COLÉGIO SHALOM Ensino MÉDIO 2º ANO Profº:RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: MATEMÁTICA Aluno (a):. No.

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1 COLÉGIO SHALOM Ensino MÉDIO º ANO Profº:RONALDO VILAS BOAS COSTA Disciplina: MATEMÁTICA Aluno (a): No TRABALHO DE RECUPERAÇÃO VALOR, INSTRUÇÕES: LEIA com atenção cada questão; PROCURE compreender o que está sendo pedido; ELABORE respostas completas; FAÇA uma letra legível; Respostas a lápis não terão direito à revisão; Não é permitido o uso de corretivo e nem rasuras Lista de Trigonometria Arcos e Ângulos Complete a tabela GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS º 8º º º º º 6º º 9º º º º º º º 6º Epresse em graus: a) rad rad 9 rad b) 8 c) rad 9 d) rad e) Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às horas (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ponteiro maior percorre? radianos, que arco (UNICAMP) Um relógio foi acertado eatamente ao meio-dia Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de º 6 (CEFET MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h min? (PUC) Um relógio foi acertado eatamente às 6h Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de º? 8 (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira rad, uma 8 rad engrenagem que compõe o velocímetro gira rad Quando a roda gira, essa

2 engrenagem gira quantos graus? 9 Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno Sabe-se que o terreno tem a geometria da figura O preço por metro de cerca é de R$, Quanto será gasto nessa cerca? Dados:,,,,, e Determine a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem cm de raio e o ângulo central correspondente mede b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de cm c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de corresponde a um arco de cm A roda dianteira de uma bicicleta tem cm de raio Quantos metros ela percorre ao dar voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9m? As rodas de um automóvel têm cm de diâmetro Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 989 km Adote, Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos rad a) º b) º c) º d) º e) rad f) Dê as epressões gerais dos arcos côngruos a: 9 rad a) º b) º c) rad 8 Marque um X nos pares que representam arcos côngruos d) rad e) ( ) º e 6º ( ) º e 9º ( ) 9 rad e 8 rad e 6 rad ( ) rad

3 k 6 Os arcos da forma k8º ( ) º, k Z, têm etremidades em que quadrantes? Determine os valores de: a) y cos º sen9º tg8º b) y sen9º cos 6º secº 8 Determine os valores máimos e mínimos das epressões: cos y a) sen y b) c) y sen 9 Que valores de m satisfarão a ambas as condições: sen m e cos m Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: m e sec tg m Sendo um arco do º quadrante e sen, determine: a) cos b) tg c) sec sen (U F VIÇOSA-MG) Sabendo que ( ) ( ) ( ) e cos sec sec, o valor de cot g é: ( ) ( ) (F M Triângulo Mineiro MG) Se e cos sen, pode-se afirmar que: ( ) tg tg Relacione tg ( ) tg ( ) ( ) (a) cos º (b) sen º (c) ( ) sen(º) ( ) cos º ( ) 6 senº tgº cos( º é igual a: (UF-AL) A epressão ) ( ) ( ) ( ) (d) tgº senº cos º ( ) cos º ( ) ( )

4 - Qual o comprimento de uma circunferência de raio cm? - Os ponteiros de um relógio horas e minutos O menor ângulo entre os ponteiros é de: a) 6 b) º c) 8 d) 6º e) 8º - Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes instantes: a) hmin b) hmin c)hmin d) hmin e)hmin - Reduzir ao primeiro quadrante: a) sen b) cos c) tg d) sen e)cos -Calcular, por redução ao primeiro quadrante: a) sen b) sen c) sen d) sen / e) cos /6 f) tg / g) cos / h) sen /6 i) cos /6 j) tg / k) tg / 6- (UFRGS) Considere que a espiral representada na figura abaio é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior Qual é o comprimento dessa espiral? - Determine o valor numérico das epressões, para : a) y cos sen tg sec8 b) sen cot g cos() f ( ) sen sec sen()

5 Lista de eercícios de Trigonometria Professor Jayme Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo vale / Determine as possíveis medidas dos três lados do triângulo Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = e cos = / Uma circunferência tem cm de raio Qual o comprimento de um arco de º? Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos a) b) 6 c) 6 d) 6 e) rad f) g) Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus a) º b) º c) 8º d) º e) º f) º g) º 6 Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes Calcule o valor de na figura abaio:

6 8 Indique no ciclo trigonométrico as etremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos a) 6 b) 9 Quais os menores valores não negativos côngruos aos seguintes arcos: a) º b) º c) -8º d) -º e) o 6 c) d) Sabendo que é um arco do primeiro quadrante e que sen =,8, determine cos e tg Sabendo que 8 e que sen =,6, determine cos e tg Calcule o valor de: a) sen o b) sen o c) sen o d) sen o Calcule o valor de: a) cos o b) cos o c) cos o d) cos o Calcule o valor de: a) tg o b) tg o c) tg o d) tg o Eercícios de Trigonometria º(JAMBO/PV) A medida de um ângulo é º Em radianos, a medida do mesmo ângulo é: º(JAMBO/PV) O valor de sen cos cos é:

7 nra º(JAMBO/PV) O domínio e o conjunto imagem da função definida por y = tg, sendo D o domínio e I o conjunto imagem, são representados por: a) D = { IR / b) D = { IR / c) D = IR e I = IR } e I = IR* K e d) D = { IR /, K Z} e) D = IR* e I = IR } e I = IR* º(JAMBO/PV) O valor de log a) - b) c) d) e) tg é: º(JAMBO/PV) Seja a função f, de IR em IR definida por f() = + sen O conjunto imagem dessa função é o intervalo: a), b) c), d) e),,, 6º(JAMBO/PV) O conjunto imagem da função f : IR IR, definida por f() = sen, é o intervalo: [-, ] [-, ] [-, ] [-, ] [-, -] º(JAMBO/PV) O período da função dada por y = sen a) b) c) d) e) 8 é: 8º(JAMBO/PV) O período da função: f() = cos é:

8 a) 8 b) c) 6 d) e) 9º(JAMBO/PV) Calcular os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades: sen = k e cos = k º(JAMBO/PV) O domínio da função f() = sec a) IR k b) k, k Z c) d) { - ou } e) nra X é: º(JAMBO/PV) O valor da epressão (a) - (b) (c) (d) (e) sen tg cos é: º(JAMBO/PV) A função trigonométrica equivalente a a) sen b) cotg c) sec d) cossec e) tg sec sen cos sec cos é: º(JAMBO/PV) No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale quadrante A tangente deste ângulo vale: ) ) ) ) ) e encontra-se no segundo

9 º(JAMBO/PV) Se sec = e tg <, então sem vale: a) b) c) d) e) º(JAMBO/PV) O valor da epressão = a) b) c) d) e) nra tg tg quando cos e tg < é: 6º(JAMBO/PV) A epressão: - sen cos cos tg vale: cos( ) cos( ) sen( ) sen º(JAMBO/PV) Simplificando a epressão y =, temos: y = tg y = cotg y = sen cos y = - sen y = - cos sen( a b) sen( a b) 8º(JAMBO/PV) Simplificando-se a epressão cotg a tg a tg b cotg (a + b) nra cos( a b) cos( a b) resulta:

10 9º(JAMBO/PV) cos(º) é igual a: 6 6 º(JAMBO/PV) Sendo, então cos ( ) vale: sen cos sen cos nra Lista de eercícios sobre Matrizes e Determinantes 6 Determine a matriz A = (aij) tal que aij = i j Construa as seguintes matrizes:, sei j A = (aij) tal que aij =, sei j i j,sei j B = (bij) tal que bij = i - j, sei j, sei j 8 Construa a matriz A = (aij) tal que aij = i, sei j i j, sei j 9 Seja a matriz A = (aij) tal que aij = i j, i j, então a + a é igual a: Determine a soma dos elementos da º coluna da matriz A = (aij) tal que aij = + i i Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij) i j, sei Dada a matriz A = (aij) em que aij = i j, sei j +a j, determine a soma dos elementos a Seja a matriz A = (aij) tal que aij = i j Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz

11 Determine a soma dos elementos da matriz linha () que obedece a lei: aij = i j Determine a e b para que a igualdade b a = b a seja verdadeira 6 Sejam A = - e B = 8 -, determine (A + B) t Dadas as matrizes A = - e B = - y - y, determine e y para que A = B t 8 Resolva a equação matricial: - - = Determine os valores de e y na equação matricial: - y Se o produto das matrizes - y é a matriz nula, + y é igual a: Se - y, determine o valor de + y Dadas as matrizes A =, - B = - e C = 6, calcule: a) A + B b) A + C c) A + B + C Dada a matriz A = - -, obtenha a matriz tal que = A + A t Sendo A = (aij) tal que aij = i j e B = (bij) tal que bij = -i + j +, calcule A + B Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 8 - q n - n p m q p m

12 6 Determine os valores de, y, z e w de modo que: z y w Dadas as matrizes A =, B = - e C = 6, calcule: a) A B b) A B t C - 8 Dadas as matrizes A = 6 8, B = resultado das seguintes operações: a) A B + C b) e C = A B C - -, calcule o 9 Efetue: - a) b) - c) - Dada a matriz A =, calcule A - Sendo A = e B = e C =, calcule: a) AB b) AC c) BC Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem, com aij = i + j e bij = -i j Sabendo que C A + B, determine C Calcule os seguintes determinantes: a) - b) - c) Se a =, b = e c = - -, determine A = a + b c

13 Resolva a equação = -6 6 Se A =, encontre o valor do determinante de A ª a b Sendo A = a b, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor numérico desse determinante para a = e b = 8 Calcule o valor do determinante da matriz A = Resolva a equação - - Se A = (aij) tal que aij = i + j, calcule det A e det A t Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de crianças de a anos de idade Para esse grupo, em função da idade da criança, concluiu-se que o peso médio p(), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que:, com base na fórmula p() = det A, determine: - - o peso médio de uma criança de anos a idade mais provável de uma criança cuja o peso é kg Calcule o valor do determinante da matriz A= sen cos - cos - sen Resolva a equação - - = Se A = -, calcule o valor do determinante de A A Considere a matriz A = (aij), definida por aij = - + i + j para i e

14 Determine o determinante de A 6 Determine o determinante da seguinte matriz - Dada a matriz A = - e a = det A, qual o valor de det (A) em função de a? 8 Seja A = (aij) tal que aij = i j Calcule det A e det A t 9 Calcule os determinantes das matrizes A = teorema de Laplace e B = , usando o Resolva as equações: a) = b) = c) - = - 6 Sabendo se a = e b =, calcule o valor de a + b Dada a matriz A =, calcule: a) det A b) det A Determine o valor de cada determinante: a) b) - - c) - - Calcule o determinante da matriz P, em que P é a matriz P = Na matriz - 9, calcule: f)seu determinante g) os valores de que anulam esse determinante

15 6 Determine em IR a solução da equação: = 8 log 8 Sabendo que a = e b =, efetue a b 8 Determine a solução da equação: - 8 = sen 9 Determine o determinante da matriz co 6 Resolver a equação = cos sen 6 Resolva as equações: a) = b) - - = c) - = ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II a -) Escreva a matriz A= ij =i+j b -) Escreva a matriz B= ij c -) Escreva a matriz C= ij c ij i j a ij, onde b ij, onde = i j, onde -) Dadas as matrizes A= a e B b, determinar a, b e para que A= B t -) Determinar os valores de a e b, tais que: a b b a -) Determine e y na igualdade: d -) Escreva a matriz D= ij j d ij, onde = i

16 a ij -) Escreva a matriz A= a ij, se i j, se i j a 6-) Escreva a matriz A= ij a ij i j, se i j, se i j a ij -) Escreva a matriz A= a ij i j, se i j i j, se i j, onde, onde, onde 8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal Determine o traço de cada uma das matrizes A = e B log y 9 a -) Seja A= ij a ij, onde =i + j Determine m, n e p em B= m n n m p a fim de que tenhamos A=B -) Determine a, b, e y, tais que: a b y a b y -) Determine e y, tais que: log y 6 a-) y y b-) 9-) Dada a matriz A= determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A, CONSTRUÇÃO DE MATRIZES ) Escreva a matriz A=(a ij), em que aij = i j ) Construa a matriz A= (aij) de modo que aij = i j ) Escreva a matriz B=(b ij), em que b ij = e secundária de B? i j Que elementos pertencem às diagonais principal ) Escreva as matrizes C=( c ij), em que c ij = i² = j, e D=(d ij), em que d ij = i-j Que matrizes especiais são essas? ) Escreva a matriz A=(a ij), em que a ij =, se i j -, sei < j

