, a equação. x, y x, y k. u, u, k. x, y 2, 3 k. 1, 2, k. Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2.

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1 Escola Secundária de lberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática Geometria I Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares. º no Equação vetorial da reta: Dado um ponto x 0, y 0 e um vetor u u, u, a equação x, y x, y k. u, u, k 0 0 é a equação vetorial da reta que contém e tem a direcção do vetor u. é: Exemplo: equação vetorial da reta que contém o ponto, e tem a direcção do vetor u, x, y, k.,, k Equação reduzida de uma reta: uma equação da forma y m x b, em que m é o declive e b a ordenada na origem, chama-se equação reduzida da reta. Nota: equação da reta com declive m e que contém o ponto x, y y y m x x Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive e ordenada na origem. Resolução: Como m e b, a equação da reta é: y x Nota : o declive de uma reta quando se conhecem dois pontos x, y e y y x, y é dado por: m x x u o declive de uma reta quando se conhece o seu vetor director u ( u, u ) é dado por : m u Exemplo: Determina o declive de uma reta que: a) passa pelos pontos, e, ; b) tem a direcção do vetor u,. ESS Geometria I Página /6

2 Resolução: y y e (, ) m x x ( ) a), u b) u (, ) m u Exercícios Propostos:. Determina uma equação vetorial da reta que: ; a) passa no ponto, e tem a direcção do vetor u, b) passa pelos pontos, e, ; c) passa na origem dos eixos coordenados e tem a direcção do vetor v, 4 ; d) contém o ponto C, e tem a direcção do eixo Ox; e) contém o ponto D, 5 e é paralela ao eixo Oy.. Determina a equação reduzida da reta que: a) passa no ponto, e tem a direcção do vetor u, b) tem declive e contém o ponto, c) tem declive e passa pelo ponto 0, ; ; d) passa pelo ponto, e tem a direcção do vetor u, ; e) contém o ponto, 0 e é paralela ao vetor v,. f) contém o ponto C, e tem a direcção do vetor a,. Determina o declive de uma reta que:,, ; a) contém os pontos e b) contém os pontos C, e D, 4 ; c) tem a direcção do vetor u, 6 ; d) é paralela ao vetor v, 4 4. Representa graficamente cada uma das retas: a) y x ; b) y x. Declive como tangente da inclinação de uma reta no plano o traçarmos uma reta oblíqua num referencial o.n. do plano observamos que ela forma com o eixo dos Ox, dois ângulos. Chamamos inclinação de uma reta à amplitude do ângulo definido pelo semieixo positivo do eixo Ox e pela reta. ESS Geometria I Página /6

3 Sabendo que o declive m da reta é definido por: y y m x x E atendendo à definição de tangente de um ângulo de amplitude, podemos escrever: Logo, tg m y tg x y x m Exemplo: Considera a reta r de equação: r : x, y, k.,, k Resolução: Determina: a) o seu declive; b) a sua inclinação u e m então u a) Sendo r, b) m tg, logo tg m ; e então tg 8,4 c.d. ssim, tendo em atenção a variação de sinal de tg, podemos concluir que : Declive positivo, m 0 então 0 90 : Declive nulo, m 0 então 0 ou 80 Declive negativo, m 0 então : Quando a inclinação de uma reta é de 90 (reta vertical), a tangente não está definida, pelo que não é possível atribuir ao declive um número real. ESS Geometria I Página /6

4 Exercícios Propostos: 5. Para cada uma das retas, indica o declive e a inclinação: a) r : y x b) r : y x r : x, y, k.,, k c) d) r : x, y, k.,, k Ângulo de duas retas Dadas as retas, r e s, concorrentes e não perpendiculares: O ângulo de duas retas concorrentes corresponde ao ângulo de amplitude, por elas definido, tal que: 0 90 Nota que: Se as retas forem paralelas, o ângulo por elas definido tem de amplitude 0. Se as retas forem perpendiculares, o ângulo tem de amplitude 90. Para determinar a amplitude do ângulo definido pelas retas concorrentes r e s, utiliza-se a fórmula: ^ cos( r s ) r r s sendo r e s os vetores diretores das retas r e s, respetivamente. s Exemplo: Determina, com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo definido pelas retas r e s: r : x, y, k.,, k s : y x Resolução: Em relação à reta r, um vetor diretor será r,, Em relação à reta s, ms., logo um vetor diretor será s, r s,., 9 7 Então, cos r s 0 0 Recorrendo à calculadora, concluímos que: cos ESS Geometria I Página 4/6

5 Retas Perpendiculares Duas retas são perpendiculares quando o ângulo definido pelas retas é 90, o que é equivalente a calcular o ângulo definido pelos vetores diretores das retas. Considerando: Reta Vetor diretor r: y mx b r, m s: y mx b s, m Conclusão: Duas retas são perpendiculares se o declive de uma é igual ao simétrico do inverso da outra. Retas r: y mx b s: y mx b Relação entre os declives m m Exemplo: Dada a reta de equação r : y x. Determina uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto, 4. Resolução: Podemos estabelecer que Reta r Declive m s m Uma equação da reta s é: y 4 x y x 9 4 y x 5 Exercícios Propostos: 6. Dada a reta r : y x. Determinar uma equação da reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto,. 7. Calcula m de modo que u,m seja perpendicular a v,. 8. Considera a reta r de equação y x. O valor de k para o qual o vetor u,k tem direcção perpendicular à reta r é : () () (C) (D) ESS Geometria I Página 5/6

6 9. Na figura está representado um triângulo equilátero de perímetro cm. O valor do produto escalar. C é: () 4 () 8 (C) 6 (D) 8 0. cerca de dois vetores u e v, sabe-se que u v e u. v 4 Então podemos afirmar que os vetores u e v são: () perpendiculares () não colineares (C) colineares do mesmo sentido (D) colineares de sentidos contrários. Considera num referencial ortonormado Oxy, os pontos, e, e a reta r de equação r : y x a) Determina o ângulo que a reta r faz com o eixo dos yy. b) Calcula o ângulo definido pelas retas r e, com aproximação às centésimas de grau. SOLUÇÕES: a) x,y, k,,k b) x,y, k,,k c) x,y 0,0k, 4,k d) e) x,y,5 k0,,k a) yx 5 b) yx c) yx d) yx 4 e) yx 6 f) 7 y x a) x,y, k,0,k m b) m 4 c) m d) m 5a) Declive:m Inclinação: 6,4 5b) Declive: m Inclinação: 5,4 5c) Declive: m Inclinação: 5 5d) Declive: m Inclinação: y x 7. m 8. k Resp. () 9..C 8 Resp. () 0. Resp. (D) a) 0 cos 8,4 b) cos 7,87 0 ESS Geometria I Página 6/6