ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A. Ficha de revisão nº 14

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ficha de revisão nº. Observe a casa representada na figura à qual foi aplicado um referencial xoy o.n. em que a unidade é o metro... Sabe-se que: D( 6,0), 5 y = x+. Determine: 7 7 F,0... as coordenadas dos pontos B e E;... a altura da parede [FC]. e 7 G,. A equação reduzida da recta BC é.. Escreva a equação reduzida da recta BG e determine a área da frente da garagem, ou seja do quadrilátero [ADEG]... O proprietário da casa pensou em construir uma nova garagem, prolongando até ao solo o telhado que contém [BC]. Determine a área da frente da nova garagem... Admita que era aplicado um novo referencial o.n., com a mesma unidade do referencial dado, em que a origem coincide com o ponto D, o ponto A pertence ao semieixo positivo das ordenadas e o ponto F pertence ao semieixo positivo das abcissas. Indique, neste novo referencial, as coordenadas dos pontos B e E.. Considere as funções definidas analiticamente por: f( x) = x x+ e g( x) = x+ 5.. Indique o contradomínio de cada uma das funções... Resolva as seguintes condições:... f( x) 0... g( x) = 0... g( x) Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

2 . Na figura estão representados os gráficos de duas funções reais de variável real. Utilize as capacidades da calculadora gráfica para determinar o perímetro do triângulo [ABC]. Explique como procedeu e apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. f x = x + x+ 5.. Considere a função polinomial f definida por ( ) Os pontos P e C assinalados na figura abaixo são os pontos de intersecção do gráfico de f com o semieixo positivo das abcissas e com o eixo das ordenadas, respectivamente. Um ponto móvel A, de abcissa x, desloca-se sobre o eixo Ox desde o ponto O até ao ponto P. A recta AB é paralela ao eixo Oy e o ponto B pertence ao gráfico da função f... Determine as coordenadas dos pontos C e P... Considere a função T que a cada x, abcissa do ponto A, faz corresponder à área do polígono [OABC].... Indique o domínio da função T. T x = x + x + 5x... Mostre que ( )... Calcule T ( 0 ) e interprete o resultado em termos geométricos.... Sem recorrer à calculadora, determine T ( ) e resolva a equação T( x) =... Recorrendo à calculadora, determine a abcissa do ponto A de modo que a área do polígono [OAGB] seja máxima. Apresente o resultado arredondado às décimas. Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ficha de revisão nº Proposta de resolução. Observe a casa representada na figura à qual foi aplicado um referencial xoy o.n. em que a unidade é o metro... Sabe-se que: D( 6,0), 5 y = x+. Determine: 7 7 F,0 e 7 G,. A equação reduzida da recta BC é... as coordenadas dos pontos B e E são: B 0, e 7 E,0 ;... a altura da parede [FC] é dada por.. A equação reduzida da recta BG é 7 5 = m+ 6 = 7m+ 7m= 5 m= y = + = 7 y = mx+ sendo m a solução da equação 5 Finalmente a equação da recta BG é y = x+. Podíamos ter verificado que a recta 7 está definida por pontos que são simétricos dos que definem a recta BC em relação ao eixo Oy e por isso o seu declive é simétrico do declive da recta BC. A área da frente da garagem, ou seja do quadrilátero [ADEG] é dada por AD + EG A = DE. Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

4 Ora EG =, 7 5 DE 6 = = e AD y ( 6) ( 6) 5 7 = = + =, então A = = m. A área é aproximadamente 5,7 m O proprietário da casa pensou em construir uma nova garagem, prolongando até ao solo o telhado que contém [BC]. Para determinarmos a área da frente da nova garagem vamos começar por calcular o zero de y = x+ : x+ = 0 0x+ 77= 0 x = Acabámos de calcular a medida da base. A área pedida é a área de um triângulo 77 0 A = =. A área é,55 m. 0.. Admitamos que era aplicado um novo referencial o.n., com a mesma unidade do referencial dado, em que a origem coincide com o ponto D, o ponto A pertence ao semieixo positivo das ordenadas e o ponto F pertence ao semieixo positivo das abcissas. Neste novo referencial, as coordenadas dos pontos B e E são B 6, e 5 E,0. Considere as funções definidas analiticamente por: f( x) x x = + e ( ) g x = x+ 5.. Para indicarmos o contradomínio de cada uma das funções vamos calcular o mínimo nos dois casos. O contradomínio de f é D' = [, + [ e o contradomínio de g ' é D [, [ g = +. Analiticamente bastaria calcular o vértice da parábola: ± 6 x x+ = 0 x = x = x = + Donde h = = e ( ) k = f = + =. As coordenadas do vértice são (, ) pelo que o contradomínio de f é D' = [, + [ e verificar que o gráfico de g resulta do gráfico de y = x por uma translação associada ao ' vector de coordenadas ( 5, ), pelo que o contradomínio de g é D [, [.. Resolva as seguintes condições:... f( x) 0 x x+ 0 x ],[... g( x) = 0 x+ 5 = x+ 5= x+ 5= x = x = 7 g = g( x) x+ 5 x+ 5 5 x+ 5 5 x+ 5 5 x 0 x 0 Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

