TEMA 2 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 2 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess

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1 FICHAS DE TRABALHO.º ANO COMPILAÇÃO TEMA FUNÇÕES Site: Facebook: TEMA FUNÇÕES Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções 06 07

2 . (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema.º Ano 06 07) Na figura está representada, em referencial o.n. O, parte do gráfico da função f, de domínio f a a e com 0 a., definida por B A O C Sabe-se que: A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eio das ordenadas o ponto B pertence ao gráfico de f e tem abcissa o ponto C é a projecção ortogonal do ponto B sobre o eio das abcissas Sabendo que a que a área do trapézio OABC é ee determine o valor de a. Proposta de Resolução aqui: (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema.º Ano 06 07) O canal MathSuccess no Youtube é um sucesso. Os dados relativamente aos primeiros dois meses de funcionamento do canal permitem estabelecer uma relação aproimada entre o número de semanas t, decorridas desde o dia de lançamento do canal e o número de visualizações V. Essa relação é dada pelo seguinte modelo matemático: V t a b t, com, ab e t 0 Sabe-se que a razão entre o número total de visualizações, a cada duas semanas, é sempre igual a quarta semana o canal já tinha 0000 visualizações. 0 e que na V t 0. 30,5t.. Mostre que Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções 06 07

3 .. Determine o número de semanas necessárias para que o canal atinja um total de um milhão de visualizações..3. Considere agora que t. Determine o conjunto solução da inequação V t t t 4 5. Proposta de Resolução aqui: 3. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 3 Tema.º Ano 06 07) Sejam a, b e c três números reais positivos e considere a epressão c log a b. 3.. Se clog b 0 então a epressão a ab log b 3 a é igual a: A 3 B 3c C 3c 3 D 3c 4 3c 3.. Considere que c e que clog b log 4. a a Qual é o valor de a 4 b? A 4 B 8 C D 6 c 3.3. Suponha que clog a b. c, n. a n n 3 Mostre que log n b log n b n a Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

4 4. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 4 Tema.º Ano 06 07) Considere as funções f e g, definidas em por f log e g ln. 4.. Mostre que f g log e log e log. 4.. Considere num referencial o.n. O, as representações gráficas das funções f e g. Sejam A e B pontos do eio O cujas abcissas são, respetivamente, os zeros de f e g. Considere um ponto C que se desloca sobre o gráfico de g. Eistem duas posições do ponto C para as quais a área do triângulo ABC é. Mostre que o produto das abcissas do ponto C, para cada uma das referidas posições, é igual a. Proposta de Resolução aqui: 5. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 5 Tema.º Ano 06 07) Considere as funções f e g, definidas, respectivamente, em e,, por f e e g ln. 5.. Considere as seguintes afirmações: I. O domínio da função h, definida por h é, \ e g II. A função f é estritamente crescente em,0.. III. A equação g ln f e tem duas soluções. IV. 5 4 pertence ao conjunto solução da inequação g f. Indique opção correta: A Apenas I e IV são verdadeiras. B Apenas II é verdadeira. C Apenas III e IV são verdadeiras. D Apenas IV é verdadeira. Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

5 5.. Determine o conjunto solução da inequação g ln 3 g 8 Proposta de Resolução aqui: 6. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 6 Tema.º Ano 06 07) Numa associação recreativa fundada por três sócios em de Janeiro de 009, verificou-se que, nos primeiros oito anos, o número de sócios duplicava a cada ano. Admita que o número de sócios da associação é dado, em função de t, em anos, por uma função do tipo: t, t 0,8 s t a b 6.. Determine o valor de a e de b. 6.. Em que ano a associação atinge os 96 sócios? 6.3. Na mesma localidade eiste uma outra associação que oferece o mesmo tipo de serviços recreativos. A eistência das duas associações fez com que esta, a partir de de Janeiro de 009, perdesse dois terços dos seus sócios a cada ano. Sabe-se que esta associação tinha 648 sócios no dia de Janeiro de 009. Quantos anos terão de passar até que as duas associações fiquem com o mesmo número de associados? Que número foi esse? Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

6 7. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 7 Tema.º Ano 06 07) Na Figura está representada, em referencial o.n. O, parte do gráfico de uma função f, de domínio. Tal como a figura sugere, as retas de equações 3 e são assimptotas do gráfico da função f. O 3 f 7.. Seja n uma sucessão tal que n f. Qual das opções seguintes pode ser termo geral da sucessão? n A 6n n B 3 C n 3n n D 3n n 7.. Determine f e. Proposta de Resolução aqui: 8. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 8 Tema.º Ano 06 07) Sejam f e g duas funções polinomiais, de domínio, de grau 3 e de grau respectivamente. Sabe-se que: f e g não têm zeros em comum e f 0 f é estritamente crescente e g 0, Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

7 8.. Qual é o valor de f g? g f A 0 B C 3 D 8.. Em qual das opções seguintes pode estar valor de f g 5? A B C 0 D 8.3. Qual é o valor de f f g? A B C D Qual é o valor de g g? f A 0 B C D Proposta de Resolução aqui: 9. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 8 Tema.º Ano 06 07) Seja f uma função de domínio definida por: e se e f se ln se 9.. Verifique que eiste f. 9.. Determine: a) f b) f Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

8 0. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 0 Tema.º Ano 06 07) Na figura está representada, em referencial o.n. O, parte do gráfico de uma função f, polinomial do.º grau. Seja g a função de domínio g ln e ln., definida por f O 0.. Determine g e? 0.. Considere a função composta g f Qual é o valor de g f? A B C e D e 0.3. Em qual das opções seguintes pode estar valor de 0 f g? A B C D 3 Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

9 . (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema.º Ano 06 07) Na figura está representada, em referencial o.n. O, parte do gráfico de uma função f, de domínio. f O Tal como a figura sugere, as rectas de equações e 0 são as únicas assintotas do gráfico de f. Considere a função g, contínua em, definida por: g f se e se kln, com k \ 0.. Qual o valor de k?.. Mostre que a equação g 3 tem pelo menos uma solução no intervalo 0,..3. Determine g f f. Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

10 . (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º Tema.º Ano 06 07) Numa região A o crescimento populacional é dado por uma função logística P que relaciona o tempo t, em meses, que decorrem a partir do instante inicial, com o número de indivíduos. A função P é definida por: Pt 000 bt ae, com a e b constantes reais e t 0 Sabe-se que no instante inicial eistiam 00 indivíduos na população e após o primeiro ano esse número triplicou... Determine os valores de a e b. Utilize arredondamentos a duas casas decimais... Averigue se durante o terceiro ano eiste algum instante 0 t em que se tenha Pt 00ln t. 0 0 Resolva por processos eclusivamente analíticos, a calculadora pode ser utilizada para efectuar cálculos numéricos..3. A função logística que dá o número de indivíduos de uma região B tem os mesmos parâmetros que a função logística da região A, sendo que a única diferença é que a função da região B obtém-se multiplicando P por uma contante real k. Sabe-se que com o passar do tempo, o número de indivíduos da região B tende a estabilizar em torno de 500. Qual o valor de k? Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

11 3. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 3 Tema.º Ano 06 07) Seja f uma função de domínio \ 0, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: f é uma função ímpar f f Das opções abaio apenas uma pode representar parte do gráfico da função f. Numa pequena composição indique a opção onde pode estar representado o gráfico da função f e apresente, para cada uma das restantes opções, uma razão para rejeitar o gráfico dessa opção. AI BI O O CI DI O O Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções 06 07

12 4. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 4 Tema.º Ano 06 07) Seja f a função de domínio, definida por: f ln se 0 se Estude, para 0, eistam, as coordenadas do(s) ponto(s) de infleão. 4.. Sejam a, b e c três números reais. Num referencial o.n. O, as rectas de equações de f. Determine os valores de a, b e c., a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e determine, caso a, b e c representam as assimptotas do gráfico 4.3. Seja r a recta paralela ao eio O e tangente ao gráfico de f num ponto A. A recta r intersecta o gráfico de f num outro ponto B. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora determine a área do triângulo AOB, onde O representa a origem do referencial. Utilize arredondamentos a duas casas decimais. Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções 06 07

13 5. (Eercício n.º Ficha de Trabalho n.º 5 Tema.º Ano 06 07) Considere uma função f de domínio parcialmente representado na figura:, cujo gráfico da sua segunda derivada, f, também de domínio, está f O Tal como a figura sugere, f 0,. Relativamente a f, primeira derivada da função f, sabe-se que: 0 f f 5.. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e eistência de pontos de infleão do seu gráfico. 5.. Estude a função f quanto à monotonia e eistência de etremos Justifique que a função f tem um mínimo absoluto sendo esse o seu único etremo. Proposta de Resolução aqui: Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

14 Solucionário. a.. Doze semanas.3., 0, 3.. B 3.. D 5.. D 5..,5 6.. a 3 e b 6.. Cinco anos 6.3. Três anos; 4 sócios 7.. C B 8.. D 8.3. A 8.4. D 9.. Sim, os ites laterais no ponto são iguais. 9.. a) b) A 0.3. A.. k.3... a 9 e b 0,.3. k,5 3. B 4.. Para 0,, o gráfico de tem a concavidade voltada para baio em 3 0,e e as coordenadas do ponto de infleão são em e 4.. a, b e c A 0,46 AOB e 3 e em e 3 3, 3 3 e,, tem a concavidade voltada para cima em. 5.. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em e não tem pontos de infleão. 5.. f é estritamente crescente em e não tem etremos relativos. Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema Funções

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