MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos. Propostas de resolução

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1 MTEMÁTIC - 1o no Funções - Eponenciais e loaritmos Resolução ráica de equações e problemas Propostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios 1. Como o ponto é o ponto de abcissa neativa ( < 1) que é a intersecção do ráico da unção com o eio das abcissas, tem ordenada nula, e assim, calculamos a abcissa resolvendo a equação: 1 1 e 1 = 1 1 = 1 = = ± 1 < = 1 ssim, temos que O = 1 = 1 e considerando o lado [O] como a base do triânulo [OP ], a altura é o valor absoluto da ordenada do ponto P, pelo que a área do triânulo é iual a 5, se: O () = 5 1 () = 5 () = e 1 = 1 Visualizando na calculadora ráica o ráico da unção, para valores ineriores a zero e a reta = 1 (reproduzidos na iura ao lado), e usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos um valor aproimado (às décimas) da abcissa do ponto P, P 3,3 3.3 = 1 Eame 17, 1 a Fase. Visualizando na calculadora ráica o ráico da unção, e a reta horizontal de equação = 1,, numa janela compatível com o intervalo deinido ( [,5]), (reproduzido na iura ao lado), e usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos valores aproimados (às milésimas) para as coordenadas dos pontos e : (1,7; 1,) e (3,44; 1,) ssim, podemos também assumir o valor aproimado de 3,44 para a abcissa do ponto C e representar o quadrilátero [OC], constatando que é um trapézio. 1, C 1,7 3,44 Desta orma temos as medidas aproimadas da base maior (OC = C O 3,44 3,44), da base menor ( = 3,44 1,7 1,817) e da altura (C = C 1, 1,), pelo que a área do trapézio [OC], arredondada às centésimas, é [OC] = OC + C 3,44 + 1,817 1,,9 5 Eame 15, Ép. especial Páina 1 de 17

2 3. Visualizando na calculadora ráica o ráico da unção, numa janela coerente com o domínio da unção, (reproduzido na iura ao lado) e usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados dos zeros de uma unção, obtemos um valor aproimado (às centésimas) da abcissa do ponto,,37, que é também o comprimento do semento [O] que podemos tomar como a base do triânulo [O],6,37 Como sabemos que o ponto está sobre uma reta que passa na oriem e tem declive neativo, é um ponto do 4 o quadrante, com abcissa menor que a abcissa do ponto, e cuja distância ao eio das abcissas, ou seja, a abcissa do ponto é um valor de tal que () é a medida da altura relativa à base [O], do triânulo [O] Desta orma, como a área do triânulo é 1, procuramos um valor de tal que () = 1 (),37 () 5,41 5,41 ssim, como o ponto tem ordenada neativa, traçamos também a reta = 5,41, também reproduzida na iura anterior, e recorremos à unção da calculadora para determinar valores aproimados (às centésimas) das coordenadas do ponto de interseção dos ráicos de duas unções para determinar a abcissa do ponto, ou seja,6 ssim, para que a área do triânulo [O] seja 1, as abcissas dos pontos e, com arredondamento às centésimas, são, respetivamente,37 e,6 Eame 14, Ép. especial Páina de 17

