5. Composição de funções

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1 Tema Deinições. Dierentes tipos de unções. perações com unções. Sucessões. Composição de unções Dadas duas unções, e, a composta de com escreve-se + lê-se: após ou composta de com e é deinida por: + = () ( ) () = [()] domínio de + é o conjunto de todos os números reais que pertencem ao domínio de tais que pertence ao domínio de. Simbolicamente D + = å R : å D å D 6 A composição de duas unções não é comutativa mas é associativa. + + h = + + h, A, e h Quando + = +, e dizem-se unções permutáveis. Eemplo Considere a unção, de domínio R + 0 \ 6, deinida por =, e a unção, de domínio R, deinida por =. " - Caracterize as unções + e +. As unções e são permutáveis? Resolução Função + D + = å R : å D å D 6 = = å R : å R å R + 0 \ 66 = = å R : 0 6 = R \ -, 6 + = = = = " : R \ -, 6 " R com + = Função Veriica Sejam as unções, e h, deinidas por =, = " e h = - de domínios R \ 06, R + 0 e R, respetivamente... Caracterize as unções: a + b + h c h+.. Indique, entre as dadas, um par de unções permutáveis, caso eistam. D + = å R : å D å D 6 = = e å R : å R + 0 \ 6 å R = " - = å R : = R + 0 \ 6 + = = a " - b = a " - b = Q" - R CPEN-MA Porto Editora + : R + 0 \ 6 " R com + = Q" - R As unções e não são permutáveis porque as unções + e + são dierentes. 9

2 Questões tipo eame Questões resolvidas 9 Nas iuras seuintes estão representações ráicas de duas unções e. Questões propostas 9 Nas iuras seuintes estão representações ráicas de duas unções e. CPEN-MA Porto Editora Qual das iualdades seuintes é verdadeira? A = - B = - C = a b - D = + Resolução ráico da unção obtém-se do ráico da unção por uma dilatação horizontal de coeiciente a a bb 0 seuida de uma translação de vetor 0, - : a a b a b - b Resposta: C 0 Na iura está representada parte do ráico de uma unção. Seja a unção, de domínio R, deinida por = 0 0. Qual é o valor de - + -? A - B - C D Resolução = - - = Resposta: C - = = - = 0 - Qual das iualdades seuintes é verdadeira? A = 0-0 B = C = D = Considere a unção, de domínio R + 0, deinida por = " + e a unção aim, representada raicamente na iura ao lado. 0 Indique o valor de + 4. A B C 4 D De uma unção quadrática sabe-se que: e 6 são zeros 3 > Qual é o contradomínio de? A -?, 4 B -?, C 4, +? D 6, +?

3 Questões para praticar Itens de seleção 0 Na iura seuinte está a representação ráica de uma unção h e das retas a, b, c e d, tanentes ao ráico de h nos pontos A, B, C e D, respetivamente. a A b B C c D d 3 De uma unção, de domínio R, sabe-se que 0 = 0 e lim " 0 =. Qual das seuintes airmações é necessariamente verdadeira? A A unção é contínua em R. B ráico da unção tem uma assíntota paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. C lim = 0 " 0 D ' 0 = 0 CPEN-MA Porto Editora Sabe-se que a unção h admite primeira e seunda derivadas em todos os pontos. Em qual dos pontos, A, B, C ou D, se poderá ter ' < 0 e '' = 0? A A B B C C D D Na iura está representada parte do ráico de uma unção polinomial bem como parte da reta t, tanente ao ráico de no ponto de coordenadas,. A reta t interseta o eio no ponto de ordenada. t 4 Na iura seuinte estão representados, num reerencial o.n. : parte dos ráicos de duas unções, e, de domínio R ; uma reta r, tanente ao ráico de no ponto de abcissa a e tanente ao ráico de no ponto de abcissa b. a b r Qual das seuintes airmações é verdadeira? A ' a < ' b B ' a - ' b = 0 C ' a * ' b < 0 D ' a + ' b = 0 0 Qual das epressões seuintes pode deinir ', unção derivada de? A + B - C D - De uma unção, derivável em R, sabe-se que a reta de equação = + é tanente ao seu ráico no ponto de abcissa. - 3 Qual é o valor de lim? " - A B 4 C 6 D 9 Na iura estão representados, num reerencial : parte do ráico da unção h, de domínio R +, deinida por: h = + 4 ln a b a reta t, tanente ao ráico de h no ponto de abcissa e que interseta o eio no ponto de ordenada b. Qual é o valor de b? A - 4 B - 3 C - D - b t h