5 x [ 0,0]. Na figura estão representados os gráficos de duas funções reais de variável real. Utilize as capacidades da calculadora gráfica para determinar o perímetro do triângulo [ABC]. Explique como procedeu e apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Precisamos de encontrar as expressões que definem as funções: Comecemos pela função módulo: As coordenadas do ponto origem das duas semi-rectas são (, ). + y ( A) AB O declive da semi-recta ĊB é pelo que a função é definida por y = x Para a função quadrática, vamos poder defini-la: a partir das coordenadas do vértice da parábola que a representa (,6 ) Ficando y = a( x ) + 6, equação que será verificada pelas coordenadas do ponto de coordenadas ( 5,0 ) : ( ) 0 a 6 6 a 6 a y = x + 6 definida por: ( ) = + = = pelo que a nossa função vai ficar a partir dos zeros que são e 6. A equação y = a( x )( x 6) será então verificada pelas coordenadas do vértice: ( )( ) 6 = a 6 6 = a a= pelo que a nossa função vai ficar definida por: y = ( x )( x 6) Podemos agora introduzir as expressões na calculadora e determinar sucessivamente: as coordenadas de A e de B, a distância entre A e B AB,9 as distâncias entre B e C e entre A e C utilizando o teorema de Pitágoras Professora Rosa Canelas 5 Ano lectivo 006/007

6 BC = AC 5,0 O perímetro é Perímetro,77. f x = x + x+ 5. Os pontos P e C assinalados na figura abaixo são os pontos de intersecção do gráfico de f com o semieixo positivo das abcissas e com o eixo das ordenadas, respectivamente.. Consideremos a função polinomial f definida por ( ) Um ponto móvel A, de abcissa x, desloca-se sobre o eixo Ox desde o ponto O até ao ponto P. A recta AB é paralela ao eixo Oy e o ponto B pertence ao gráfico da função f... As coordenadas do ponto C são ( 0, f ( 0 )) ou ( 0,5 ) e as do ponto P obtêm-se a partir do cálculo dos zeros de f: ± x + x+ 5 = 0 x + x+ 0= 0 x = x = x = 0 As coordenadas de P são então ( 0,0 ).. Consideremos a função T que a cada x, abcissa do ponto A, faz corresponder à área do polígono [OABC].... O domínio da função T é [ 0,0 ]... Mostremos que ( ) T x = x + x + 5x. A área do trapézio [OABC] é dada por ( ) T x então AB + OC = OA. Sabemos que AB = x + x+ 5, OC = 5 e que OA = x, Professora Rosa Canelas 6 Ano lectivo 006/007

7 x x T( x) = x T( x) = x x 5 x T( x) x x 5x + + = + + T 0 = = 5 este resultado em termos geométricos significa a área do triângulo [OCP] que podíamos calcular utilizando a 5 0 fórmula que dá a área do triângulo A = A = 5... Calculemos ( )... Sem recorrer à calculadora, determinemos: T( ) = = = E vamos resolver a equação: T ( x) = x + x + 5x = x + x + 5x = 0. Sabemos uma solução que é e vamos utilizar a Regra de Ruffini para baixar o grau da equação dividindo o polinómio por x 5 - Então 7 0 x + x + 5x = 0 ( x ) x x 7 0 x x x = = + + = x = x = 5 x = + 5 ± x = x = x = x = ± x = x = ± x = x = ± 5 A equação tem três soluções {, 5, + 5 }.. Recorrendo à calculadora, determinamos a abcissa do ponto A de modo que a área do polígono [OAGB] seja máxima. O resultado arredondado às décimas é x = 7, Professora Rosa Canelas 7 Ano lectivo 006/007