Plano de Aulas. Matemática. Módulo 11 Funções trigonométricas

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1 Plano de Aulas Matemática Módulo Funções trionométricas

2 Resolução dos eercícios propostos Retomada dos conceitos CAPÍTULO a)? b) a) sen sen sen sen sen cos cos cos cos sen sen sen sen Portanto, o valor da epressão tem sinal positivo. b) t t t t t t t t t t t 9 t 9 Portanto, o valor da epressão tem sinal positivo. u.c. A medida do semento wad equivale ao valor de sen BA: AD sen sen A medida do semento wab equivale à soma de cos BA com o valor absoluto de cos BB: 9 AB cos cos cos cos A medida do semento wbc equivale à soma de sen BB, e o valor absoluto de sen BC é: 9 BC sen sen sen sen O semento wcd é hipotenusa do CDE; CE e o cateto wde wab. De acordo com a relação de Pitáoras: ( CD) CD [ ] Portanto, o perímetro do trapézio ABCD é iual a. 9

3 u.a. A A medida da altura wcd equivale à soma de cos BA com o valor absoluto de cos BC: CD cos cos C Pelas simetrias dos pontos A, B e C na iura acima, de ato ABC é retânulo em B. A medida do semento wab equivale à soma de sen BA com o valor absoluto de sen BB: AB sen sen sen sen A medida do semento wbc equivale à soma de cos BB com o valor absoluto de cos BC: B cos cos Com esses dados, a área A t do ABC corresponde a:? A t Loo, a área da parte sombreada A s corresponde a: A s A c A t u.a. B A BC cos cos cos cos C F E D Portanto, a área do ABC corresponde a A medida da base menor wab equivale à soma de cos BA com o valor absoluto de cos BB:?. AB cos cos u.a. A área da parte sombreada equivale à dierença entre a área do círculo e a área do ABC. Área do círculo A c : A c? r? u.a. Área do ABC: A medida do semento wab equivale à soma de sen BA com o valor absoluto de sen BB: 9 AB sen sen sen sen cos cos A medida da base maior wcd equivale à soma de cos BD com o valor absoluto de cos BC : CD cos cos cos cos Se E e F, respectivamente, são os pontos de encontro dos sementos wcd e wab com o eio, a medida da altura wef equivale à soma de sen BA com o valor absoluto de sen BD:

4 EF sen s n e sen sen Assim, a área A t (do trapézio) corresponde a: ( AB + CD)? EF A t b Se, [ ] [ ]? sen sen cos cos. Portanto, o cálculo do valor da epressão corresponde a: sen cos sen cos b?, Esse resultado pertence ao intervalo [; ]. sen (. ) sen (.? ) sen cos cos cos e 9 e Portanto, o cálculo do valor da epressão corresponde a: sen (. ) cos sen t cos ( )? b cos cos cos cos cos cos ( ) cos (? ) cos ( ) º e 9º são medidas de ânulos que pertencem ao QIII, onde os valores de cos crescem se os de crescem. Portanto, cos cos, cos 9. CAPÍTULO S { m m } sen sen m sen m m m m Na primeira volta, cos, para m m,, m m m.

5 Os possíveis valores naturais de m são e. Loo, o maior número natural que torna essa desiualdade verdadeira é. a) S m m cos m+ m m b) S m m cos m m m m c) S m m m cos m m m m m cabeças a) Em janeiro de, t, portanto: Z()? sen Z()? sen Z()? Z() Loo, em janeiro de, a população de zebras era de cabeças. b) Em. A população máima ocorreu quando sen t oi máimo. Para isso, na primeira volta: t t Loo, a população de zebras alcançou seu valor máimo dois anos depois de janeiro de, em janeiro de. O valor da epressão é zero. cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Valores de uma volta = Observe: a cada volta, a soma dos valores de cos é nula, razão pela qual a soma dos valores de cos depois de voltas completas também será nula. O valor da epressão é zero. sen sen sen sen sen sen sen sen ( ) Valores de uma volta ( ) A cada hmin. O valor mínimo será alcançado de período em período, portanto: v(t) é mínimo quando cos t é máimo e, t portanto, quando cos. Para isso basta que t k, com k n. t k k t, k Loo, a contaem de vírus alcança seu valor mínimo a cada, horas.. toneladas Se o período considerado é de 99 a, t anos.? A( )? sen A( ) = +? sen A( ) =. Portanto, em janeiro de havia. toneladas de alas nessa baía.

