Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 0. AN DE ESCLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste rupo, selecione a opção correta. Escreva, na sua olha de respostas, o número de cada item e a letra que identiica a opção escolhida.. Fiado um reerencial ortonormado do espaço considere o triânulo [ABC]: z A C Sabe-se que: o ponto A pertence ao plano z; o ponto C pertence ao eio ; AB,, CB,, 0 ( ) e ( ) B A ordenada do ponto C é iual a: (A) (B) (C) 6 (D) 8. Na iura está representado, num reerencial ortonormado z, um prisma quadranular reular. Sabe-se que: o vértice A pertence ao eio ; o vértice C pertence ao eio ; o vértice D pertence ao eio z ; M é o ponto médio de [GC] ; o vértice F tem coordenadas (,, ). Sabendo que α é o plano mediador de [EM], qual das airmações seuintes é verdadeira? (A) A reta DB está contida no plano α. (B) plano α passa na oriem do reerencial. (C) eio interseta o plano α no ponto de coordenadas (,0,0 ). (D) eio não interseta o plano α. E A z D F B G M C Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina

3 . Na iura está representada parte do ráico de uma unção de domínio R. 8 Sabe-se que é a unção deinida em R por ( ) = + Qual das iualdades seuintes é verdadeira? (A) ( 8) = (B) ( ) 8 = (C) ( ) = (D) ( ) =.. Sabe-se que h é uma unção bijetiva tal que h ( 5) =. conjunto-solução da equação h( ) + = 0 é: (A) { } (B) { 0 } (C) { 5 } (D) { } 5. Na iura está representada, num reerencial ortonormado, parte dos ráicos de duas unções, e, de domínio R, em que cada um dos ráicos é ormado pela união de duas semirretas. Qual das iualdades seuintes é verdadeira para todo o número real? (A) ( ) = ( ) (B) ( ) (C) ( ) = ( ) (D) ( ) = = Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina

4 Grupo II Nas respostas aos itens deste rupo, apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Fiado um reerencial ortonormado do espaço, considere o paralelepípedo retânulo [ABCDEFGH] e a reta r que passa nos pontos E e F. Sabe-se que: os vértices A, B e D têm coordenadas ( 0,, ), (, 5, ) e ( 6,, ) tem coordenadas (,, ) o vetor CH, respetivamente;... Mostre que o vértice E tem coordenadas (,, 8 )... Determine as coordenadas do ponto G.. Determine a medida do volume do paralelepípedo... Determine um sistema de equações paramétricas da reta r..5. Mostre que o ponto S (,, 5) pertence à reta r..6. Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano. A z E D B F H r C G. Na iura está representada, num reerencial ortonormado, parte de uma reta r, ráico de uma unção aim. r 6 A reta r passa nos pontos de coordenadas (, ) e ( 6, ). Considere, ainda, a unção deinida em R por ( ) = Determine uma epressão analítica de e conclua que ( ) =... Mostre que os ráicos das unções e se intersetam num ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares... Mostre que =. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina

5 . Na iura está representada raicamente uma unção de domínio ], 6]. 5 6 Seja a unção deinida por ( ) ( ) = +... Indique os intervalos de monotonia da unção... Indique os etremos (relativos e absolutos) de bem como os respetivos maimizantes e minimizantes... Indique o domínio, o contradomínio e os zeros da unção. FIM Cotações Grupo II Grupo I Total (5 8) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 5

6 . A(, 0, z) e C( 0,, 0) Proposta de resolução Grupo I AB(,, ) e CB(,, 0) A+ AB = B e C + CB = B A+ AB = C + CB, 0, z +,, = 0,, 0 +,, 0 ponto C tem ordenada 6. Resposta: (C) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, z ) (,, 0) + = + = = = = 6 z 0 = z =. AE = C = A = CM = Como os triânulos retânulos [AE] e [CM] são iuais, temos que E = M. Podemos, portanto, concluir que o ponto (0, 0, 0) pertence ao plano mediador de [EM], ou seja, a α. Resposta: (B). Da análise do ráico de podemos concluir que ( ) =, ( ) = e ( ) ( ) = + 8 ( 8) = + = ( ) + = + = ( ) = + = ( ) + = + = Resposta: (C) 8 =.. h( ) h ( ) 5 = = 5 ( ) 0 ( ) ( ) h + = h = = h Resposta: (A) = 5 = 6 = Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 6