17 6) Escreva a matriz A=(a ij), em que a ij = i + j, se i = j, se i de j Forneça os elementos que pertencem às diagonais principal e secundária de A -, se i > j ) Determine a matriz B = (bij) tal que bij=, se i = j, se i < j 8) Escreva a matriz B = (bij) nos seguintes casos: a) B e uma matriz do tipo com: bij = - para i = j bij = a para i j b) A é uma matriz quadrada de a ordem com: aij = para i+j = aij = - para i+j c) A é uma matriz quadrada de a ordem com aij = i +j ª PARTE : IGUALDADE DE MATRIZES OPERAÇÕES COM MATRIZES 6 Sejam as matrizes: A= - - B= - C= D= - Calcule: f) A + B g) A - B h) AC i) BC j) CD k) DA l) DB m) AD n) D(A + D) Seja A= Se A = A t encontre o valor de - Verifique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira a) (-A) t = - (A t )

18 b) (A+B) t = B t + A t c) (-A) (-B) = - (AB) d) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada Dadas A= - B= C= Mostre que AB = AC Dadas A= - B= - - C= a) Mostre que AB = BA =, AC = A e CA = C b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A B = (A B) (A+B) e (A + B) = A + B c) Calcule o determinante de cada matriz pela regra de Sarrus 6) Sejam X e Y matrizes de mesma ordem, determine a, a R para que X = Y ) Calcule e y em cada caso, para que as matrizes A e B sejam iguais: a) A = + y e B = y b) A = e B = + y + y c) A = e B = 8 y + y d) A = e B = y 8) Dadas as matrizes: A = B = e C = -

19 teste as propriedades:

20 a) A (B+C) = AB + AC b) A(BC) = (AB)C 6) Determine a matriz A = (aij) tal que aij = i j ) Construa as seguintes matrizes:, sei j A = (aij) tal que aij =, sei j i j,sei j B = (bij) tal que bij = i - j, sei j 8) Construa a matriz A = (aij) tal que aij =, sei j i, sei j 9) Seja a matriz A = (aij) tal que aij = a: i j, sei j, então a + a é igual i j, i j ) Determine a soma dos elementos da º coluna da matriz A = (aij) tal que aij = + i i ) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij) ) Dada a matriz A = (aij) em que aij = elementos a +a i j, sei i j, sei j j, determine a soma dos ) Seja a matriz A = (aij) tal que aij = i j Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz ) Determine a soma dos elementos da matriz linha () que obedece a lei: aij = i j ) Determine a e b para que a igualdade verdadeira a b a b = seja 6) Sejam A = - e B = 8 -, determine (A + B) t ) Dadas as matrizes A = e B = - que A = B t y - y, determine e y para -

21 8) Resolva a equação matricial: - - = ) Determine os valores de e y na equação matricial: - y ) Se o produto das matrizes - y é a matriz nula, + y é igual a: ) Se - y, determine o valor de + y ) Dadas as matrizes A =, - B = - e C = 6, calcule: a) A + B b) A + C c) A + B + C ) Dada a matriz A = - -, obtenha a matriz tal que = A + A t ) Sendo A = (aij) tal que aij = i j e B = (bij) tal que bij = -i + j +, calcule A + B ) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 8 - q n - n p m q p m 6) Determine os valores de, y, z e w de modo que: w y z ) Dadas as matrizes A =, B = - e C = 6, calcule: a) A B b) A B t C

22 8) Dadas as matrizes A = 8 6 -, B = e C = - -, calcule o resultado das seguintes operações: a) A B + C b) C B A 9) Efetue: a) - b) - c) ) Dada a matriz A = -, calcule A ) Sendo A = e B = - e C =, calcule: a) AB b) AC c) BC ) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem, com aij = i + j e bij = -i j Sabendo que C A + B, determine C ) Calcule os seguintes determinantes: a) b) - 8 c) ) Se a =, b = e c = - -, determine A = a + b c ) Resolva a equação = -6 6) Se A =, encontre o valor do determinante de A ª

23 a b ) Sendo A =, calcule o valor do determinante de A e em seguida a b calcule o valor numérico desse determinante para a = e b = 8) Calcule o valor do determinante da matriz A = - 6 9) Resolva a equação - - ) Se A = (aij) tal que aij = i + j, calcule det A e det A t ) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de crianças de a anos de idade Para esse grupo, em função da idade da criança, concluiu-se que o peso médio p(), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: A, determine: - -, com base na fórmula p() = det f) o peso médio de uma criança de anos g) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é kg sen - cos ) Calcule o valor do determinante da matriz A= cos - sen ) Resolva a equação - = - - A ) Se A =, calcule o valor do determinante de A ) Considere a matriz A = (aij), definida por aij = - + i + j para i e Determine o determinante de A 6) Determine o determinante da seguinte matriz -

