FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

2 . Considere os polinómios: 3 A x x x x x B x 4 C x x x (5).. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições seguintes: p : O resto da divisão de q : x : x é raiz de B x A x por r : é raiz do polinómio C x B x é um polinómio de grau inferior. p : VERDADEIRA, pois B x tem grau e o grau do resto é inferior ao grau do divisor, logo é um polinómio de grau inferior a. q : FALSA, pois Bx x r : VERDADEIRA, pois C C não tem raízes reais, 0 = 4 = = 3 3 = 0 x 0 x eq. impossível = (0).. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como determine, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: ~ p ~ r p q p V, q F e V r, temos ~ p ~ r p q ~ V ~ V V F ~ V F V ~ F V V (0).3. Escreva um polinómio D x, de grau 3, tal que: Como 0 e 3 são as suas únicas raízes; o resto da divisão de D x por x seja 4. D x é do 3.º grau e só tem dois zeros, um deles tem de ser duplo. V V Seja x 0 a raiz dupla (também pode ser a outra). Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma: 0 3 D x a x x Como o resto da divisão de Assim, a Portanto, Dx x x 3 P x por x é 4, pelo Teorema do Resto, sabemos que a a 4 a 5 D 4 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

3 . Na figura do lado está representada, num referencial ortonormado, uma elipse inscrita num retângulo de dimensões 0 cm por 0 cm e focos F e F. (0).. Determine o valor de FF e as coordenadas dos focos da elipse. Elipse de eixo maior horizontal, em que: a 0 a 0 b 0 b 5 Assim, de a b c vem 0 c 5 c c Portanto, c e F F cm Os focos têm coordenadas F 3,0 e 5 3,0 5 F. (0).. Diga, justificando, qual das seguintes equações representa a elipse. (A) x y 0 0 (B) x y 0 5 (C) x y 00 5 (D) x y 5 00 Sendo o eixo maior vertical, com a 0 e b 5, a equação da elipse é x y 0 5, ou seja, x y 00 5 opção C (5).3. Seja P o ponto da elipse, localizado no segundo quadrante, que tem abcissa 8. Calcule a área do triângulo F F P, apresentando todos os cálculos efetuados. Área F F P Temos, Já sabemos que F F 0 3 F F h, com h yp ordenada de P, pois é positiva. Para calcular a ordenada de P vamos recorrer à equação da elipse: Para x 8 temos 8 y 00 5 Sendo yp 0, pois P.º Q, temos yp 3. Portanto, ÁreaF F P y cm. y 36 5 y y 9 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/7 Versão

4 3. Na figura do lado está representado um paralelogramo [ABCD]. (0) 3.. Usando cálculo vetorial, mostre que BD CA BA. Temos: BD CA = BA AD CB BA = BA BA AD CB = BA AD DA pois DA CB = BA 0 pois AD DA 0 = BA c.q.m. (0) 3.. Suponha que, num referencial ortonormado xoy, três dos vértices do paralelogramo têm coordenadas 3,,, 3 e 03,. Dos pontos seguintes, indique, justificando, o que não pode representar as coordenadas do outro vértice do paralelogramo. (A) (C) 4 44, (B), 8, (D) 3, Um esboço da representação geométrica ajuda a perceber a situação, para vermos as possíveis localizações do vértice em falta. Como os lados opostos de um paralelogramo são paralelos temos três possibilidades para a localização do vértice D, sendo 3, B, 3 e 03 A, C, : D é o vértice oposto a A: D B AC D é o vértice oposto a C: D A CB D é o vértice oposto a B: D A BC Portanto, só a opção D não serve. = B C A, 3 0, 3 3, 4, opção C = A B C 3,, 3 0, 3, 8 opção B = A C B 3, 0, 3, 3 4, 4 opção A 4. No referencial ortonormado xoy da figura do lado, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de diâmetro [AC]. Os vértices A e B pertencem ao eixo Ox e A e C têm coordenadas A 0, e 4 C,. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/7 Versão

5 (0) 4.. Determine a equação reduzida da mediatriz de [AC]. A mediatriz de [AC] é definida pela equação x y 0 x y 4 Simplificando, x 4x 8y 6 x x y x x y y 8y 8x 6 y x (0) 4.. Escreva a equação reduzida da circunferência representada. AC A circunferência tem centro no ponto médio, M, de [AC] e raio MA (ou MC ou ). Assim, o centro tem coordenadas 0 4 M, 0, e raio r MA A equação da circunferência é x 0 y 8 x y 8 (0) 4.3. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a região sombreada. (A) x y 8 y 0 y 4 (B) x y 8 y 0 y 4 (C) x y 8 y 0 y 4 (D) x y 8 y 0 y 4 A região sombreada é interior à circunferência x y 8 e (conjunção) está abaixo da reta y 0 ou (disjunção) cima da reta y 4, incluindo as linhas. Portanto, é definida pela opção C. (0) 4.4. Diga, justificando, qual das opções seguintes representa a área da região sombreada. (A) 8 (B) (C) 3 64 (D) 4 8 A A. A área sombreada corresponde a um A e A Temos: Assim, A S CD 4 6 A A u. a., Opção D (5) 4.5. Determine as coordenadas de um vetor v com sentido contrário a AC e de norma 4. Um vetor v com sentido contrário a AC é da forma v k AC com k 0. AC C A, 4, 0 4, 4 Temos Portanto, v k 4, 4 4k, 4k Como 4 Assim, v temos k k k Portanto, v 4, 4, 6k 6k 4 3k 6 6 k 3 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão

6 5. Considere o polinómio B x x 6x 0x 4x 4x 6. (0) 5.. Sabendo que é uma raiz de B x, indique, justificando, qual é a sua multiplicidade. (A) (B) 3 (C) (D) 4 Como é um zero de B x, para sabermos a sua multiplicidade, vamos aplicar a Regra de Ruffini até obtermos resto zero. Simultaneamente, baixamos o grau do polinómio inicial Como obtivemos três restos iguais a zero, o polinómio uma raiz de multiplicidade 3, B x é divisível por x 3 (5) 5.. Decomponha o polinómio B x em fatores do menor grau possível. Da questão anterior, já sabemos que Bx x 3 x Vejamos se x tem zeros: Portanto, a fatorização de x 0 x x B x é x 3 x x, ou seja, é opção B (5) 5.3. Resolva, em, a inequação x 0 B. Da questão anterior ficamos a saber que Bx x 3 x x Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: Assim, x 0 x x x x B x B x,, B x, assim Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão

7 (5) 6. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 6.A. Dividindo um polinómio Se os restos das divisões de C, calcule AB C. P x por x x x 3 P x por obtém-se resto x. x, x e 3 Do algoritmo da divisão resulta que Px x x x 3 Qx x Pelo Teorema do Resto, temos: x são, respetivamente, A, B e. A P 3 Q B P 3 Q C P Q Assim, A B C B. Prove que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. Seja [ABC] um triângulo qualquer e M e N os pontos médios de dois dos seus lados, [AC] e [BC], por exemplo. Como M é o ponto médio de [AC] temos MC Como N é o ponto médio de [BC] temos CN CB AC MN MC CN AC CB AC CB AB Assim, Logo MN é colinear com AB e, por isso, MN é paralelo a AB Temos ainda, MN AB AB, isto é, MN AB c.q.m. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão