FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0//0 Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é constituído por duas partes Caderno : 50 minutos (é permitido o uso de calculadora) Caderno : 40 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página / Versão

2 Caderno : 50 minutos (é permitido o uso de calculadora). O relógio da figura do lado marca :50 ( horas e 50 minutos). (0).. Após as :50, o ponteiro dos minutos descreveu o ângulo generalizado 0º, e parou (o relógio avariou). Que horas marca o relógio quando avariou? Sabemos que 0º, 0º 0º 80º. Assim, o ângulo generalizado 80º 0º, lados do ângulo de 0º. tem os mesmos Portanto, o ponteiro dos minutos deu duas voltas completas mais 0º, isto é, o relógio avançou horas e 0 minutos, pois a amplitude do ângulo entre dois números consecutivos (cinco minutos) 0. Logo, avariou nas :50 + 0:0 = 5:0 = :00, quer dizer, nas horas. é 0 º º (5).. Qual a amplitude, em radianos, do ângulo convexo (menor ângulo) formado pelos ponteiros quando o relógio parou? (A) (B) (C) (D) Como o relógio parou nas horas, o menor ângulo formado pelos seus ponteiros tem amplitude 40º 0º ou de 4 radianos. OPÇÃO C 4. Na figura seguinte estão representados dois triângulos, [ABC] e [ABD], tais que: AB, BC a e CA b; ˆ ADB e ACB ˆ 5º o triângulo [ABD] é isósceles; AD é a bissetriz do ângulo BAC; (0).. Recorrendo a uma altura adequada do triângulo [ABC], mostre que sen A a. sen B b Traçando a altura h CE, com E AB, do triângulo [ABC] em relação ao vértice C, obtemos dois triângulos retângulos. Assim, pela definção de seno temos: h h sen A e sen B b a Destas duas igualdades resulta, sen A ha a c.q.m. sen B hb b h b h a Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página / Versão

3 (0).. Sabendo que ABC ˆ 9º, determine o valor de b, com aproximação às unidades. sen B b Pela propriedade anterior temos (ou pela lei dos senos) sen 5º sen 9º b Assim, sen 5º sen 9º b b, 0... b (0 c.d.) sen 5º (5).. Sendo BAC ˆ, o que podemos dizer sobre cos? (A) cos cos (B) cos cos (C) cos sen (D) cos sen Como o triângulo [ABD] é isósceles e AD é a bissetriz do ângulo BAC ˆ sabemos que: ABD ˆ BAD ˆ. Assim, 80º 80º 80º Portanto, 80 cos cos º cos OPÇÃO A (5). Resolva, em, a equação: sen x cos x Temos: sen x cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 4 cos x 9 cos x 4 cos x 4 4 cos x cos x 4 4 cos x cos x x k x k,k Expressão geral das soluções da equação 4. No referencial ortonormado Oxy da figura do lado, estão representados: a circunferência trigonométrica; os pontos A, B e D que pertencem à reta de equação x ; o trapézio [OABC]; o ângulo orientado AOC, tal que 0,. (0) 4.. Indique as coordenadas dos pontos C e D para. Como estamos no círculo trigonométrico, quando as coordenadas do ponto C são cos, sen =,. Como o ponto D está no eixo das tangentes, reta de equação x, as suas coordenadas são,tan =,. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página / Versão

4 (5) 4.. Qual das expressões seguintes representa o perímetro do trapézio [OABC], para? (A) (B) Quando temos C,, pelo que; OA OC r, Assim, (C) 5 CB xb xc, AB y C (D) Perímetro OABC OA CB AB OPÇÃO D (5) 4.. Mostre que a área do trapézio [OABC], em função de, é dada por: sen cos sen base BASE Como Áreatrapézio altura, temos ÁreaOABC em que C cos,sen OA CB AB,, OA r, CB xb xc cos, AB yc sen cos Assim, ÁreaOABC sen = cos = sen cos sen c.q.m. sen = sen cos sen 5. Na circunferência do lado está inscrito um triângulo [ABC]. A circunferência tem raio r e o ângulo ACB tem radiano de amplitude. (5) 5.. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB? (A) 90 (B) 80 (C) 0 (D) 0 Como o ângulo inscrito tem metade da amplitude do arco correspondente sabemos que o arco AB tem radianos de amplitude. Sendo rad 80º, temos 80º rad, logo 80 0º rad OPÇÃO D (5) 5.. Sabendo que BC e AC 4, determine a medida do lado AB, com aproximação às centésimas. Da lei dos cossenos sabemos que: AB 4 4 cos C AB 4 cos AB Como AB 0 temos AB 0 cos, 9..., ( c.d.) 0 cos Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 4/ Versão

5 Caderno : 40 minutos (não é permitido o uso de calculadora). Considere a expressão B (5).. Calcule B. cos tan, para k, k. sen Precisamos de conhecer cos, sen e tan 5 Temos: Portanto, cos cos cos sen tan sen tan B (5).. Mostre que B Temos B = = cos tan sen = = cos. = = cos sen cos tan = sen sen cos sen cos sen = sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen = c. q. m. cos cos = sen (5).. Determine B, sabendo que sen Para calcular B temos de conhecer cos. Sabemos que sen Assim, cos Como.º Q, temos cos Portanto, 5 s en 4 cos B cos 5 5 e, s en, pelo que.º Q 5 cos 9 cos 5 9 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 5/ Versão

6 . Considere a função f, real de variável real, definida por: f x tan x sen x sen x (5).. Mostre que f x tanx. Simplifiquemos a expressão dada: f x tan x sen x sen x = tanx sen x cos x = tanx = tan x sen x cos x c.q.m. (5).. Determine o domínio de f. Usemos a expressão simplificada: f x tanx Sabemos que a tangente não está definida para k, k. Assim, Df x : x k, k = x : x k, k Portanto, \ k, k (5).. Justifique que f é uma função periódica e determine o seu período positivo mínimo. f é periódica de período P x Df, x PDf f x P f x x Df, f x P f x x Df, tan x Ptanx x Df, tanx P tanx Como o período da função tangente é, e P é o menor valor positivo para o qual a proposição anterior é verdadeira, terá que ser P, pelo que, P. Logo f é periódica de período, e para x k temos x P k k Portanto, se x Df então x Df, pois se k também k x (5).4. Indique o conjunto solução da condição: f 0 0 x (A) (C), 4, 4 (B) (D),, 4 4 0,, 4 4 x x Temos: f 0 0 arc sen x tan 0 0 x tan x 0 x tan x 0 x OPÇÃO A Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página / Versão

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