x + h: A recta desta família que passa no ponto ; 6) corresponde a h = = 7, ou seja y = 1 x + 7: < y = x 1 Determina-se agora a intersecção das duas rectas, ou seja resolve-se o sistema : y = 1 x + 7, x = 16 obtendo-se. Resta agora calcular a distância entre ; 6) e 16 y = ; 7 7 : d = s = p Um processo alternativo para encontrar a distância de um ponto A a uma recta r consiste em encontra um ponto qualquer P sobre a recta, um vector v ortogonal à recta e projectar! o vector AP sobre o vector v. O comprimento dessa projecção será a distância do ponto à recta.

7 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 4 Seja P = x 1 ; y 1 ) e r a recta de equação ax + by + d = 0: O procedimento descrito leva à obtenção da seguinte fórmula para o calculo da distância d de P a r : d = jax 1 + by 1 + dj p a + b Rectas no espaço O processo de de nir uma recta no espaço é idêntico ao que foi usado para de nir uma recta no plano. Comecemos com um exemplo. Considere-se no espaço R a recta que passa nos pontos 1; ; ) e ; ; 1) : O vector u = ; ; 1) 1; ; ) = 1; 1; ) é um vector que tem a direcção dessa recta. Um ponto X = x; y; z) está sobre a recta se existir um real tal que x; y; z) = 1; ; ) + 1; 1; ). >< x = 1 + Esta equação pode ser transformada no sistema y = +. z = >< = x 1 Agindo de modo análogo ao descrito no plano temos: y = 1 + x z = x y = 1 + x Ou seja a equação cartesiana da recta é z = x ou z = 7 z = Vemos assim que para caracterizar uma recta no espaço precisamos de duas condições. Como veremos mais à frente cada uma das condições corresponde a um plano, sendo portanto a recta de nida como intersecção de dois planos. y x Planos no espaço Para determinar um plano em R são necessários três pontos não colineares, ou um ponto e dois vectores linearmente independentes, ou um ponto e um vector ortogonal ao plano. Repare-se que se tivermos três pontos A; B e C não colineares, podemos construir dois

8 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica vectores linearmente independentes u = C A e v = B A), assim como com um ponto e dois vectores linearmente independentes se podem obter três pontos não colineares. Um plano em R é um conjunto de pontos da forma M = fp + u + v; ; Rg, em que u e v são linearmente independentes. Um ponto do plano X = x; y; z) pode assim ser obtido >< x = p v 1 fazendo x; y; z) = p 1 ; p ; p ) + ; u ; u ) + v 1 ; v ; v ) ou seja y = p + u + v ; z = p + u + v para algum par de valores reais para e para : Exemplos 6. Encontrar o plano que contém os pontos A = 1; 1; 0); B = 0; 1; 1) e C = 1; 0; 1) : De nir dois vectores linearmente independentes: u = B A = 0; 1; 1) 1; 1; 0) = 1; 0; 1); v = C A = 1; 0; 1) 1; 1; 0) = 0; 1; 1); O plano pretendido é o conjunto dos pontos da forma x; y; z) = 1; 1; 0)+ 1; 0; 1)+ 0; 1; 1) para algum par de valores reais e : Esta igualdade conduz ao sistema >< x = 1 y = 1 : Para que este sistema seja possível os valores de x; y e z têm que z = + obedecer a uma certa condição. É essa condição que vai conduzir à equação cartesiana do plano. Vejamos em que condições é que este sistema, nas incógnitas e ; tem 1 0 x x solução: y 1! y + 1 : Para que este 1 1 z 0 0 x + y + z sistema seja possível é obrifgatório que seja x + y + z = 0: Esta condição é aquela a que devem obedecer todos os pontos sobre o plano. A x + y + z equação cartesiana do plano representado na gura seguinte: = 0 chama-se Tem particular importância conhecer-se as intersecções dos planos com os eixos e com os planos coordenados. Para este exemplo vê-se facilmente que as intersecções com os eixos são ; 0; 0) ; 0; ; 0) e 0; 0; ) : Quanto às intersecções com os planos coordenados temos: Intersecção com o plano xoy : x + y + z = 0 x + y =! z = 0 z = 0

9 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 6 Intersecção com o plano xoz : Intersecção com o plano yoz : x + y + z = 0 y = 0 x + y + z = 0 x = 0!! x + z = z = 0 y + z = z = 0 7. É também possível de nir um plano através de um ponto por onde o lano passe e um vector normal ao plano. Com efeito, se um vector é normal a um plano então é normal a todos os vectores do plano. Seja P um ponto que se sabe pertencer ao plano e n um vector ortogonal ao plano. Sendo X um ponto genérico do plano, então n é ortogonal ao vector X P, ou seja X P ) n = 0: Vejamos como utilizar este conhecimento para de nir o plano do exemplo anterior. Já determinámos dois vectores do plano u = 1; 0; 1) e v = 0; 1; 1): Um vector ortogonal ao plano será ortogonal a ambos os vectores simultaneamente e pode ser e 1 e e 6 7 facilmente obtido efectuando o produto externo de u e de v: " det " = det " # e 1 det " # e + det " X P ) n = 0! x; y; z) 1; 1; 0)) 1; 1; 1) = 0! # e = e 1 + e + e = 1; 1; 1) : x 1; y 1; z) 1; 1; 1) = 0! x 1 + y 1 + z = 0; obtendo-se assim a equação do plano x + y + z = 0: Distância de um ponto a um plano A determinação da distância de um ponto a um plano faz-se de modo idêntico à determinação da distância de um ponto a uma recta no plano. Considere-se o plano M = fp + u + vg e um ponto Q que não pertence a M. Faz-se passar por Q uma recta perpendicular a M, intersecta-se a recta com o plano e determina-se a distância entre Q e o ponto de intersecção, sendo essa a distância de Q ao plano. Outra abordagem consiste em fazer a projecção do vector Q plano, obtendo-se a fórmula: d = jp Q) nj knk P sobre o vector normal ao Exemplos. Determinar a distância do ponto 1; ; 4) ao plano x + y + z = : Um vector normal ao plano é 1; 1; 1) : A recta que passa por 1; ; 4) e é ortogonal ao plano de ne-se por: x; y; z) = 1; ; 4) + 1; 1; 1)! y = +! >< x = 1 + z = 4 +

10 ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 7 >< = 1 + x y = 1 + x y = 1 + x! : Para fazer a intersecção desta recta com o plano z = + x z = + x >< y = 1 + x >< x = é necessário resolver o sistema z = + x,! y = 1 Calcula-se agora x + y + z = z = 7 1; ; 4) ; 1; q 7 = = p u :6 Usando a fórmula obtém-se: d = jp j1; 1; 0) 1; ; 4)) 1; 1; 1)j k1; 1; 1)k = Q) nj knk j0; 1; 4) 1; 1; 1)j p = p : De notar que a utilização da fórmula permite saber a distância do ponto ao plano, mas não dá a indicação de qual o ponto do plano que está mais próximo do ponto Q: Ângulo de dois planos O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os respectivos vectores ortogonais Distância entre dois planos paralelos Se dois planos M e M 0 são paralelos os respectivos vectores ortogonais são colineares então as equações cartesianas dos planos relacionam-se da seguinte forma: Plano M : ax + by + cz = d jd d 0 j pela expressão: ka; b; ck M 0 : ax + by + cz = d 0 e a distância entre os planos é dada