3 4. Como o ponto pertence ao eio das ordenadas, tem abcissa = ; como também pertence ao ráico de, tem ordenada (). ssim, calculando a ordenada do ponto, temos: () = e = e = = 7 reta tem declive e passa no ponto, loo é a reta de equação = + 7, e assim, o ponto é a interseção da reta com o ráico da unção, pelo que a abcissa do ponto é a solução da equação () = + 7 e = + 7 Visualizando na calculadora ráica o ráico da unção, numa janela coerente com o domínio da unção, e a reta (reproduzidos na iura ao lado), e usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos um valor aproimado (às centésimas) da abcissa do ponto, 9,35 = + 7 9,35 1 Eame 14, a Fase 5. Seja k a abcissa do ponto (k R ). Como o ponto pertence ao ráico da unção, tem coordenadas ( k,(k) ), e como o ponto C pertence ao eio O e tem ordenada iual à do ponto, tem coordenadas (,(k) ) Podemos ainda considerar a mediada da base do triânulo como b = k, e a altura como a dierença das ordenadas dos pontos C e, ou seja, a = (k) ( ) = (k) + ssim, a área do triânulo [C] é [C] = b a = k ((k) + ) E como a área do triânulo [C] é iual a 8, temos que k ((k) + ) = = k ( ln(k + e ) + ) k< k ( ln(k + e ) + ) = 8 k ( ln(k + e ) + ) = 16 Pelo que a abcissa do ponto é a solução neativa da equação anterior. ssim a abcissa do ponto é a interseção da reta de equação = 16 com o ráico da unção, sendo () = ( ln( + e ) + ), R 16 Visualizando na calculadora ráica o ráico da unção, numa janela coerente com o domínio da unção, e a reta de equação = 16 (reproduzidos na iura ao lado), e usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos um valor aproimado (às centésimas) da abcissa do ponto, 6,71 6,71 Eame 14, 1 a Fase Páina 3 de 17

4 6. Como a abcissa do ponto é = a e a abcissa do ponto é = a, podemos calcular as ordenadas dos pontos e : 3a + ln a = (a) = a = ( a) = ( a) e ( a) = a e a Como o declive da reta pode se calculado como m = e o declive da reta é 1 (por ser paralela à bissetriz dos quadrantes pares), vem: m = 1 a e a 3a + ln a a = 1 a a a+1+e a 3a + ln a = ( a) a+1+e a 3 ln a a a = a 4a +ea ln a a = O a a Como a ],1[ podemos determinar o valor de a, como zero da unção () = 4 + e ln, para ],1[. ssim, representando a unção, numa janela compatível com o domínio, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. Usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados de um zero de uma unção num intervalo, determinamos o valor, aproimado às milésimas, do zero de, que corresponde à abcissa do ponto : a,413 O,413 1 Teste Intermédio 1 o ano Representado o ráico de, no domínio deinido (reproduzido na iura ao lado, numa janela compatível com o domínio da unção ( 1 )), podemos observar que o triânulo [OP ] terá área mínima quando a ordenada do ponto P corresponder ao máimo da unção. O P (.15,.9) Usando a unção da calculadora ráica para determinar o máimo de uma unção num intervalo, determinámos valores aproimados às centésimas para as coordenadas de P (.15,.9). Desinado a ordenada do ponto P por P, temos que o valor da área do triânulo [OP ] (arredondado às centésimas) é: [OP ] = O P =.9 =.9 Eame 13, a Fase Páina 4 de 17

5 8. Desinado por a a altura do triânulo e o semento [] como a base do triânulo ( = 5 = 3), temos que: [P ] = 1 3 a = 1 a = 3 Ou seja os pontos P que eram triânulos de área 1 têm ordenada 3 ou, pelo que as abcissas desses pontos, são 3 as soluções da equação () = 3 Representando o ráico da unção, no domínio deinido (reproduzido na iura ao lado, numa janela compatível 3 P 1 P 4 com o domínio da unção ( > )), e as retas = 3 e = 3, recorremos à unção da calculadora ráica para determinar as coordenadas do ponto de interseção de dois ráicos, para encontrar os valores, aproimados às centésimas, das abcissas dos quatro pontos, ou seja das soluções da equação. Os valores aproimados das abcissas dos quatro pontos são: P1,31, P,61, P3 1,56 e P4,5 3 P P 3 Eame 13, 1 a Fase 9. Começamos por determinar a ordenada do ponto P, calculando () = 3() = 3 9 = 1; ou seja as coordenadas do ponto P, são P (,1), pelo que a ordenada do ponto Q também é 1, loo o ponto Q é o ponto de interseção da reta = 1 como o ráico da unção, que tem abcissa maior que 4. Traçando, na calculadora ráica, o ráico da unção, de acordo com a restrição de cada ramo da unção, e a reta = 1(reproduzido na iura ao lado), e recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas de um ponto de interseção de duas unções, encontramos o valor 5,94 para a abcissa do ponto Q. Como o triânulo [OP Q] é retânulo, ([OP ] [P Q]), podemos considerar OP = 1 como a medida da base e P Q 5,94 como a medida da altura, e temos: [OP Q] 1 5,94,95 P 1 Q 5,94 Teste Intermédio 1 o ano Páina 5 de 17

6 1. Para que um ponto esteja a unidades de distância da oriem, deve estar sobre a circunerência de centro na oriem e raio, ou seja veriicar a condição + = = 4 = ± 4 Loo temos que a abcissa do ponto do ráico de que dista unidades da oriem é a solução da equação () = 4 ou então da equação () = 4 ssim, traçando, na calculadora ráica, os ráicos da unção, numa janela compatível com o domínio, ( > ) - reproduzidos na iura ao lado, vemos que a abcissa pretendida é a solução da equação () = 4, pelo que também é necessário traçar o ráico de () = 4 (também reproduzido na iura ao lado). Recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos o valor, aproimado às centésimas, de,48 para a abcissa do ponto P P,48 Eame 1, Ép. especial 11. bissetriz dos quadrantes pares, é a reta de equação =, loo as coordenadas dos pontos e podem ser determinadas através da interseção do ráico da unção com a reta =. ssim, traçando, na calculadora ráica, os ráicos da unção e da reta, numa janela compatível como o domínio da unção, ( 7 < ) - reproduzidos na iura ao lado - e recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos valores, aproimado às centésimas, para as coordenadas dos pontos ( 6,85; 6,85) e (,16;,16) Calculando a distância entre dois pontos pela órmula d = ( ) + ( ) ) vem que: = 6,85 d (.16 ( 6.85)) + ( ) 6,69 + ( 6,69) 44, ,756 89,51 9,46 6,85,16,16 Eame 1, a Fase Páina 6 de 17

7 1. ssim, traçando, na calculadora ráica, os ráicos das unções e, numa janela que permita visualizar a interseção dos dois ráicos, bem como a interseção do ráico de com o eio das abcissas, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. Determinando um valor aproimado às centésimas do zero da unção, com a opção de determinar o valor dos zeros de uma unção, obtemos as coordenadas do ponto (1,57; ), belo que podemos assumir o valor 1,57 para a medida da base do triânulo.,83 Usando a opção da calculadora para determinar as coordenadas do ponto de interseção de dois ráicos, obtemos os valores, aproimados às centésimas, para as coordenadas do ponto (3,;,83). Loo podemos considerar o valor da ordenada (,83) como a medida da altura do triânulo. 1,57 3, ssim, calculando o valor da área do triânulo [O], arredondado às décimas, vem: [O] 1,57,83, Eame 1, 1 a Fase 13. Considerando a abcissa do ponto, como a medida do lado horizontal do retânulo e a medida (correspondente) do lado vertical é (), ou seja, a área [OC] é dada pela unção deinida, pela condição: ( () = () = + 15 ln (3 1 )), (() ) 5,99 M Traçando na calculadora ráica o ráico da unção, numa janela compatível com o domínio, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. Utilizando a unção da calculadora ráica que permite determinar valores aproimados para o maimizante (e para o máimo) da unção, determinamos as coordenadas do ponto M(,47; 5,99), o que nos permite concluir que o retânulo [OC] tem área máima quando o ponto (e o ponto C) tem abcissa,5,47 Eame 11, Prova especial Páina 7 de 17

8 14. Os pontos do plano cuja ordenada é o cubo da abcissa estão sobre o ráico da unção () = 3. ssim, as abcissas dos pontos do ráico de que veriicam esta condição são as soluções da equação: () = 3 1,8 3 Loo, traçando na calculadora o ráico da unção, respeitando o domínio de cada um dos ramos, e a unção () = 3 numa janela que permita identiicar os pontos de interseção dos ráicos, obtemos o ráico que se reproduz na iura ao lado. 1,1 1,41 1, Recorrendo à unção da calculadora que permite determinar valores aproimados de um ponto de interseção de dois ráicos, determinamos o valor das coordenadas dos dois pontos em que o ráico da unção interseta o ráico da unção. Os valores das coordenadas (com aproimação às centésimas) são ( 1,1; 1.41) e (1,,1,8) Eame 11, 1 a ase 15. Como as abcissas dos pontos e são soluções da equação () = (15), começamos por calcular (15) = 1 (15) ln(15) = 3 ln(15),9 5 Podemos depois traçar na calculadora o ráico da unção, no intervalo ],], e a reta =,9, para determinar os valores aproimados das soluções da equação () = (15), ou seja as abcissas dos pontos e, e obtemos o ráico que se reproduz na iura seuinte. Recorrendo à unção da calculadora que permite determinar as coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, determinamos valores aproimados, às centésimas, das coordenadas dos pontos e : (,5;,9) e (1,75;,9) Para determinar as coordenadas do ponto C, usamos a unção da calculadora que permite determinar o mínimo (e o minimizante) de uma unção, num intervalo, e obtemos valores aproimados para as coordenadas do ponto C: C(1,;,8),9,8 Loo podemos considerar como a medida da base do triânulo, a dierença das abcissas dos pontos e, e como a medida da altura a soma dos valores absolutos das ordenadas dos pontos e C (como se pode ver na iura). ssim, calculando a área do triânulo, e arredondando o resultado às décimas, vem: [O] = ( ) ( + C ),5 (1,75,5)(,9 +,8) 1, C,4 1,75 Eame 1, a Fase Páina 8 de 17

9 16. Representando na calculadora ráica a unção e os dois ramos da unção, numa janela compatível com o domínio obtemos o ráico que está reproduzido na iura ao lado. Depois, como as soluções da equação () = () são as abcissas dos pontos em que os ráicos das duas unções se intersetam, recorremos à unção da calculadora que permite determinar as coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, para determinar valores, aproimados às centésimas, das abcissas dos dois pontos de interseção. Ou seja, as soluções da equação são: 1,7 e,91,7,91 Teste Intermédio 1 o ano Os pontos em que a ordenada () é o dobro da abcissa () estão sobre a reta de equação =. ssim o ponto é a interseção do ráico da unção com a reta de equação =, ou seja, a abcissa do ponto é a solução da equação () = e + ln = ssim, traçando o ráico da unção e a reta =, na calculadora ráica, numa janela compatível com o domínio da unção, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado, onde também está assinalado o ponto de interseção, ou seja o ponto. Depois, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas do ponto de interseção de dois ráicos, determinamos as coordenadas, aproimadas às décimas do ponto : (,3;,6),6,3 = Eame 9, 1 a Fase Páina 9 de 17

10 18. Para resolver a equação () = + (4), começamos por calcular (4) = = 3 1 = 3 ssim temos que () = + (4) () = + 3 () = 1 Ou seja, o valor que procuramos é a abcissa do ponto de interseção do ráico de com a reta de equação = 1. Como procuramos as soluções no intervalo [ 1 [, 1, repre- sentamos, na calculadora ráica, a restrição da unção a este intervalo e a reta de equação = 1, obtendo o ráico que se reproduz na iura ao lado. Depois, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas do ponto de interseção de dois ráicos, determinamos a abcissa do ponto de interseção, arredondado às décimas: 1 1,4 1,4 Teste Intermédio 1 o ano Observando iura dada podemos observar que a medida da altura do retânulo é dada pela ordenada do ponto,. Como os pontos e têm a mesma abcissa, temos que = ( ) = 3 ( ) 3 ( ) ( ) + 1 = = 9 9 = 1 base do triânulo é dada pelo valor absoluto da dierença das abcissas dos pontos C e D, ( C ), ou seja: C = C ( ) = C + abcissa do ponto C é a solução da equação () = 1, no intervalo [1, + [, porque os pontos e C têm ambos ordenada 1. Como procuramos a solução no intervalo [1, + [, representamos, na calculadora ráica, a restrição da unção a este intervalo e a reta de equação = 1, obtendo o ráico que se reproduz na iura ao lado. Depois, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas do ponto de interseção de dois ráicos, determinamos a abcissa do ponto de interseção, arredondado às centésimas: 1 1 C 3,8 C 3,8 ssim, calculando a área do retânulo e apresentando o resultado com arredondamento às centésimas, temos: [CD] = ( C ) = 1 ( C + ) 3,8 + 5,8 Teste Intermédio 1 o ano Páina 1 de 17

11 . Traçando na calculadora ráica o ráico da unção, no intervalo ],5] e a reta de equação = 6 podemos visualizar o ráico reproduzido na iura ao lado. ssim, as abcissas dos pontos e, também assinalados na iura ao lado, podem ser determinadas com aproimação às décimas, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos. s coordenadas são (,; 6) e (,8; 6), pelo que podemos calcular a distância, com aproimação às décimas, como o valor absoluto da dierença das abcissas: 6 =,8,,6,,8 5 Eame 8, Ép. especial 1. Traçando na calculadora ráica os ráicos das unções e numa janela compatível com o intervalo ] 1, + [ podemos visualizar o ráico reproduzido na iura seuinte. ssim, as abcissas dos pontos e, também assinalados na iura ao lado, podem ser determinadas com aproimação às décimas, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos. s coordenadas, aproimadas às décimas, são (,3;,3) e (,3;,3). Pela observação do ráico podemos observar que os pontos do ráico de têm ordenada maior que os pontos do ráico de, quando as respetivas abcissas estão compreendidos entre as abcissas dos pontos e, pelo que a solução da inequação () > (), no intervalo ] 1 [, +, é o conjunto ],3;,3[; loo os números,3 1,3,3 inteiros que pertencem a este intervalo, ou seja as soluções inteiras de inequação são:,3 1 =, = 1 e 3 = Eame 8, a Fase Páina 11 de 17

12 . Traçando na calculadora ráica os ráicos das restrições das unções e ao intervalo [,3] podemos visualizar o ráico reproduzido na iura seuinte. ssim, as coordenadas do ponto, também assinalado na iura ao lado, podem ser determinadas com aproimação às décimas, usando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados para as coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos, tendo sido obtidos os valores, arredondados às décimas, das coordenadas do ponto (1,4; 1,) O valor da abcissa do ponto, também representado na iura, pode ser determinado com recurso à unção da calculadora ráica que permite determinar valores aproimados para os zeros de uma unção. ssim, o valor, arredondado às décimas, da abcissa do ponto é, 1, 1,4 3 Loo a área do triânulo, também desenhado na iura, pode ser calculada usando o valor da abcissa do ponto,, como medida da base e o valor da ordenada do ponto,, como o valor da altura. ssim, calculando o valor arredondado às décimas da área do triânulo, temos: [O] =, 1, 1, Eame 8, 1 a Fase 3. O número total de indivíduos das duas populações, em unção do tempo, é dado pela soma dos indivíduos da estirpe (P ) e da estirpe (P ): N(t) = P + P = 5e, e,1155 ( t R ) + N Representando esta unção no intervalo [,7], na calculadora ráica, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. Depois, recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados do minimizante de uma unção num intervalo, obtemos o valor do minimizante com aproimação às milésimas:,16,16 7 ssim concluímos que o número mínimo de indivíduos das duas espécies oi atinido,16 dias após as zero horas do dia 1, do mês corrente. Como 1 dia = 4 horas,,16 dias são,16 4 = 5,184 horas. Desta orma, concluímos que o número mínimo de indivíduos no dia 3 ( dias depois do dia 1), pouco depois das 5 horas. Teste Intermédio 1 o ano Páina 1 de 17

