UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA REGIMES DIURNO/NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA EXAME DE ÉPOCA NORMAL de Janeiro de 8 Duração: h min Sugestão: Justifique convenientemente TODOS os cálculos efectuados através de indicações concisas Questão [ valores] Considere as seguintes matrizes : a b+ A, B a + 5 a b + 6 a + a a+ b + b + e C ) [5] Determine a característica da matriz A, em função dos valores do parâmetro a ) [] Discuta o sistema AX B, em função dos valores dos parâmetros a e b ) [5] Indique para que valores de a, se tem A > ) [5] Um dos valores próprios da matriz C, é λ Determine os restantes 5) [5] Determine uma base do sub-espaço dos vectores próprios de C associados a λ e indique a sua dimensão 6) [] Elimine a ª linha e a ª coluna da matriz A e a ª linha da matriz B Considerando a b, resolva o sistema correspondente à equação matricial AX calculando a inversa de A pelo método da matriz adjunta 7) [] Considere que, com B pelo método de explicitação, a, a matriz A representa os vectores [ v v v ] o conjunto formado por estes vectores constituí uma base para v Verifique se Questão [8 valores] Considere em α : x + y z + os pontos A (,,), B (,,), C (,, ) e o plano ) [] Mostre que o plano que contém os pontos A,B e C pode ser definido pela equação x + y + z ) [5] Estude a posição relativa dos dois planos ) [5] Indique uma equação da recta que passa na origem e não intersecta nenhum dos planos ) [5] Qual o ponto do plano α mais próximo do ponto A, e a que distância se encontra? 5) [5] Indique a equação de um plano paralelo a α, tal que o ponto B seja equidistante de ambos 6) [] Indique a equação de um plano perpendicular a α que contenha os pontos A e C /

2 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 Questão [ valores] Considere as seguintes matrizes : a b+ A, B a + 5 a b + 6 a + a a+ b + b + e C [5] Determine a característica da matriz A, em função dos valores do parâmetro a Resolução: Comecemos por condensar a matriz A, a a A a + 5 a a a + 5 a a a a a + a a+ a a + a+ a a a+ a a a transformámos a matriz A numa matriz triangular superior, agora em função do parâmetro a estudamos a sua característica r( A ) Por exemplo, se a, A, a a a ou seja, a r( A) Por raciocínio análogo, a ± r( A) e a a ± r( A) [] Discuta o sistema AX B, em função dos valores dos parâmetros a e b Resolução: O sistema correspondente à equação matricial AX Condensado a matriz ampliada do sistema, obtemos B é, x a x b+ AX B a + 5 a x b + 6 a + a a+ x b + b + a b + a b + [ A B] a + 5 a b + 6 a a + 5 b a + a a + b + b + a a + a + b + b + b b b a a b a b a b a a a + b + b a a b + b a b /7

3 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 Por exemplo, se a, vem b [ A B] b b, portanto, b ± SPI b ± SI Analogamente, b SPI a ± e a a ± SPD b SI [5] Indique para que valores de a, se tem A > Resolução: Vamos aplicar as operações elementares para os determinantes e transformar A num determinante triangular, cujo valor é produto dos elementos da diagonal principal, a a A a + 5 a a a + 5 a a a a + a a+ a a + a+ a a a+ a a a ( a ) a a Donde, A > a ( a ) > a ( a ) < a (],[\{}) - + a a A [5] Um dos valores próprios da matriz C, é λ Determine os restantes Resolução: λ λ λ C λi ( λ) λ ( λ)( λ)( λ)( λ) λ λ λ λ λ λ O valor próprio λ tem múltiplicidade algébrica ; Os valores próprios λ e λ tem múltiplicidade algébrica /7

4 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 5 [5] Determine uma base do sub-espaço dos vectores próprios de C associados a λ e indique a sua dimensão Resolução: Os vectores próprios são: x x + x x \{} x x x x x + + x x ( C λi) X, x x x x x x T ou seja, [ ] [ ] X x x x, x T Uma base do subespaço dos vectores próprios de C associados a λ é B {(,,,)} A dimensão do subespaço é porque a base tem um vector (o valor próprio λ tem múltiplicidade geométrica ) 6 [] Elimine a ª linha e a ª coluna da matriz A e a ª linha da matriz B Considerando a b, resolva o sistema correspondente à equação matricial AXB pelo método de explicitação, calculando a inversa de A pelo método da matriz adjunta Resolução: Eliminando a ª linha e a ª coluna da matriz A e a ª linha da matriz B, e considerando a b, vem Queremos, resolver o sistema AX A e B 5 8 isso a matriz A tem que admitir inversa Como A existe B pelo método da explicitação (método da matriz inversa), para A, vindo AX B X A B É pedido para calcular A através da matriz adjunta, A adj( A ) A, uma vez que, adj( A) T e A /7

5 7 [] Considere que, com Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 os vectores assim definidos constituem uma base para Resolução: Considerando a, a, a matriz A representa os vectores [ v v v ] v A, 6 donde v (,, 6, ), v (,,,), v (,,,) e v (,,,), e V { v, v, v, v } Como é um espaço vectorial de dimensão, e V é um subconjunto de vectores, então V é uma base de se V gerar Verifique se com exactamente, ou se for um conjunto linearmente independente Vimos na alínea, a r( A), ou seja, A donde o conjunto V é LD Consequentemente, V não constituí uma base para Questão [8 valores] Considere em α : x + y z + os pontos A (,,), B (,,), C (,, ) e o plano [] Mostre que o plano que contém os pontos A,B e C pode ser definido pela equação x + y + z Resolução: Como sabemos três pontos não colineares definem um plano Três pontos são colineares se x y z x y z x y z, como, os pontos A, B e C não são colineares, logo definem um plano Vamos agora verificar se estes pontos satisfazem a equação x + y + z : A (,,) + + PV; B (,,) + + PV; C (,, ) + PV Assim, os pontos não colineares A,B e C definem o plano de equação x + y + z OU, poderíamos ter considerado x x y y z z x y z x x y y z z ( x ) y + ( z ) x x y y z z x + y + z onde as ª e ª linhas são, respectivamente, AB e AC /7

6 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 OU, considerando os vectores AB (,, ) e AC (,, ) determinar um vector normal a estes dois, e e e AB AC e e e (,, ), linearmente independentes, podemos a equação geral do plano definido por estes dois vectores é x y z + d como, por exemplo, o ponto A (,,) pertence ao plano, + d d Ou seja, a equação do plano definido por estes dois vectores directores e o ponto é, x y z + x + y + z [5] Estude a posição relativa dos dois planos Resolução: Vamos estudar a posição relativa dos planos α : x + y z + e β : x + y + z Se os seus vectores normais dos planos são paralelos, ou seja, n λn, para λ \{}, e assim ( a, b, c ) ( a, b, c ) a b c λ λ, os planos são coincidentes ou estritamente paralelos a b c Como n α (,, ) e n β (,,) α, vem, portanto, os planos não são coincidentes ou estritamente paralelos Logo, uma vez que, os seus vectores normais não são paralelos, os planos α e β são secantes (por exclusão de partes) A sua intersecção é uma recta r, cuja equação pode ser β calculada resolvendo o sistema x + y z + x + y + z que é possível e indeterminado Em particular, α β se n n n n, como n n (,, ) (,,) +, os planos não são perpendiculares, são oblíquos [5] Indique uma equação da recta que passa na origem e não intersecta nenhum dos planos Resolução: Uma recta pode ser definida por um ponto e um vector director Queremos uma recta que passa em O (,, ) e não intersecta nenhum dos planos, ou seja, o vector director é paralelo aos dois planos Nestes termos, o vector director é perpendicular aos vectores normais dos outros planos Os planos são α : x + y z + e β : x + y + z, com, n α (,, ) vector normal a estes vectores é e n β (,,) Um e e e n n 5e e e (5,, ), vector director α β da recta pedida A recta pedida tem equação vectorial r : ( x, y, z) (,,) + λ(5,, ), λ 5/7

7 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 [5] Qual o ponto do plano α mais próximo do ponto A, e a que distância se encontra? Resolução: O ponto do plano α mais próximo do ponto A (,,), é o ponto de intersecção de α com uma recta perpendicular a α que passa no ponto A (,,) Uma recta perpendicular a α que passa em A (,,), tem equação, r : ( x, y, z) (,,) + λ(,, ), λ O ponto de intersecção da recta com o plano é dado por x + λ x ( x, y, z) (,,) λ(,, ) ( x, y, z) ( λ, λ, λ) + + y λ y 6 x + y z + x + y z + z λ z x + y z + λ 6 ou seja, o ponto de α, mais próximo de A (,,) é o ponto P (,, ) A distância pedida é d( A, P ) AP P A (,, ) (,,) (,, ) ( ) ( ) ( ) 6 + +, Repare-se que, não é necessário determinar o ponto P para calcular a distância pedida A distância entre α e A é precisamente a distância entre A e P Para n α ( a, b, c) (,, ) (vector normal do plano) e A ( x, y, z ) (,,), vem d( A, α ) ax + by + cz + d + + a + b + c + + ( ) 5 [5] Indique a equação de um plano paralelo a α, tal que o ponto B seja equidistante de ambos Resolução: Tendo em conta a alínea anterior, a distância entre B (,,) e o plano α : x + y z +, é d( B, α ) ax + by + cz + d + + a + b + c + + ( ) O plano pedido por ser paralelo a α : x + y z + é da forma γ : x + y z + d e a sua distância ao ponto B tem que ser d( α, B) (o ponto B é equidistante ambos os planos) Nestes termos, a distância de γ a B é + + d d( γ, B) + d d + d + d d + + ( ) O valor de d corresponde ao plano α : x + y z +, devemos considerar d, sendo a equação do plano pretendido γ : x + y z 6/7

8 Possível resolução do exame de época normal de ALGA, de de Janeiro de 8 OU, vamos determinar o ponto de α mais próximo do ponto B Tendo em conta a alínea ), a recta perpendicular a α que passa em B (,,), tem equação, r : ( x, y, z) (,,) + λ(,, ), λ O ponto de intersecção da recta com o plano é dado por x 5 ( x, y, z) ( λ, + λ, λ) y x + y z + z λ 5 ou seja, o ponto de α, mais próximo de B (,,) é o ponto P (,, ) A distância de α a B é d( A, P ) BP (,, ) ( ) ( ) ( ), Por exemplo, como a equação de um plano paralelo a α é γ : x + y z + d, a distância entre estes dois planos é d d d d( α, γ ) a + b + c, o dobro da distância de α a B, donde d d( α, γ ) d 6 d d 8 6 [] Indique a equação de um plano perpendicular a α que contenha os pontos A e C Resolução: Dois vectores linearmente independentes e um ponto definem um plano Podemos considerar, por exemplo, o ponto A (,,), e os vectores directores AC (,, ) e n α (,, ) (vector normal a α, uma vez que queremos um plano perpendicular a α ), vindo x y z ( x )( + 6) y( + ) + ( z )( ) x + z A equação do plano pedido é π : x + z Observe-se que os pontos A e C satisfazem a equação do plano e n n (,, ) (,,), ou seja, os planos são perpendiculares α π 7/7