Matemática B Extensivo v.2

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1 Etensivo v. Eercícios 0) A Se cos α /, então, a representação em um triângulo retângulo será: Pitágoras Como o arco tem etremidades no segundo quadrante, 0 seno é positivo e tangente é negativa, logo: sen tg sen tg ) E tg α co. ca. 0) E P B O A 0) E está no º quadrante A primeira determinação positiva de e 9 é, logo, eles são côngruos. sec cos cos Pitágoras No triângulo Δ OBP temos: (BP) + (OB) (OP), mas BP OA OA + OB (I) Também temos que BÔP 0, logo: tg 0 BP OA OA OA. OB (II) OB OB OB Substituindo (II) em (I) temos:.ob OB OB OB OB 9 OB 9 OB K. OB. OA. OA. OB.

2 0) D cos (cos + sen. tg) cos sen cos + sen. cos cos cos. cos. cos sec 06) A cos m e tg 6 m sen 6 m cos sen 6 m sen 6 m m sen + cos 6 m + m 6 m + m 0 m ) A 08) E ± + ± ' m " m ( sen + cos ) ( sen ) ( sen + ). cos sen + sen.cos + cos sen. sen cos ( ) ( + ) + sen.cos cos sen.cos + cos sen.cos cos cos 09) D 0) D ) C tg 0 tg 60 tg 0 tg 00 tg 0 tg 0 tg 60 + tg 0 ( a) + ( a) a tg 00 a a tg + sen sec + sen sec + sen sec cos tg ( ) + tg ( ) cos ( ) cos ( ) s en ( ) s en ( ) + cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) s en ( ) + s en ( ) cos ( ) cos ( ) s en ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) sen α 60 0 pitágoras 00 0 cos α (negativo, pois está no º quadrante)

3 ) B ) B ) D F() (sen + cos ) + (sen cos ) F() (sen + sen. cos + cos ) + (sen sen. cos + cos ) F() sen + cos F() (sen + cos ) F(). () F() O gráfico é uma reta paralela ao eio, que intercepta o eio no ponto. sen + cos (sen + cos ) () cos sen + cos.cos + sec + cotg cos + tg cos sen cos.sen sen cos.cos + sen cos + cos cos (sen + cos ).(cos ) cos.s en.(cos s en) sen ( ) + ) B m cos sec m tg m tg + sec ( m ) + (m ) m + m m + m m m + m 6m + 0 s 6 p m m Como m não satisfaz as condições de eistência, então m. 6) 0 log [tg (/)] + log [/0)] log[tg 6 ] + log [tg ] log (tg 6. tg ) sen sen log 6. mas, como 6 e são complementares, sen cos 6 e cos sen 6 cos cos 6 o. Logo: log sen 6 sen. log 0 cos 6 cos 7) A P α e β são replementares, ou seja, α + β 60 rad. O Q

4 8) a) A sen θ; P (senθ + cosθ) b) θ rad c) θ rad a) 9) B sen α e α º quadrante. sen cos cos B sen 0 0 D sen sen cos cos A retâng. b. h A retâng. ( cos θ). ( sen θ) A retâng. sen θ. cos θ A retâng.. (sen θ. cos θ) A retâng.. sen θ P sen θ + cos θ P (sen θ + cos θ) b) A. sen θ Área máima: seno máimo θ θ c) P. (sen θ + cos θ). (sen θ + cos θ) 6. (sen θ + cos θ) 6. (sen θ +. sen θ. cos θ + cos θ) 6. ( + sen θ) O valor que dá o máimo é também o valor que dá máimo. Para ser máimo, sen θ deve ser máimo: θ θ α 0 sen( 90 0 ). tg 0 sen ( 60 ). tg 0 sec ( ) sec ( 0 ) sen( 60 ).( tg 0 ) sen 60. tg 0 sec ( 0 ) cos 0. 0) D Como: cos cos ( ), então sec sec ( ) cos + sec t (cos + sec ) t cos + cos. sec + sec t cos + cos. cos + sec t cos + + sec t cos + sec t ) + cos + cos + cos + cos. + cos cos. + cos cos cos + cos cos cos + cos cos cos

5 ) D cos sen cos ( cos ) ( cos ) ( cos )( + cos ) ( cos )( ( + cos )) cos cos cos cos cos ) E II. Falso. I. Verdadeiro. sen 0 sen 0 sen 0 sen nº de voltas con cos sen F + + P II. Falso. Seja sen s p 0 sen 70 sen (impossível) F III. Verdadeiro nº de voltas sec 80 sec 0 sec 80 cos 0 sec 80 sec 80 cossec 0 sen 0 cossec 0 cossec 0 III. Verdadeiro. sen k 0 k IV. Verdadeiro. sen + sen 0. sen A cos. sen + cos ( ) IV. Verdadeiro. sec α e cos α Se α [0, 60 ], então α 60 ou α ) E I. Verdadeiro. sen + cos ( k ) + (k + ) k + k + k + k k 00

6 ) 0 0. Verdadeiro. 0. Verdadeiro P m g() + (função de primeiro grau) Ponto em que a reta corta o eio : Coeficiente linear:, < 08. Falso. tg. sec < 0 0. Falso. tg sec + a 88 + a a a + a 88 a sen ( + a) sen a tg. sec sen (88 a) sen a sen ( + a) sen (88 a) ( ) 0 Logo, deve estar localizado no ou quadrante. 6

7 6) E A soma envolve apenas ângulos pares, medidos em graus. Tomei ao acaso um deles para análise no ciclo. Escolhi um ângulo de Esse ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que esses ângulos aparecem na soma e, como em toda epressão o cosseno está elevado ao quadrado, a soma pode ser escrita com o: S cos 0 + cos 90 + cos 80 + cos 70 + cos 60 + (cos + cos cos 86 + cos 88 Etremos S (cos + cos cos 86 + cos 88 ) Reduções ao º Q Veja que e 88 são complementares, logo cos 88 sen. O mesmo acontece com os ângulos e 86 assim como com todos os ângulos da epressão: S +. (cos + cos sen + sen ) S +. ( ) vezes S ) C A sen k k k :, k + k sen ( ) : k, Como k,, então + {, } e B {, } A B {,,, } Soma Soma sen + sen + 8 sen + sen + sen 6 + sen + sen Como e são complementares, sen cos Soma sen + sen 6 + sen + cos Soma + sen 6 + sen Soma + + Soma + + 8) B P m 7

8 9) f() + sen Esboçando o gráfico teremos: f(t) a) P m P sen má. + Imagem: Im [0, ] sen min. 0 0 p/ p p/ p t b) + sen sen 0 k + k () + K Se K 0, então S Se K, então, 0) C ) A f(t) sen [t (/)], t R..( ) Im Im [, ].( ) P m f(0) sen. sen ( 60 ) f(0).,7 Esboçando o gráfico temos: f(t) ) D P seno m 6,8 Logo, temos dois pontos de intersecção. Se T 0, então f(0) cos 0 Se T, então f( ) cos Se T, então f( ) cos 0 Se T, então f( ) cos ) E P seno m m m A observação que P provém do gráfico (quanto leva para repetir). Dm valores de Dm R Im valores de Im [, ] t 8

9 Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Portanto, a função é ímpar. Esboçando o gráfico de sen notamos que é igual ao da figura, logo a função descrita é: sen. 6) D Im [, +] P m P P 8 Esboçando o gráfico temos: ) E A variação do número de clientes é dada pela imagem da função f(). Calcularemos o mínimo e o máimo do seno. sen mín ( ) sen mín sen má () sen má A diferença entre os valores máimo e o mínimo da função é: ) 0. Falso. cos () k k k {k R/ K /}. 0. Verdadeiro. f() cos (/) Dm conjunto dos valores de que satisfazem as condições de eistência. Dm { R/ 0} D R*. 0. Verdadeiro. Valor mínimo: cos + ( ) 08. Falso. P m P P 6. Verdadeiro. Os valores do cos variam entre e. Portanto: Im [, ] 7) C d eio médio d 70 a amplitude a 0 c altera o período P m c c 6 A função é: Q(t) 0 sen b+ t Pelo gráfico se t então Q() 0 Q() 0 sen b sen b sen b + sen b + Se sen b +, então b + b b 6 Portanto, Q (t) 0 sen +.t Q (0) 0 sen Q (0) Q (0)

10 8) a) Para t 0 s, temos P sen (. 0) 0 0 mm de Hg. Para t 0,7 s, vem P sen (. 0,7) mm de Hg. b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen (t) sen (t) sen a) P sen (. t) Se t 0, então P(0) se (0) P(0) 00 Para t 0, a pressão sanguínea é de 00 mm de mercúrio. Se t 0,7, então P(0,7) sen ( 0,7) P(0,7) sen P(0,7) ( ) P(0,7) 80 Para t 0,7, a pressão sanguínea é de 80 mm de mercúrio. b) Conforme o enunciado, a pressão atinge seu menor valor em: P 80 mm. Mas no item a descobrirmos que P (0,7) 80, logo t 0,7s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo. Como o período dessa função é de s, esse fato só se repetirá no próimo segundo. 9) V V F V V T 0) A 0. Verdadeiro. Período: P m P h 0. Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maior temperatura foi de C. 0. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que a temperatura máima ocorre em t 8. Como t 0 corresponde às 6h, então t 8 corresponde às h. 0. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que T(t) é crescente em [0, 8]. Os ângulos estão medidos em radianos. Sabemos que radiano vale aproimadadmente 7. a) Verdadeiro. 7 rad Q sen(7) > 0 b) Falso. 8 rad º Q sen (8) > 0 c) Falso., rad,. 7,, Q cos ( ) < 0 d) Falso. Observando os itens b e c temos que cos ( ) < 0 e sen (8) > 0. Logo, cos ( ) < sen (8). ) B Para descobrir a posição nos etremos tomamos os valores etremos de cos cos má. r ,.(), cos mín. r ,.( ) 08, S S 000 km. t ) A Início: t + 0. t t 6 Final. t +. t t 8 0. Verdadeiro. Temperatura às 6 horas (t 0): T(0) 6 +. cos T(0) 6 +. cos (0 ) T(0) 6. cos (60 ) T(0) 6. T(0) 6,, C Esboço do gráfico da função: h 0, 0,0 Como a função começa de seu máimo, então é uma função cosseno. h(t) a + b. cos(m. t) t 0

11 ) D a eio médio a + 0, 0 b amplitude b 0, 0,,8 Além disso P m m m 6 Com os valores de a, b e m temos: h(t), +,8. cos ( 6 t) Esboço do gráfico: f I. Falso. P m P 6 dias. 6 II. Verdadeiro. Pôr do sol ocorreu mais cedo: t 9, Admitindo que cada mês possui 0 dias, então t 9,, já se passaram meses (janeiro, fevereiro e março) e já entramos no mês de abril. III. Verdadeiro. f(t) mínimo vale 7, h, que equivale às 7h0. ) B f() cos P é ponto de ordenada máima da função. Como o maior valor que cos pode assumir, a ordenada de P vale. Q é ponto em que o gráfico toca o eio, ou seja, 0. Mas, para que cos 0, deve assumir seu primeiro valor em. P (0,) Q A Δ bh.. u. a t ) A I. Verdadeiro A divisão indica que o arco percorre voltas acrescido de 0, que deverá ser percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que, ao percorrer o quarto quadrante, a função seno aumenta o seu valor, portanto nesse quadrante a função seno é crescente. II. Verdadeiro. 0 0 A divisão indica que o aro percorre voltas acrescido de rad, parando assim no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que, ao percorrer o segundo quadrante, a função cosseno diminui o seu valor, portanto nesse quadrante a função cosseno é decrescente. III. Falso A divisão indica que o arco percorre voltas acrescido de 80, parando assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa. 6) B 7) D Queremos saber t tal que c : + sen t 6 sen t sen t 6 6 Primeiro seno que vale : t 6 6 t h I. f () sen () P m, A única função que repete em um intervalo de aproimadamente, é a alternativa B.

12 8) 8 9) D II. f () sen Como, essa função é par. Entre as alternativas, a única que possui gráfico simétrico em relação ao eio é a C. III. f () sen ( ) Estudando o ciclo observa-se que sen ( ) sen, e o gráfico de sen aparece na alternativa A. f(t) 9. sen 8.t f(t) 9. sen 8.t P m P 8. 8 s Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a cada s. segudos 6 repetições 6 8 Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições. Os valores máimo e mínimo do custo correspondem aos valores máimo e mínimo de seno. ) E ) C f 9. sen 9. f 9. sen 9 f 9. sen f 9 sen ( ) f nº de voltas Como a função cos () é par, sabe-se que se cos () cos ( ). Como a função sen () é ímpar, sabe-se que sen ( ) sen (). Então a função f pode ser escrita como: f(). (sen () + cos () + sen () cos ()) f(). sen () f() sen () O esboço do gráfico da função sen() está no item e. Queremos saber o valor de t tal que h. O seno vale / nos seguintes arcos: sen mín. c ( ) c 00 0 c 80 sen má. c () c c 0 0 /6 / 0 /6 0) B K amplitude K m altera o período P m 8 m m Portanto, f(). sen. t 6 ou t 6 t ou t 0 Então o navio pode permanecer no porto entre e 0 horas.

13 ) Esboço do gráfico: 8 h (t) 6 8 P m P h 0. Falso. valor mínimo: cos mínimo h 8 +. ( ) h 8 0. Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maré baia acontece às 8h. 0. Verdadeiro. P m P h 08. Verdadeiro. O gráfico não informa quando h 0, descobriremos isso algebricamente sen t.. sen t. sen t. t ) a eio médio a b amplitude b c altera o período P m c c 0. Verdadeiro. Com os valores de a, b e c temos que f() + sen () 0. Verdadeiro. Observando o gráfico verifica-se que varia entre e, portanto Im [, ]. 0. Falso. Analisando o gráfico verifica-se que o período é de. 08. Verdadeiro. f() +. sen () f +. sen. f +. sen ( 6 ) f ) a) 6, m b) Período: segundos; altura mínima:, m; altura máima:, m. h(t), + 0 sen [. (t 6)] a) t 0 h(0), + 0 sen [. ( 6)] h(0), + 0 sen [ 6 ] Como sen( ) sen(), então: h(0), 0 sen ( 6 ) 0 /6 / 0 / nº de voltas 0 6 t 6 ou t 6 t ou t 0 Logo, o navio pode permanecer entre e 0 horas. Com isso, sen ( ) sen ( 6 6 ). h(0), 0. sen ( 6 ) h(0), 0. sen (0 ) h(0), 0. h(0), 6, m h, + 0. ( ) h, 0 h, m

14 b) As alturas mínima e máima dependem do valores mínimo e máimo de sen (). sen mín. sen má. h, + 0. () P h, + 0 P s h, P 9) B f(). sen P m 8 6) D Portanto, as alturas mínima e máima valem, m e, m, respectivamente, e o período de repetição vale s. Suponha a função da forma a + b. cos(m. t) a eio médio a b amplitude b m altera o período P m m m Gráfico: B 0 8 A 7) C L()? C() cos (. 6 ) C() cos ( ) C() 0. V(). sen (. ) V(). sen ( ) V(). L() V() C() L() L() 8) D Como o lucro é dado em milhares de reais, o lucro é de R$ 000,00. Esboço do gráfico 00 P 0 / / / P m A 60) D Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a maior, ou seja, h. A Δ bh. A 8. u.a. Δ f() , + sen ( 6 ) Primeiro trimestre: (),, f() ,. () + sen ( 6 ) f() , + sen (0 ) f() 00, +. f() 0 f() ,. () + sen 6 f() sen (60 ) f() 0 +. f() 0, f() ,. () + sen 6 f() 00 +, + sen (90 ) f() 0, +. f() 0, Total de vendas: 0 + 0, + 0, 0,0 A função atinge o mínimo em t.

15 6) B Os gráficos a seguir esboçam as funções sen () e cos (). 0 0 sen cos O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em relação ao eio (). Representando os gráficos de sen e cos no mesmo sistema temos: 0 cos sen Pontos de intersecção: 8 6) P(, 0); Q(, 0), R(8, 0) e S(0, 0) Pontos em que o gráfico corta o eio () : f() 0 sen ou sen 0. k k Se K, então / Se K, então / Se K, então Se K, então 8/ Se K, então 0/ Todos os pontos possuem abcissas maiores que. Observando esse fato saberemos que: P(,0); Q(, 0); R(8, 0); S(0, 0)