FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de orma clara, indicando todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Na igura seguinte está representado um retângulo [ABCD] de lados AB 4 e BC. (0).. Qual dos valores seguintes representa o produto escalar CB DB? (A) 9 (B) 4 (C) 9 (D) 4 Este exercício pode ser resolvido por vários processos. Vejamos um dos mais simples: = CB DC CB CB DB Opção D = CB DC CB CB = 0 CB CB = CB = (0). De dois vetores u e v, ambos de norma 4, sabe-se que uv 6. Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) uv 0 (B) uv 0 (C) u = 4 v (D) u e v ormam um ângulo agudo Temos uv 6 u v cos u,v cos u,v 6 cos u,v u,v 80º Como os vetores ormam um ângulo de 80º e têm a mesma norma então são simétricos. Portanto, u v uv 0 (opção B) Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página /6 Versão

2 . Na igura do lado está representado, num reerencial Oxyz, um cone de revolução cujo vértice V tem coordenadas 06,, e em que o centro da base é o ponto C 0,, 0. (0).. Qual das condições seguintes representa a reta CV? (A) x 0 y z (B) x 0 z 0 (C) x y z z (D) x y 6 Vamos usar CV V C, 0, 6 0,, 0,, 6 Usando o ponto C 0,, 0, as equações cartesianas da reta são para vetor diretor da reta z x y (opção D) x y z 6 (0).. Qual dos planos seguintes contém a base do cone? (A) : x y z 0 (B) : xy (C) : x y 6z 0 (D) : z 0 Como o vetor normal do plano é perpendicular ao plano, podemos usar n CV,, 6 Assim, o plano que contém a base é da orma x y 6z d 0 Como C 0,, 0 é um ponto deste plano, sabemos que é solução da equação: Portanto, 0 60 d 0 4 d 0 d 4 Logo a equação do plano é x y 6z 4 0 x y z 0 (opção A) (5).. Estude a posição relativa dos planos, e, deinidos pelas equações da questão anterior, e identiique, caso exista, a interseção dos três planos. Sejam a,, 6, b,, 0 e c,, os vetores diretores de, e, respetivamente. Temos a c, portanto os planos e são paralelos. Como d d estes planos não são coincidentes, ou seja, são estritamente paralelos. Assim, como não é paralelo a nenhum dos outros dois, interseta ambos ormando retas paralelas, e não há interseção dos três planos. Outro processo: resolver o sistema, para concluir que não há interseção dos três planos. A partir dos vetores normais concluir que há dois planos paralelos que são intersetados por segundo retas paralelas. x,y,z, 0, 6 k 4,, 5,k, contém (0).4. Sabendo que a reta VB, de equação vetorial uma geratriz do cone, determine o volume do cone. Temos Volume cone = Área base altura, Área base r CB e altura = altura CV. Para calcular r CB temos de determinar as coordenadas de B, ponto de interseção da reta VB com o plano que contém a base. Os pontos da reta VB são da orma: P k, k, k,k Determinemos k para o qual o ponto P pertence ao plano que contém a base: x y z 0 P ABC 4k k 6 5k 0 4k k 8 5k 0 k k Portanto, para coordenadas do ponto B. k a reta interseta o plano no ponto 4,, 6 5,, CV ou CV CV Assim, CB ou CB CB Portanto, 6, sendo estas as Volume cone unidades de volume Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 . Considere as unções reais de variável real,, g e h, deinidas por: x x x g x x hx x (5).. Determine, por processos analíticos, as coordenadas dos pontos de interseção dos gráicos de g e de h. Comecemos por resolver a equação g x hx x x x x para descobrir as abcissas dos pontos comuns. x x x x x 0 x x 0 x 0 x Veriicação: Para x 0 temos 0 0 P.F., portanto 0 não é solução da equação Para x temos 4 P.V., portanto não é solução da equação Assim os gráicos de g e h intersetam-se no ponto,h, (5).. Caracterize a unção g, composta de g com. g x = g x = x g x = x = x. x x x = x x = 0 =x : x x =, D x : x D x D g g Temos: D x : x 0 =, g 0 = \ D x : x x : x x x x x x 0 0 x x x x 0 x 0 x x (0).. Mostre, analiticamente, que admite inversa e caracterize a respetiva unção inversa. admite inversa sse é injetiva, isto é, Sejam a e b dois elementos de a b 0 a b a b a b a,b D, a b a b, se a b D \ a b b a ab 0 a b a b 0 a b, vem: * a b a ab b b ab a 0 a b 0 0 a b a b a b Portanto, é injetiva, logo admite inversa. *ou x x x y x x y x x xy y y y xy x Portanto, a b a b a 0 b 0 y x x x y x x x x D \ D', pois y é assíntota horizontal do gráico de e x y x Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página /6 Versão

4 4. No reerencial Oxy da igura ao lado encontra-se parte das representações gráicas de duas unções aim, e g, cujos gráicos são retas perpendiculares. As duas retas cruzam-se no ponto B, de ordenada positiva, o gráico de interseta Ox no ponto C, de abcissa -, e o gráico de g interseta Ox no ponto A de abcissa positiva. Considere ainda a unção racional h, deinida, no seu domínio, por h x x. (0) 4.. Sendo a o declive da reta, mostre que a área do triângulo ABC é dada, em unção de a, por a a. De acordo com a igura temos ÁreaABC CA OB Precisamos de conhecer as coordenadas dos pontos A, B e C. Só temos C 0,. A expressão de é da orma x ax b, com a 0 e sendo b 0 a ordenada do ponto B. Como C 0, temos 0 a b 0 a b 0 b a. Portanto, 0 Para descobrir a abcissa de A temos de usar a equação da reta g, que é perpendicular a. g m mg a m g mg Portanto, a expressão de g é da orma Como Ax, 0 g temos a 0 x a x a x Assim, OB y y a 0 a e B O Logo, ÁreaABC a a a a a a g x x a, pois ambas as retas passam em B. a CA x x a a A C c.q.m. A a,. a. Portanto, 0 (0) 4.. Qual dos gráicos seguintes poderá representar a unção g? B,a. A unção produto gx x g x tem dois zeros, para x 0 e g x 0. Como se trata do produto de duas unções aim, g é uma unção quadrática, cujo gráico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o coeiciente de x é o produto dos declives das duas retas, portanto é negativo. Desta orma, só o gráico A pode representar g. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 4/6 Versão

5 (5) 4.. Resolva, analiticamente, a condição hx 0. x Temos hx x hx x x x Construamos uma tabela de sinais para estudar o sinal do numerador, do denominador e do quociente. x Zeros do numerador: x x 0 + x + 0 s.s. + x Portanto, hx 0 x, x 0 x 0 x Zeros do denominador: x 0 x outro processo: estudar.º o sinal de h numa tabela (0) 4.4. Determine a expressão algébrica da unção sabendo que h Temos, h h, dado que h Portanto, h Como sabemos que x é zero de x ax, isto é, Logo, x x 0. b é a ordenada na origem da reta 0 temos a 0 a (0) 5. Responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A. Na igura seguinte está representado um quadrado [ABCD] com dm de lado. O ponto P pertence à semirreta DC e Q é o ponto de interseção de [AP] com o lado [BC]. Seja a unção deinida em por x x x Sendo x CP, mostre que a expressão da unção representa o perímetro do triângulo [ABQ], em unção de x, e, recorrendo à calculadora, determine as assíntotas do gráico de e interprete o seu signiicado no contexto do problema. Na sua resposta deve apresentar todos os elementos usados, nomeadamente: obter a expressão pretendida, com as devidas explicações; reproduzir, num reerencial adequado, o gráico da unção ou os gráicos visualizados; as equações das assíntotas necessárias à resolução do problema. Resolução: Ver Versão Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 5/6 Versão

6 5.B. Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia elétrica para iluminação da via pública. Para tal, a rede nacional ornece dois tipos de energia: energia convencional, maioritariamente resultante da combustão de uel, ou, em alternativa, energia eólica. Para uma cobertura razoável de iluminação, no período noturno, o consumo anual de energia não poderá ser inerior a 40 MWh (Megawatt-hora). Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia convencional, cujo preço por MWh é de 80 euros, não exceda a quantidade de energia eólica ornecida. Por razões económicas, a quantidade de energia eólica ornecida nesse ano, cujo preço por MWh custa 90 euros, não poderá ultrapassar os 40 MWh. Que quantidade de energia de cada tipo deve ser usada de modo a minimizar os custos? Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas: Indique a unção objetivo; Indique o sistema de restrições do problema; Represente graicamente a região admissível reerente ao sistema de restrições; Indique os valores das variáveis para os quais é mínima a unção objetivo no contexto do problema. Sejam: x a quantidade de energia de origem convencional consumida (em MWh) y a quantidade de energia eólica consumida (em MWh) Desta orma, a unção objetivo (a minimizar) é x, y 80x 90y Vejamos as restrições do problema: - o número de MWh de cada tipo de energia não pode ser negativo, portanto x 0 e y 0 ; - o consumo anual de energia não pode ser inerior a 40 MWh, portanto xy 40 ; - a quantidade de energia convencional não pode exceder a quantidade de energia eólica, daí x y ou y x; - o ornecimento de energia eólica não pode ultrapassar 40 MWh, portanto, y 40. Assim, temos seguinte sistema de restrições: x y 40 xy 40 y x Para determinar os pontos de interseção com os eixos y x x y x y coordenados: x 0 é uma reta vertical x y 0 e y 40 são retas horizontais 0 y A região admissível corresponde ao triângulo ABC da igura do lado. Cálculo das coordenadas do ponto A: x y 40 xx 40 x 0 y x y x y C 0, 40 Vértices da região admissível são: A,, B, e Como a solução ótima se encontra pelo menos num dos vértices da região admissível, calculemos o valor da unção objetivo em cada vértice. A 0, B 40, C 0, Assim, o mínimo obtém-se no vértice A. Portanto, para minimizar os custos a autarquia deve consumir 0 MWh de energia convencional e 0 MWh de energia eólica. BOM TRABALHO! Pro. José Tinoco Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão