BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 12. O ANO

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1 BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A. O ANO DOMÍNIO: Funções reais de variável real. Seja g a função, de domínio,, representada graficamente na figura ao lado, e seja u a sucessão definida por. n Qual é o valor de lim gu? (A) (B) 0 (C) (D) n n. Calcula lim sin. Na tua resposta, utiliza o teorema das funções enquadradas. y,, k,, k.. Seja s a reta de equação Sabe-se que a reta s é tangente ao gráfico de uma função, f, no ponto de abcissa.. Qual é o valor de f? (A) (B) (C) (D). Qual é o valor de f? (A) (B) (C) (D) Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

2 4. Na figura seguinte, está representada graficamente f, a segunda derivada de uma função f, de domínio,. Os zeros da função f são,, e. Seja f a primeira derivada de f. 4. Qual das proposições seguintes é verdadeira? (A) A função f é crescente no intervalo,. (B) A função f é crescente no intervalo, 0. (C) A função f é decrescente no intervalo 0,. (D) A função f é decrescente no intervalo,. 4. Qual das proposições seguintes é verdadeira? (A) A concavidade do gráfico de f é voltada para cima no intervalo,. (B) A concavidade do gráfico de f é voltada para cima no intervalo, 0. (C) A concavidade do gráfico de f é voltada para baio no intervalo 0,. (D) A concavidade do gráfico de f é voltada para baio no intervalo,. 4. Quantos pontos de infleão tem o gráfico da função f? (A) (B) (B) (B) 4 5. Determina uma epressão analítica da segunda derivada de cada uma das funções, reais de variável real, definidas por: 5. f 5. g Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

3 6. Seja g a função definida, em 0, por g 9 Estuda a função g quanto à eistência de assíntotas ao seu gráfico. Na tua resposta, apresenta as equações das assíntotas, caso eistam. 7. Considera a função f definida, em 0,, por f O gráfico da função f tem eatamente um ponto de infleão.. 7. Mostra, utilizando o teorema de Bolzano-Cauchy, que a abcissa desse ponto de infleão pertence ao intervalo 0,4; 0,5. 7. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a abcissa do ponto de infleão. Na tua resposta: - equaciona o problema; - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualidado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; - apresenta o valor pedido arredondado às centésimas. 8. Na figura ao lado, estão representadas graficamente a função f, polinimial, definida por f 5, e a reta t, tangente ao gráfico de f no ponto B. A reta t também interseta o gráfico de f no ponto A, de abcissa. Determina as coordenadas do ponto B. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

4 9. Determina a área do retângulo de maior área inscrito na elipse de equação cujos lados são paralelos aos eios da elipse. y, 9 4 DOMÍNIO: Trigonometria e funções trigonométricas 0. A equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f, de domínio, definida por sin f, no ponto de abcissa é: (A) y (B) y (C) y (D) y. A função derivada de uma função f, de domínio, é definida por cos f. Qual das seguintes epressões pode definir a função f? (A) f sin cos (B) f sin (C) f sin cos (D) f sin. Qual é o valor de lim f 6 6 4? (A) (B) (C) (D) Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

5 . Seja h a função definida, no seu domínio de eistência, por h. O domínio da função h é: (A) : k, k (B) : 0 k, k tan. (C) (D) :, k k : 0, k k. Uma epressão analítica da função derivada de h é: (A) h (C) h tan (B) h cos (D) h tan cos. Na figura ao lado, estão representados, em referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função real de variável real f, definida por cos, e o trapézio f ABCD, cujos vértices são os pontos de infleão do gráfico de f, cujas abcissas pertencem ao intervalo,. Determina a área do trapézio ABCD. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

6 4. Seja g a função, de domínio, definida por: g sin se 0 se 0 4 se 0 4. Averigua se a função g é contínua em Averigua se a função g é diferenciável em 0. Em caso afirmativo, indica o valor de g Estuda a função g quanto à eistência de assíntotas horizontais ao seu gráfico. 4.4 Sabe-se que função g tem um máimo relativo no intevalo4,5. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor desse máimo relativo. Na tua resposta: - determina uma epressão da função derivada da função g ; - equaciona o problema; - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualidado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; - justifica que se trata de um máimo relativo; - apresenta o valor pedido arredondado às centésimas. DOMÍNIO: Funções eponenciais e funções logarítmicas 5. Seja k um número real tal que a sucessão u n, definida por igual a e. u n n n k, tem limite n Qual é o valor de k? (A) (B) (C) (D) Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

7 6. Foram aplicados 800 euros numa aplicação financeira com regime de juro composto à taa semestral de %. Qual das seguintes epressões dá o capital acumulado ao fim de n anos? n (A) n (C) n (B) n (D) Seja a o número real tal que a log7 9. Qual é o valor de 49 a? (A) 8 (B) 79 (C) 8 (D) 8 8. Seja b um número real positivo. 5 b? Qual das seguintes epressões é equivalente a log log 5b 5 5 (A) log5 b (B) log5 b (C) log5 b (D) log5 b 9. Qual dos seguintes limites é finito? (A) lim e e (B) lim (C) lim e (D) lim e 0. Qual é o domínio da função real de variável real, f, definida por (A), 0, (B), 0 (C),0, (D) 0, f log? Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

8 . Na figura ao lado, estão representados, em referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função real de variável real h, definida por 4, e o triângulo h ABO, em que A e B são os pontos de interseção do gráfico de h com os eios coordenados. Determina o perímetro do triângulo ABO.. Na figura ao lado, estão representadas graficamente, em referencial o.n. Oy, as funções f e g, reais de variável real, definidas por f log e g log 4. Os pontos A e B são os pontos de interseção dos gráficos de f e g.. Determina o domínio de eistência de cada função.. Determina o zero da função f.. Estudas as funções f e g quanto à eistência de assíntotas ao seu gráfico. Na tua resposta, apresenta as equações das assíntotas, caso eistam..4 Determina a distância entre os pontos A e B.. Seja h a função, de domínio, definida por: h e. Averigua se a função h é contínua em 0. se 0 se 0. Estuda a função h quanto à eistência de assíntotas ao seu gráfico. Na tua resposta, apresenta as equações das assíntotas, caso eistam. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

9 4. Na figura ao lado, estão representados, em referencial o.n. Oy : as funções f e g, de domínio, definidas por 4 f e e g e ; o triângulo ABC, em que A e B são os pontos de interseção dos gráficos de f e g com o eio das abcissas e C é o ponto de interseção dos gráficos. Determina a área do triângulo ABC. 5. Seja g a função, de domínio definida por f 4., definida por g ln e seja f a função quadrática O domínio da função g f é: (A), (C), (B),, (D),, 6. Qual é o valor de lim e 9? (A) (B) (C) 6 (D) 9 7. Seja g a função, de domínio, definida por g. 7. Mostra, recorrendo ao teorema de Lagrange, que eiste um ponto do intervalo 4, em que a derivada da função g é nula. 7. Mostra, recorrendo o teorema de Bolzano-Cauchy, que a equação g tem uma solução no intervalo 0,. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

10 7. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a solução da equação 0,, que se sabe ser única. g no intervalo Na tua resposta: - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; - apresenta o valor pedido arredondado às centésimas. 7.4 Sabe-se que o gráfico da função g tem uma única reta tangente com declive no intervalo 0,. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a abcissa do ponto de tangência dessa reta. Na tua resposta: - equaciona o problema; - reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; - apresenta o valor pedido arredondado às centésimas. 8. Uma chávena de café foi servida a um cliente de um restaurante à temperatura de 80C. A temperatura ambiente da sala do restaurante onde o café foi servido era 0 C. Sabe-se que a epressão que dá a temperatura do café em função do tempo, em minutos, decorrido desde que foi servido ( t 0 ) é da forma: bt T t T ae, a, b A Sabe-se que, 0 minutos depois de o café ter sido servido, a sua temperatura passou a ser 45 C. Determina os valores das constantes a e b. Apresenta o valor de b com arredondado às milésimas. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

11 9. Na figura seguinte, estão representados, em referencial o.n. Oy : parte do gráfico da função f, real de variável real, definida por f ln a reta t, tangente ao gráfico de f no ponto P, de abcissa a, com a 0 ; ; o triângulo PQR, sendo a reta PQ paralela ao eio O e o vértice R o ponto de interseção da reta t com o eio das ordenadas. a Mostra que o valor da área do triângulo PQR é igual a, para qualquer a 0. Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

12 SOLUÇÕES Funções reais de variável real. (D). 0. (B). (B) 4. (C) 4. (C) 4. (A) 5. f 5. f 4 ² 6. O gráfico da função g tem apenas uma assíntota (oblíqua) de equação y. 7. 0, 48 8., 8 9. Trigonometria e funções trigonométricas 0. (D). (A). (C). (D). (A) g é contínua em g é diferenciável em 0 g 0. ; 4. O gráfico de g tem duas assíntotas 4 horizontais de equações e ,04 Funções eponenciais e funções logarítmicas 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (C) 9. (A) 0. (A) D, ; D,4 f.. O gráfico de f tem uma assíntota vertical de equação e o gráfico de g tem uma assíntota vertical de equação A função h é contínua em 0.. O gráfico de h tem duas assíntotas horizontais de equações 0 e e. 5. (B) 6. (C) 7.. 0, ,57 8. a 60 e b 0,088. g Matemática A. o ano Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.