7 5. ráico da unção pode ser obtido através do ráico de por uma contração horizontal de coeiciente ( ) = ( ), seuida de uma releão de eio. Portanto, ( ) ( ) Resposta: (A) =. Grupo II. A( 0,, ), B(, 5, ) e D( 6,, ) CH (,, ).. E = B + BE = B + CH = Assim, E (,, 8). ( BE = CH ) = (, 5, ) + (,, ) = (, 5, + ) = (,, 8).. G = A+ AG AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE ( BC = AD e CG = AE ) AB = B A = (, 5, ) ( 0,, ) = (, 6, ) AD = D A = ( 6,, ) ( 0,, ) = ( 6,, 0) AE = E A = (,, 8) ( 0,, ) = (,, 0) AG = AB + AD + AE =, 6, + 6,, 0 +,, 0 = ( ) ( ) ( ) = ( 6 +, 6 + +, ) = (,, 8) G = A+ AG = + = Assim, G(, 0, 6). ( 0,, ) (,, 8) (, 0, 6).. Vparalelepípedo = AB AD AE AB = + + = + + = = = ( ) 6 6 ( ) AD = = 6 + = 0 = 0 = 0 AE = = = 0 V paralelepípedo = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = 0 Loo, o volume é iual a 0. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 7

8 .. r: P = E + kef, k R Como EF = AB, então: ( ) ( ) ( ) r:,, z =,, 8 + k, 6,, k R (Equação vetorial) = + k r: = + 6 k, k R z = 8 k (Equações paramétricas).5. No caso de S (,, 5) r: = + k k = = + 6k 6k = 9 k = k = 5 8 k = k = S é o ponto que se obtém das equações paramétricas de r para Loo, o ponto S pertence à reta r. k =..6. plano é deinido pela equação z = 0 Substituindo z por 0 no sistema de equações paramétricas, vem: = + k = + k = + = 9 = + 6 k = + 6 k = + 6 = k k 8 k = = = k = ponto de interseção da reta r com o plano tem coordenadas ( 9, 6, 0 )... Equação da reta que passa nos pontos de coordenadas (, ) e ( 6, ). r: = m + b ( ) ( ) 6 m = = = 6 9 = + b Como o ponto de coordenadas ( 6, ) pertence à reta r, temos: = 6 + b = + b b = Loo, = é uma equação da reta r. Como o ráico de é a reta r, temos que ( ) =. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 8

9 = = = ( ) ( ) 6 = = = 6 = = = = = = ( 6) ( 6) 6 ( 6) s ráicos das unções e intersetam-se no ponto de coordenadas ( 6, 6) que pertence à reta de equação =, ou seja, pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares... ( ) =, ( ) 6 = + e D = D =R D = { : D ( ) D} = : = R R R = = = + 6 = ( )( ) ( ) : = + 6 = + R R, tal que ( )( ) = +. { : ( ) } { : 6 } D = D D = R + R = R = = + 6 = + 6 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) : = + = + = + = + R R, tal que ( )( ) Portanto, =.. é estritamente crescente em ], ] e em [ 5, 6 ] e estritamente decrescente em [, 5 ]... tem máimo absoluto iual a para = e mínimo absoluto iual a para = 5. admite um máimo relativo iual a 0 para = 6. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 9

10 .. ( ) ( ) = ráico de obtém-se do ráico de pela translação de vetor (, ): D = ], 6] ], 6 ] ], 8] D = + + = D = [, ] [, ] [ 0, ] D = + + = Zeros de : ( ) ( ) ( ) = 0 + = 0 = ( ( ) = = 5) = 5 = 7 Resolução alternativa: Construindo o ráico de pela translação do ráico de de vetor (, ), temos que: D = D = ], 8] [ 0, ] Zeros de : = 7 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Páina 0