13 4. Como o ponto P tem de coordenadas P (, ln ), podemos considerar a medida da base do retânulo, b = 5 e a altura a = ln, assim temos: = b a = (5 ) ln, [1,5] Representando a unção que dá a área do retânulo em unção de, na calculadora ráica, numa janela compatível com o domínio da unção, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado.,9 M 1,57 5 Depois, usando a unção da calculadora ráica que permite determinar valores aproimados das coordenadas de pontos de ordenada máima, obtemos valores, arredondados às décimas, do ponto M(,57;,9) (também representado na iura). ssim, quando o ponto P tem abcissa,57, a área do retânulo,9 é máima. Eame 7, 1 a Fase 5. Traçando a curva C e a reta r na janela de visualização indicada, visualizamos o ráicos reproduzidos na iura ao lado, onde também se assinalaram os pontos O, P e Q, e ainda o triânulo [OP Q]. s abcissa do ponto Q, Q,87, pode ser obtida com recurso à unção da calculadora para determinar valores aproimados de coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos. 7 5 r Q Pela observação do esboço do triânulo, podemos considerar a medida da base do retânulo, OP = e e a medida da altura será a distância do vértice oposto à reta que contém a base, ou seja, a abcissa do ponto ponto Q, Q,87, pelo que a área do triânulo, arredondada às décimas, é: e P C [OP Q] = OP Q e,87 1,,87 1 Teste Intermédio 1 o ano Como se pretende determinar os valores de, que satisazem a condição L() > 165, representamos na calculadora os ráicos da unção L e a reta de equação = 165, para valores positivos da unção L. iura ao lado reproduz os ráicos visualizados. Usando a unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos as abcissas, arredondadas às centésimas, dos pontos do ráico de L com ordenada 165, ,4 e 4,96 ssim, por observação do ráico, podemos concluir que o conjunto solução da inequação L() > 165 é o intervalo ]3,4; 4,96[, ou seja se o preço do azeite estiver compreendido entre 3,4 e e 4,96 e, o lucro esperado é superior a 165 e. 3,4 4,96 L Teste Intermédio 1 o ano Páina 13 de 17

14 7. Como a altura da bola é zero quando é pontapeada e no ponto onde caiu, a é com o zero da unção (dierente de zero). Traçando o ráico da unção h, por orma a permitir observar o ponto de abcissa positiva em que o ráico interseta o eio dos, visualizamos o ráico que se reproduz na iura ao lado. Depois, usando a uncionalidade da calculadora para determinar valores aproimados do zero de uma unção, obtemos o valor de a, arredondado às centésimas, 7,97 a 7,79 h Eame 5, a Fase (cód. 435) 8. epressão correta é a epressão da opção. Podemos rejeitar a opção porque no início de 197, (t = ), esta epressão dá um valor dierente de 4 para o número de lobos: P P () = 1 1 = 1 + e,5 1 + e = = 5 5 O que também podemos conirmar, traçando na calculadora o ráico da unção correspondente e calculando a ordenada do ponto de abcissa. t Podemos rejeitar a opção C porque, de acordo com este modelo o número de lobos irá ultrapassar um milhar, e atinir valores próimos de 1: 1 P lim t = 1 + e t 1 + e = = = 1 O que também pode ser observado na calculadora ráica, traçando o ráico da unção e a reta de equação = 1. t P Podemos rejeitar a opção D porque, de acordo com este modelo o número de lobos não será sempre crescente, o que pode ser veriicado com recurso à calculadora ráica, traçando o ráico da unção. t Eame 5, a Fase (cód. 435) Páina 14 de 17

15 9. Representando na calculadora a unção e também a unção () = 3 + ln(), numa janela compatível com o domínio da unção, obtemos o ráico representado na iura ao lado. O conjunto solução da inequação é o conjunto dos valores de, para os quais a imaem por é inerior ou iual à imaem por. Recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção dos dois ráicos, obtemos valores aproimados às centésimas das abcissas dos dois pontos de interseção,,15 e,7. Como o conjunto solução é um intervalo [a,b], temos que a,15 e b,,15,7 Eame 4, a Fase (cód. 435) 3. Traçando na calculadora os ráicos das unções e, no intervalo [,1; 1,8], obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. ssim, é possível observar que no intervalo deinido, para cada valor de, todos os pontos do ráico de têm ordenada superior aos pontos do ráico de, ou seja, [,1; 1,8], () > (),1 1,8 Loo, de acto, todo o número do intervalo [,1; 1,8] é solução da inequação () > (). Eame, Prova para militares (cód. 435) Páina 15 de 17

