Exercícios de exames e provas oficiais

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1 Eercícios de eames e provas oficiais 1. Considere as funções f e g, de domínio,0, definidas por ln 1 e g f f Recorrendo a processos eclusivamente analíticos, mostre que a condição pelo menos, uma solução em e, 1 f e tem, Eame 65, ª fase, 014. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio, definida por f ke. O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,1. A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k? (A) e, e (B),0 e (C) 0, e (D),1 e Eame 65, 1ª fase, 014. Considere a função f, de domínio, definida por f 4 e 11 se ln e e se 4 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua em 4. Eame 65, 1ª fase, Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio, definida por se 0 1 e f ln k se 0 6 ln se 0 1 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que lim f f 0. 0 Eame 65, Época Especial, 01 1 / 1

2 5. Seja f uma função de domínio e,1 Sabe-se que: f é contínua no seu domínio; f e 1 f 1 e Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeiramente? (A) A equação f 1 0 tem pelo menos uma solução em e,1 (B) A equação f e tem pelo menos uma solução em e,1 (C) A equação f 0 tem pelo menos uma solução em e,1 (D) A equação e f tem pelo menos uma solução em e,1 Eame 65, ª fase, Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio aa Sabe-se que f a f a e f a f 0 Mostre que a condição f f a tem, pelo menos, uma solução em a,0,. Eame 65, 1ª fase, Considere a função f, de domínio, definida por 1 e 1 se 1 f 1 ln se 1 Seja g uma outra função, de domínio. Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1. Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g? / 1

3 (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio, Seja f a função, de domínio, definida por f 9 ln 11 4 se 4 se 4 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se eiste lim f 4. Teste Intermédio, Considere a função f, de domínio, definida por sin se k 1 f 1 e se e se 0 com k Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que lim f f 0. 0 Eame 65, ª fase, 01 / 1

4 10. Seja f uma função de domínio, definida por f e. Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f tem, pelo menos, uma solução? (A) 1 0, 5 (B) 1 1, 5 4 (C) 1 1, 4 (D) 1,1 Eame 65, 1ª fase, Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função g, de domínio 1 a,, com a. Para esse valor de a, a função f, contínua em definida por, é f 1 log se a g se a Qual é o valor de a? (A) 8 (B) 5 (C) 19 (D) 8 Eame 65, 1ª fase, Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que: têm domínio, são funções contínuas f g 0 e f g 0 Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto. (B) A função f g é crescente. (C) Os gráficos de f e g não se intersetam. (D) A função f g é decrescente. Teste Intermédio, / 1

5 1. Seja f a função de domínio, definida por Averigue se a função f é contínua em. e e se f e ln 1 se Teste Intermédio, Para um certo valor de e para um certo valor de, é contínua no ponto 0 a função g, definida por g e 1 se 0 se 0 ln 1 se 0 Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) 1 e (B) e (C) 1 e (D) e 1 Teste Intermédio, Seja f a função, de domínio Seja g a função, de domínio f log., definida por, definida por g f. Mostre, sem recorrer à calculadora, que c g c 1, : 5 Teste Intermédio, Considere a função f, de domínio, definida por 1 1 se 1 1 f 1 e (a é um número real) a se 1 Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, determine a sabendo que f é contínua em 1. Eame 65, Época Especial, / 1

6 17. Considere a função f, de domínio 0,, definida por f e 1 1 ln 1 se 0 se Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que 1 f tem, pelo menos, uma solução em 0,. Eame 65, ª fase, Seja f uma função de domínio 0,, definida por 9 se 0 5 f 1 e se 5 Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a eistência de, pelo menos, um zero da função f? (A) 0,1 (B) 1,4 (C) 4,6 (D) 6,7 Eame 65, 1ª fase, Seja f uma função, de domínio, contínua no intervalo 1,4 Tem-se f 1 e f 4 9. Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio, para a qual o teorema de Bolzano garante a eistência de pelo menos um zero no intervalo 1,4? (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f Teste Intermédio, / 1