6 9 e O número máimo de clientes ocorre quando? sen. O número mínimo de clientes ocorre quando? sen. () má () mín [9? ()] (9? ).. t ( ) sen t t sen sen t t k k t k t {,,, 9, } Na prática, a concentração de espuma alcança m às h e às h. a 9 portanto, a etremidade do arco que determina um ânulo de medida 9 rad, coincide com o de medida ra d. Por isso: 9 sen cos Falsa Considere a relação undamental da trionometria e o sistema: sen cos cos sen Somando os membros de cada equação desse sistema obtemos: cos cos cos No intervalo < <, as soluções são {, }. Portanto, a airmação é alsa. CAPÍTULO k a) D {, k Ω} k k k b) D = {, k Ω} k k k 9 cos t cos t [ ] t t E t? t??? [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k D( ) {, k Ω} k? k? k k? sen De acordo com a relação t cos : t sen cos

7 t t sen cos sen cos cossec sen sen sen Uma vez que sen cos : cos a) cos 9 cos sen Q I cos t cos sen cossec? t? sen cos cos cos cos? sec cos cos cos cos b) cos? t sen? cossec sen cos? cos sen? sen sen d sec é mínimo quando cos é máimo o que acontece quando k, com k Ω. (k) sec k cos k 9 c Uma vez que não eiste t, o ráico da unção () deve possuir uma assíntota vertical em. Isso já elimina as alternativas incor retas. d Por deinição: sen t cos k; cos cos cot sen k, sen com k Ω. Partindo do zero e em intervalos de, ou sen ou cos. Portanto, não pode ser múltiplo de, ou seja, k, sendo k Ω. CAPÍTULO a) O ráico de () é resultado da transladação de três unidades para baio da unção () sen. b) O ráico de () é resultado da transladação de duas unidades para cima da unção () cos.

8 c) O ráico de () é resultado da transladação de unidades para a esquerda da unção () cos. d) O ráico de () é resultado da transladação de unidades para a direita da unção () t. unção p unção p c) O ráico de () é resultado de uma operação sobre o período e a amplitude da unção () sen, alterados para p e para, respectivamente. a) O ráico de () é resultado de uma operação sobre o período da unção () cos, alterado para p. 9 unção p = unção p = d) Uma vez que? cos? (cos ), partimos da unção () cos e alteramos sua amplitude para. a) (t)? cos t cos t? Amplitude A ; Período p ; unção período Deslocamento horizontal para a esquerda unção período b) O ráico de () é resultado de uma operação sobre o período da unção () sen, alterado para p. b) O ráico é obtido por uma transladação da unção () cos de unidades para a esquerda. Sua amplitude é e seu período é p.

9 (t) a) ()? cos () ()? cos () () () Portanto, a unção é ímpar. b) () ()? sen () ()? (sen ) ()? sen () () Portanto, a unção é ímpar. Com duas incónitas, precisamos de duas equações. De acordo com o ráico, sabemos que () e (). () a b? cos a b? a b (I) () a b? cos a b? () a b (II) Se o resultado da equação (II) or substituído na equação (I), resulta: a b b b b b e a a, b e c Com três incónitas, precisamos de três equações. De acordo com o ráico, sabemos que (), () e (). () a b? sen (c? ) a b? sen a () a b? sen (c? ) b? sen (c? ) b? sen (c? ) (I) () a b? sen (c? ) b? sen (c? ) b? sen (c? ) (II) t De acordo com a equação (II), temos: b? sen (c? ) b (não convém) sen c c c (não convém) c c (não convém) c c Substituindo na equação (I), obtemos: b? sen (c? ) b? sen b? sen b b a, b Com duas incónitas, precisamos de duas equações. De acordo com o ráico, sabemos que (), e. () a t (b? ) a t a a t b? t b? t b? b? b A amplitude (b) pode ser calculada por b. De janeiro a aosto temos a metade do período, uma vez que o período completo tem meses. Portanto, p c. c c T a b cos ct De C para C há uma translação vertical de C, portanto, a. Por isso, a equação da temperatura será T( t)? cos? t.

10 9 a e b Observe: ambas as unções têm o mesmo perío do, por isso a. Observe também que, em módulo, ambas têm a mesma amplitude, e são simétricas em relação ao eio. Por isso, b. d n a + sen n a sen n a sen 9 n 9 a9 9 sen 9 9 Somados todos os termos a, a,..., a, a 9 ( termos), de ato somamos os primeiros termos da PA (,,,...,, 9,...) e os primeiros termos da PG (,,,,...,, ). A soma dos primeiros termos da PA é., e a soma dos primeiros termos da PG é ; portanto, a soma procurada é.. e O ráico representa uma unção periódica de período e ainda: () () () () Essas são características da unção seno. De ato, o ráico representa uma unção seno com uma modiicação na amplitude e sem transladações, o que é visto apenas na alternativa e. b O ráico representa o trecho de uma unção semelhante a uma senoide de período, amplitude. Além disso: c c Portanto, ( )? sen. Eercícios de interação a) k, k Ω b) a e b k, k Ω O período da unção é, portanto: p b b b. De acordo com o ráico, sabemos que (), portanto: a? cos (b? ) a? cos a () é máimo, se cos. O período de () é. De a o ráico de completa quatro ciclos e é estritamente crescente e positiva interceptando o ráico de onde ela é positiva. Por isso, no intervalo considerado e acima do eio, tem que crescer e decrescer oito vezes cruzando obriatoriamente com o ráico de. A partir dos ráicos, observamos que há oito pontos comuns. d Como, os ânulos de medida e são suplementares. Portanto, cos cos.

11 d O sinal de sen (b n) se comporta de acordo com a paridade de n. Se n é ímpar, sen (b n) sen b. Se n é par, sen (b n) sen b. Portanto, sen (b n) () n sen b. e Multiplicando por K a variável independente da unção sen, o período da unção resultante será inversamente proporcional a K, porque é dado por k. a) De acordo com a unção, temos que p?. Portanto, seu período é. b) O valor da unção é máimo quando: sen t t k t k t k Como o período considerado é de meses, k ou k. O valor mínimo da unção ocorre se t sen : sen t t k t k t k Como o período considerado é de meses, K ou K. Portanto, Q(t) é máimo para t ou t e Q(t) é mínimo para t ou t. 9 a O ráico G tem coniuração de uma eponencial, portanto associa-se a. O ráico G tem coniuração de uma trionométrica, portanto associa-se a. O ráico G tem coniuração de uma loarítmica, portanto associa-se a. Por im, o ráico G tem coniuração de uma quadrática, portanto associa-se a. c Do ráico da unção obtêm-se os pontos (, ) e,. Por isso podem ser calculados os coeicientes a e b: () a? b b a a? a a a ()? () ( ) ( ) (? ( ) ) sen sen

12 Gabarito Retomada dos conceitos CAPÍTULO a) b) a) O valor da epressão tem sinal positivo. b) O valor da epressão tem sinal positivo. u.c. u.a. u.a. u.a. b b 9 e b Cosseno de 9 é maior que cosseno de. CAPÍTULO S m m a) S m m b) S m m c) S m m a) cabeças b) Alcançou seu valor máimo em janeiro de. hora e minutos k D( ) {, k Ω} t t ; t e t d 9 c d CAPÍTULO a) b) a) sec b) sen. toneladas 9 e h e h a Falsa CAPÍTULO a) D { k, k Ω} b) D = { k, k Ω} c) 9

13 d) d) 9 a) unção período unção período b) unção a) A ; p. Deslocamento horizontal para a esquerda. b) A amplitude é e o período é. (t) t c) p unção p a) A unção é ímpar. b) A unção é ímpar. a ; b unção p = unção p = Eercícios de interação a) k?, k Ω b) k?, k Ω a ; b a ; b ; c a ; b T( t)? cos? t 9 a ; b d e b Oito pontos comuns d d e a) b) Máima: t ou t Mínima: t ou t 9 a c