Exercícios de exames e provas oficiais

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1 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao Eercícios de eames e provas oficiais. Cosidere as sucessões covergetes a e a b de termos gerais e b l e Sejam a e b os úmeros reais tais que a lima e b limb Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) a e e b 0 (B) (C) a e e b (D) a a e e b 0 e e b matemática A º ao, eame 65, época especial, 06. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f l Cosidere a sucessão de termo geral u e Qual é o valor de lim f u? (A) (B) 0 (C) e (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, 06. Para um certo úmero real k, é cotíua em a fução f defiida por Qual é o valor de k? k e se 0 f l se 0 (A) 0 (B) (C) l (D) l matemática A º ao, eame 65, ª fase, O José e o Atóio são estudates de Ecoomia. O José pediu emprestados 600 euros ao Atóio para comprar um computador, tedo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mesais sujeitas a um certo juro. Para ecotrarem as codições de pagameto do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tiham estudado e estabeleceram um cotrato. Nesse cotrato, a prestação mesal p, em euros, que o José tem de pagar ao Atóio é dada por 600 p e 0 / 4

2 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao em que é o úmero de meses em que o empréstimo será pago e é a taa de juro mesal. Recorredo a métodos aalíticos, determie resultado o coteto da situação descrita. 600, em fução de, e iterprete o e lim 0 matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja g uma fução cotíua, de domíio, tal que: para todo o úmero real, g g para um certo úmero real a, tem-se ga a Mostre que a equação g é possível o itervalo a,ga matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja a um úmero real diferete de 0. a ae a Qual é o valor de lim? a a (A) 4 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosidere as sucessões u e u k ( é um úmero real) e Sabe-se que limu limv Qual é o valor de k? v de termos gerais v l (A) (B) (C) e (D) e matemática A º ao, eame 65, ª fase, 06 / 4

3 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 8. Seja f a fução, de domíio, defiida por f e e se l se Mostre que a equação f é possível em,e e, utilizado a calculadora gráfica, determie a úica solução desta equação, este itervalo, arredodada às cetésimas. Na sua resposta: recorra ao teorema de Bolzao para provar que a equação f tem, pelo meos, uma solução o itervalo,e ; reproduza, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) que visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s); apresete a solução pedida. matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosidere as fuções f e g, de domíio,0, defiidas por l e g f f Recorredo a processos eclusivamete aalíticos, mostre que a codição pelo meos, uma solução em e,. f e tem, matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosidere, para um certo úmero real k, a fução f, de domíio, defiida por f ke. O teorema de Bolzao garate que a fução f tem, pelo meos, um zero o itervalo 0,. A qual dos itervalos seguites pode pertecer k? (A) e, e (B),0 e (C) 0, e (D), e matemática A º ao, eame 65, ª fase, 04 / 4

4 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f 4 e se l e e se 4 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a fução f é cotíua em 4. matemática A º ao, eame 65, ª fase, 04. Cosidere, para um certo úmero real k positivo, a fução f, de domíio, defiida por se 0 e f l k se 0 6 l se 0 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, determie k de modo que lim f f 0. 0 matemática A º ao, eame 65, época especial, 0. Seja f uma fução de domíio e,. Sabe-se que: f é cotíua o seu domíio; f e ; f e. Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeiramete? (A) A equação f 0 tem pelo meos uma solução em e, (B) A equação f e tem pelo meos uma solução em e, (C) A equação f 0 tem pelo meos uma solução em e, (D) A equação e f tem pelo meos uma solução em e, matemática A º ao, eame 65, ª fase, 0 4. Cosidere, para um certo úmero real a positivo, uma fução f, cotíua, de domíio aa Sabe-se que f a f a e f a f 0. Mostre que a codição f f a tem, pelo meos, uma solução em a,0.,. matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

5 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 5. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Seja g uma outra fução, de domíio. Sabe-se que a fução f e se f l se g é cotíua o poto. Em qual das seguites quatro opções pode estar represetada parte do gráfico da fução g? (A) (B) (C) (D) matemática A º ao, teste itermédio, Seja f a fução, de domíio, defiida por f 9 l 4 se 4 se 4 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se eiste 4 lim f. matemática A º ao, teste itermédio, / 4

6 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 7. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por si se 0 k f e se 0 4 e se 0 com k Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, determie k de modo que lim f f 0. 0 matemática A º ao, eame 65, ª fase, 0 8. Seja f uma fução de domíio, defiida por f e. Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite afirmar que a equação f tem, pelo meos, uma solução? (A) 0, 5 (B), 5 4 (C), 4 (D), matemática A º ao, eame 65, ª fase, 0 9. Na figura, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução g, de domíio a,, com a. Para esse valor de a, a fução f, cotíua em defiida por f log se a g se a Qual é o valor de a? (A) 8 (B), é 5 (C) 9 (D) 8 matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