24 ) Dada a matriz A = função de a? - e a = det A, qual o valor de det (A) em 8) Seja A = (aij) tal que aij = i j Calcule det A e det A t 9) Calcule os determinantes das matrizes A = - - 6, usando o teorema de Laplace - ) Resolva as equações: e B = a) = b) = c) - = - 6 ) Sabendo se a = e b =, calcule o valor de a + b ) Dada a matriz A =, calcule: a) det A b) det A ) Determine o valor de cada determinante: a) b) - - c) ) Calcule o determinante da matriz P, em que P é a matriz P = - - ) Na matriz, calcule: - 9 f) seu determinante g) os valores de que anulam esse determinante

25 6) Determine em IR a solução da equação: = 8 log 8 ) Sabendo que a = e b =, efetue a b 8) Determine a solução da equação: 8 = - sen cos 9) Determine o determinante da matriz co sen 6) Resolver a equação = 6) Resolva as equações: a) = b) - - = c) = - Questões: Obter a matriz A = (aij) definida por aij = i - j Se A é uma matriz quadrada de ordem ea t sua transposta, determine A, tal que A = A t (UNIV CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A T e é dita anti-simétrica se A T = -A, onde A T é a matriz transposta de A Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações: () A + A T é uma matriz simétrica () A - A T é uma matriz anti-simétrica

26 Se uma matriz quadrada A é tal que A t = -A, ela é chamada matriz antisimétrica Sabe-se que M é anti-simétrica e: Os termos a, a e a de M, valem respectivamente: a) -, - e b), e - c), - e - d), - e e), e a) = y = b) = y = m = n = c) = y e m = n d) y = - e n = -m e) = -y e m = -n 6 Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p) O número de botões por modelos é dado pela tabela: Camisa A Camisa B Camisa C Botões p Botões G 6 O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Maio Junho Camisa A Camisa B Camisa C Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e

27 junho Sobre as sentenças: I O produto das matrizes A B é uma matriz II O produto das matrizes A B é uma matriz III O produto das matrizes A B é uma matriz quadrada É verdade que: a) somente I é falsa; b) somente II é falsa; c) somente III é falsa; d) somente I e III são falsas; e) I, II e III são falsas 8 (MACK) Se A é uma matriz e B uma matriz n m, então: a) eiste A + B se, e somente se, n = e m = ; b) eiste AB se, e somente se, n = e m = ; c) eistem AB e BA se, e somente se, n = e m = ; d) eistem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; e) eistem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B a) b) c) 9 d) 8 e) 8 (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é: a) (A = B) C = A C + B C b) (A + B) t = A t + B t c) (A B) t = A t B t d) (A - B)C = AC - BC e) (A t ) t = A

28 Resolução: () verdadeira () verdadeira B E 6 Maio Junho Botões p Botões G B 8 C 9 D C 9) Dada a matriz A =, temos A t + A será: - a) b) c) d) 6 e) ) Dada a matriz A = -, temos A A t é a matriz: a) b) - c) d) e) -

29 - - ) (UFRS) A matriz fornece em reais o custo das porções de arroz, carne e salada usadas num restaurante: Arroz carne salada arroz P C= carne P = P salada P A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P, P e P desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos tipo P, P e P é: 9 f) 9 b) c) d) 6 e) ) (FECILCAM-) Sejam as matrizes A = e B = - A alternativa correta é (f) A matriz transposta de (A - B) é (A - B) t = (g) O produto de A - B é igual ao produto de B - A; (h) c) O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz B; (i) A matriz inversa de (A+B) é (A+B) - = / / - / (j) A soma de (A+B) é igual a soma de (A + ( - B)) 6) Calcule os determinantes das matrizes abaio: (a) A (b) A (c) A= ATENÇÃO!!!!!!! É obrigatório constar TODOS os cálculos no trabalho a ser entregue

30 GABARITO DE TRIGONOMETRIA B B D C A 6 E A 8 A 9 C C C E A C B 6 E B 8 B 9 E D

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