7 0. Consider a função g, de domínio, definida por g Considere a sucessão de termo geral Qual é o valor de lim gu n n? u n e se 0 ln se 0 1. n (A) (B) 1 (C) 0 (D) Eame 65, ª fase, Consider a função f, de domínio, definida por 1 f e. Mostre que f 1,5 tem, pelo menos, uma solução em, 1. Resolva este eercício recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. Eame 65, ª fase, 010. Seja g uma função contínua, de domínio. Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função g? (A) 0, (B) (C) (D) \ 0 Teste Intermédio, Seja a um número real diferente de zero. a e 1 Qual é o valor de lim? 0 a a (A) 1 a (B) 1 a (C) 0 (D) Teste Intermédio, / 1

8 4. Consider a função h, de domínio, definida por h 4 se 0 se 0 e 1 se 0 Estude a continuidade de h no domínio, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 65, ª fase, Considere a função g, de domínio, definida por g e ln. Mostre, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,1;0,. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos. Eame 65, 1ª fase, Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por Calcule 0,t te t 0 C t limct e interprete esse valor no conteto da situação apresentada. Resolva a questão recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 65, 1ª fase, Considere a função g, de domínio 1,, definida por g 1 ln 1 se 1 se 1 1 se 1 1 Verifique se a função g é continua em 1, sem recorrer à calculadora. Teste Intermédio, / 1

9 8. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de 0,0t observação, é dada pelo modelo matemático M t 15 e, t 0. Resolva, usando métodos analíticos. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as horas e 0 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra da substância radioativa atingiu os 14 gramas. Eame 65, ª fase, Seja h a função de domínio 1,, definida por h 4 ln 1 (ln designa logaritmo de base e) Resolva, usando métodos analíticos.. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais. Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo 5,6. Eame 65, 1ª fase, Seja f uma função de domínio, continua no intervalo, Tem-se f 1 e f Indique qual das epressões seguintes define uma função g, de domínio, para a qual o Teorema de Bolzano garante a eistência de pelo menos um zero no intervalo,. (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f Teste Intermédio, / 1

10 1. Seja f uma função de domínio,, definida por e 1 se 0 f ln 1 se 0 Na figura está representado o gráfico da função f. Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de f de ordenada máima a abcissa do ponto A é positiva Utilizando métodos eclusivamente analíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é contínua no ponto 0. Teste Intermédio, Identifique o valor de lim 4 (A) 0 (B) 1 (C) (D) Eame 65, 1ª fase, 007. Considere a função f, de domínio, definida por se 0 f se 0 ln 1 se 0 (ln designa logaritmo de base e) Utilizando métodos eclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 0. Justifique a sua resposta. Teste Intermédio, Considere, num referencial o.n. Oy, a curva C, que representa graficamente a função f, de domínio 0,1, definida por f e e a reta r, de equação y 5. Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r interseta a curva C em pelo menos um ponto. Teste Intermédio, / 1

11 5. Seja f : 0, uma função contínua tal que f 0 f 0 e Prove que eiste pelo menos um número real c no intervalo f 1 0 0,1 tal que f c f c 1 Sugestão: considere a função f : 0,1, definida por g f f 1 Eame 65, ª fase, Na figura estão representadas, em referencial o.n. Oy, partes dos gráficos de duas funções, f e g, contínuas em. Tal como a figura sugere, nenhum dos gráficos interseta o eio O; os gráficos de g e de f intersetam o eio Oy nos pontos de ordenadas 0,5 e, respetivamente. A penas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas? (A) f g 0 (B) f g 0 (C) f g 1 (D) f 1 g Eame 65, 1ª fase, Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte eperiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deiou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da eperiência. Admita que: neste laboratório, a temperatura ambiente é constante; a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente. Em resultado da eperiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções, a, b, c e d, definidas por: 4 t se 0 t 5 0,04t5 a 4 10e se 5 b 1 t se 0 t 5 0,04t e se 5 11 / 1

12 c 14 t1 se 0 t 5 0,04t5 4 60e se 5 Qual das quatro funções é a correta? d 1 t se 0 t 5 0,04t e se 5 Numa pequena composição, eplique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, eplicando a sua inadequação, relativamente à situação descrita. Teste Intermédio, Bom trabalho!! 1 / 1

13 Principais soluções 1.. (B). Não é contínua 4. k e 5. (D) (A) lim f k ln (B) 11. (A) 1. (A) 1. f é contínua em 14. (B) a (B) 19. (D) 0. (D) 1.. (D). (A) 4. A função é continua em É continua em (A) 1.. (D). f é contínua em (A) 7. d 1 / 1