4 Avaliação Seja z um número compleo de arumento 6p. Qual poderá ser um arumento do número compleo - z? A p B 4p C 9p D - 4p CPEN-MA Porto Editora Seja z um número compleo de arumento p. Qual poderá ser um arumento do número compleo iz? A 3p 0 B - p C 7p 0 D 3p 0 3 Considere o número compleo z = cis a p b. Um arumento de - z é: A - p B p C 4p D 6p 4 Considere o número compleo z = cis p 6 - i. módulo de z é iual a: A B "7 C " D 3 Na iura está representado, no plano compleo, um quadrado cujos vértices são as imaens eométricas de quatro números compleos: z, z, z 3 e z 4. Qual das iuras seuintes pode representar, no plano compleo, o quadrilátero cujos vértices são as imaens eométricas dos números compleos iz, iz, iz 3 e iz 4? A B C D 6 Sabe-se que u e v são raízes de índice n de um determinado número compleo z. Então, pode-se airmar que: A aru = arv B z n = u C u = v D u = - v 76

5 Prova-modelo Grupo I s cinco itens deste rupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva na sua olha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos nem justiicações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classiicada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita or ileível.. Quantos números naturais pares, com quatro alarismos dierentes, se podem escrever? Cotações A 96 B 0 C 06 D Seja S o espaço de resultados associado a uma eperiência aleatória e sejam A e B dois acontecimentos possíveis A ƒ S e B ƒ S. Sabe-se que P A = P A B e P A B = P B. Qual é o valor da probabilidade condicionada P A 0 B? A B 3 C 4 D 3. Seja uma unção de domínio R, derivável em todos os pontos do domínio, tal que: > 0, A å R = ' = e Considere a unção h, de domínio R, deinida por h = * ln. valor de h' é: A e B e C e D 0 4. Seja a unção, de domínio R +, deinida por = ln. A reta de equação = + b é tanente ao ráico da unção. Qual é o valor de b? A B C D -. Seja uma unção ímpar de domínio R. CPEN-MA Porto Editora Sabe-se que a reta de equação = - + é uma assíntota do ráico da unção, quando " +?. valor de lim + é: " -? A +? B C - D - 3

6 Provas iciais 04 GVERN DE PRTUGAL MINISTÉRI DA EDUCAÇÃ E CIÊNCIA EXAME FINAL NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Prova Escrita de Matemática A. Ano de Escolaridade.ª Fase Decreto-Lei n. 39/0, de de julho Duração da Prova: 0 minutos. Tolerância: 30 minutos 04 Grupo I Na resposta aos itens deste rupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiica a opção escolhida. Cotações. Seja W, conjunto inito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos A ƒ W e B ƒ W. Sabe-se que: P A = 0,4 P A B = 0,48 Qual é o valor de P B? A 0,08 B 0, C 0, D 0,6. Na iura está representado, num reerencial o.n. z, um octaedro ABCDEF, cujos vértices pertencem aos eios coordenados. Escolhem-se, ao acaso, três vértices desse octaedro. Qual é a probabilidade de esses três vértices deinirem um plano paralelo ao plano de equação z =? A B 4 E B z A D C C 8 D F Fiura 3 3. Um dos termos do desenvolvimento de a 0 + b, com 0 0, não depende da variável. Qual é esse termo? A 0 40 B 8064 C 04 D

7 3. Números compleos Em C, conjunto dos números compleos, 4 considere z = " + cis 3p 4 e z = + i... Sabe-se que z z certo número compleo w. é uma raiz quarta de um Determine w na orma alébrica, sem utilizar a calculadora... Seja z 3 = cis a. Determine o valor de a pertencente ao intervalo - p, - p, sabendo que z 3 + z é um número real. Considere, em C, conjunto dos números compleos, z = + bi, com b < 0. Seja a å d0, p c. Qual dos números compleos seuintes pode ser o conjuado de z? Seja C o conjunto dos números compleos. 4.. Considere z = + "3 i + i e z = -. i z Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que z n é um número real neativo. 4.. Seja a å - p, p. Mostre que: cos p - a + i cos a p - ab = cis p - a cos a + i sin a Em C, conjunto dos números compleos, considere w = + i 03. A qual dos conjuntos seuintes pertence w? A Uz å C : 0 z0 > 0 z - 0V B z å C : 0 z0 "V C z å C : z = z6 D z å C : Re z = Im z6 A 3 cis a C 3 cis a B 3 cis - a D 3 cis - a 6 Na iura estão representadas, no plano compleo, as imaens eométricas dos números compleos: z, z, z, z 3 e z 4. 3 Considere, em C, conjunto dos números compleos, a condição: 3 0 z i0 3 p 3 ar z i p 3 Considere como ar z a determinação que pertence ao intervalo - p, p. Qual das opções seuintes pode representar, no plano compleo, o conjunto de pontos deinido pela condição dada? A B z z 3 Sabe-se que w é um número compleo tal que z = i * w. Qual é o número compleo que pode ser iual a w? A z 4 B z 3 C z D z z z 4 z C D 7 Em C, conjunto dos números compleos, considere: + "3 i p z = + i cis a p e z = " cis a 6 b b 7.. Seja z = cis q, com q pertencente a 0, p. Determine q de modo que z seja um número z real neativo, sem utilizar a calculadora. 4