16 31. Traçando na calculadora os ráicos das unções e C, no intervalo correspondente ao domínio, [,1], obtemos o ráico reproduzido na iura seuinte. Para responder à questão 1, traçamos ainda a reta = 7,5, também reproduzida na iura, e podemos constatar que a concentração do medicamento 7,8 7,5 irá ultrapassar os 7,5 miliramas por litro de sanue, apenas no Carlos (a concentração no caso da na está sempre abaio dos 7,5 m/l). Depois, recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados do C máimo de uma unção num intervalo, obtemos o valor máimo da concentração, no caso do Carlos, arredondado às décimas de 7,8m/l, ou seja a concentração de medicamento, no sanue do Carlos irá ultrapassar em,3 m/l o limiar 1 em que pode desencadear eeitos secundários (,3 = 7,8 7,5). 7,4 11,4 1 t Para responder à questão, traçamos a reta = 1, também reproduzida na iura, e em seuida, utilizando a unção da calculadora que permite determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, determinamos o valor arredondado às décimas das abcissas dos pontos, onde cada uma das unções é decrescente e interseta a reta = 1: t 7,4 e t C 11,4 ssim, é possível concluir, que a na irá necessitar de tomar uma nova dose do medicamento, antes do Carlos. Mais concretamente, aproimadamente 4 horas antes (t C t 11,4 7,4 4). Eame, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) 3. No intervalo [,], a distância entre os pontos e, para cada valor de é dada por: = () + ( ()) = () () Ou seja para que = 5, procuramos a solução da equação h () () = 5 e ( ) = 5 ssim, representando na calculadora o ráico da unção h() = e ( ) no domínio [,] e a reta de equação = 5, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. 5 Depois, recorrendo à unção da calculadora para encontrar valores aproimados das coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos, determinamos o valor, arredondado às décimas, de para o qual a distância entre os pontos e é 5: Eame 1, Ép. especial (cód. 435) Páina 16 de 17

17 33. Como os pontos em que a ordenada é o quadrado da abcissa veriicam a condição =, temos que o ponto que procuramos é a interseção do ráico de, com o ráico da unção () =, ou seja, a abcissa do ponto é a solução da equação () = 3 ln = ssim, representando na calculadora os ráicos das unções e, numa janela compatível com o domínio de, obtemos o ráico reproduzido na iura ao lado. Depois, recorrendo à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas dos pontos de interseção de dois ráicos, obtemos o valor da abcissa do ponto procurado, arredondado às décimas:,3,3 34. Representando na calculadora, a unção c, numa janela que permita analisar a variação da concentração do medicamento nas primeiras horas, obtemos um ráico que se reproduz na iura ao lado. Eame 1, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) Traçamos ainda a reta de equação = 1, também reproduzida na iura, para determinar os valores de t (superiores a 1), em que o medicamento esteve a produzir eeito. 1 c Depois, com recurso à unção da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas de pontos de interseção de dois ráicos, obtemos os valores 1,6 e 5,9, como os valores de t que correspondem a uma concentração de 1 d/l, ou seja que o medicamento produziu eeito entre as 1,6 horas e as 5,9 horas. 1,6 5,9 t ssim, concluímos que o medicamento só começou a produzir eeito 1,6 horas depois de ter sido tomado (substancialmente mais do que a meia hora deinida para poder ser considerado bom), pelo que se conclui que não tem uma ação rápida. Por outro lado, podemos calcular que o eeito se vai prolonar por 4,3 horas (5,9 1,6 = 4,3), ou seja, menos que as 5 horas eiidas para ser considerado bom, pelo que podemos airmar que também não deve ser considerado eicaz. Eame, Prova modelo (cód. 435) 35. Representando na calculadora, a unção d, numa janela que permita visualizar o zero da unção, obtemos um ráico que se reproduz na iura ao lado. d Depois, com recurso à opção da calculadora para determinar valores aproimados dos zeros de uma unção, obtemos o valor 14, para a abcissa do ponto do ráico como ordenada nula. ssim, podemos concluir que o paraquedista demora 14 seundos a atinir o solo, após a abertura do paraquedas. 14 t Eame 1998, Prova para militares (cód. 135) Páina 17 de 17