cotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do

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1 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 59 Função co-tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. ( α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta de projectar o lado etremidade do ângulo α no eio paralelo ao eio das abcissas que passa no ponto ( 0,). (ver igura ao lado) (0,) ( α,) α Recorrendo ao círculo trigonométrico é ácil veriicar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : α α α α ( α ) ( ) ( α) α ( α ) ( α) Estas igualdades permitem calcular a co-tangente de um ângulo α conhecendo apenas os seus valores no º quadrante. Eemplo: º quadrante

2 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 0 Como unção real de variável real, temos : \ { k, k Ζ} ( ) À unção dá-se o nome de unção co-tangente. (obs: é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráico é Características desta unção: Domínio: { k, k Ζ} \ ; Contradomínio: ; Injectividade: não injectiva; Zeros: k, k Z ; Paridade: ( ) ( ) (co-tangente é uma unção ímpar); Periodicidade: ( ) ( ) ( é o período positivo mínimo); Limitada: não limitada; Máimos: não tem; Mínimos: não tem.

3 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função arco co-tangente Consideremos a unção : \ { k, k Ζ} ( ) Esta unção não é injectiva. Por eemplo, há ininitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( ( ) 0 k, k Z ). Pelo que não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a unção co-tangente seja injectiva (chamada restrição principal): g : cujo gráico é: ] 0, [ ( ) Assim deinida, g é uma unção injectiva e portanto az sentido alar na sua inversa, g. Então g tem por domínio, imagem ], [ 0 e a cada az corresponder o ângulo (ou arco) cuja co-tangente é, que se representa por arc ( ).

4 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real g : ] 0, [ arc( ) cujo gráico é / Características desta unção: Domínio: ; Contradomínio: ] 0, [; Injectividade: injectiva; Zeros não tem; Paridade: não é par nem é ímpar; Monotonia: estritamente decrescente; Limitada: Máimos: não tem; Mínimos: não tem; 0 arc ( ) ; Obs.: O arc () é o valor real tal que ( ), onde ( arc( ) ) onde ; ( ( ) ) arc ( ) ( ) arc onde 0., ou seja:

5 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Eemplos: 7 7 arcc arcc 7 arc arc arcc pois ] [ 0, 7. Eercício: Considere a unção deinida por ( ) ) ( arc. Determine o domínio e contradomínio de. Caracterize a inversa, caso eista. Resolução: D. Determinemos o contradomínio de : ( ) ( ) ( ) 0 0 arc arc Logo ( ), Im. é uma unção injectiva porque é composta de unções injectivas. Determinemos a epressão analítica da inversa: ( ) ( ) ) ( arc arc Portanto, :

6 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função secante A unção secante deine-se como : \ k, k Z sec( ) cos( ) O seu gráico é: Características desta unção: Domínio: { : cos( ) 0} \ k, k Ζ ; Contradomínio: \ [, ]; Se logo,, temos cos( ) 0 0 cos( ) ou seja, Dsec cos( ) sec( ) cos( ) sec( ) ], ] [ [ sec( ),

7 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 5 Injectividade: não injectiva; Zeros: não tem; Paridade: sec( ) sec( ) cos( ) cos( ) (secante é uma unção par); Periodicidade ( ) ( é o período mínimo positivo) Limitada: não limitada; Máimo: em k, k Z ; sec sec cos ( ) cos( ) ( ) Mínimo: em k, k Z ; Obs.: Os máimos e mínimos reeridos nas características da unção secante são relativos. No entanto, a unção secante não tem etremos absolutos. Eercício:. cos Considere a unção deinida por ( ) Determine o domínio e o contradomínio. (Sugestão: esboce o gráico de usando as transormações descritas nas páginas -0) Caracterize a inversa da unção na restrição 5, \.

8 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real Função co-secante A unção co-secante deine-se como : \ { k, k Z} cosec( ) sen( ) O seu gráico é: Características desta unção: Domínio: { : sen( ) 0} \ k, k Ζ ; { } Contradomínio: ], ] [, [ Injectividade: não injectiva; Zeros: não tem; Paridade: co sec( ) co sec( ) sen( ) sen( ) (co-secante é uma unção ímpar); Periodicidade: co sec( ) co sec( ) sen( ) sen( ) ( é o período mínimo positivo) Limitada: não limitada; Máimos: em k, k Z ;

9 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 7 Mínimos: em k, k Z ; Obs.: Os máimos e mínimos reeridos nas características da unção co-secante são relativos. No entanto, a unção secante não tem etremos absolutos. Eercício: Considere a unção deinida por ( ) cosec. Determine o domínio e o contradomínio. Caracterize a inversa da unção na restrição 5, \.