7 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 0. Relativamete a duas fuções, f e g, sabe-se que: têm domíio, são fuções cotíuas f g 0 e f g 0 Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) Os gráficos de f e g itersetam-se em pelo meos um poto. (B) A fução f g é crescete. (C) Os gráficos de f e g ão se itersetam. (D) A fução f g é decrescete. matemática A º ao, teste itermédio, Seja f a fução de domíio, defiida por Averigue se a fução f é cotíua em. e e se f e l se matemática A º ao, teste itermédio, Para um certo valor de e para um certo valor de, é cotíua o poto 0 a fução g, defiida por e se 0 g se 0 l se 0 Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) e (B) e (C) e (D) e matemática A º ao, teste itermédio, / 4

8 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao. Seja f a fução, de domíio Seja g a fução, de domíio f log., defiida por, defiida por g f. Mostre, sem recorrer à calculadora, que c c, :g 5 matemática A º ao, teste itermédio, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por se f e a se (a é um úmero real) Recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, determie a sabedo que f é cotíua em. matemática A º ao, eame 65, época especial, 0 5. Cosidere a fução f, de domíio 0,, defiida por f e l se se 0 Recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, mostre, sem resolver a equação, que f tem, pelo meos, uma solução em 0,. matemática A º ao, eame 65, ª fase, 0 6. Seja f uma fução de domíio 0,, defiida por 9 se 0 5 f e se 5 Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite garatir a eistêcia de, pelo meos, um zero da fução f? (A) 0, (B),4 (C) 4,6 (D) 6,7 matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

9 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 7. Seja f uma fução, de domíio, cotíua o itervalo,4 Tem-se f e f 4 9. Em qual das opções seguites está defiida uma fução g, de domíio, para a qual o teorema de Bolzao garate a eistêcia de pelo meos um zero o itervalo,4? (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f matemática A º ao, teste itermédio, Cosider a fução g, de domíio, defiida por g Cosidere a sucessão de termo geral Qual é o valor de lim gu? u e se 0 l se 0. (A) (B) (C) 0 (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosider a fução f, de domíio, defiida por f e. Mostre que f,5 tem, pelo meos, uma solução em,. Resolva este eercício recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja g uma fução cotíua, de domíio. Qual dos seguites cojutos ão pode ser o cotradomíio da fução g? (A) 0, (B) (C) (D) \ 0 matemática A º ao, teste itermédio, / 4

10 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao. Seja a um úmero real diferete de zero. a e Qual é o valor de lim? 0 a a (A) a (B) a (C) 0 (D) matemática A º ao, teste itermédio, Seja f a fução, de domíio, defiida por se 0 f e se Usado eclusivamete métodos aalíticos, averigue se a fução f é cotíua em. matemática A º ao, teste itermédio, Cosider a fução h, de domíio, defiida por 4 se 0 h se 0 e se 0 Estude a cotiuidade de h o domíio, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosidere a fução g, de domíio g e l., defiida por Mostre, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, que a fução g tem, pelo meos, um zero o itervalo 0,;0,. Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos uméricos. matemática A º ao, eame 65, ª fase, Num certo dia, o Ferado esteve doete e tomou, às 9 horas da mahã, um medicameto cuja cocetração Ct o sague, em mg/l, t horas após o medicameto ter sido miistrado, é dada por Calcule 0,t te C t t 0 limct e iterprete esse valor o coteto da situação apresetada. Resolva a questão recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

11 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 6. Cosidere a fução g, de domíio,, defiida por l se g se se Verifique se a fução g é cotiua em, sem recorrer à calculadora. matemática A º ao, teste itermédio, Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução g, de domíio e cotiua em \. As retas de equações e y são as úicas assítotas do gráfico de g. Seja uma sucessão tal que lim g. Qual das epressões seguites pode ser o termo geral da sucessão? (A) (B) a (C) (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

12 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 8. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio, sedo y a úica assítota do seu gráfico. Qual é o valor do lim f? (A) (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, A massa de uma substâcia radioativa dimiui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determiada substâcia, a massa, em gramas, ao fim de t horas de 0,0t observação, é dada pelo modelo matemático M t 5 e, t 0. Resolva, usado métodos aalíticos. Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. Utilize o Teorema de Bolzao para justificar que houve, pelo meos, um istate, etre as horas e 0 miutos e as 4 horas após o iício da observação, em que a massa da amostra da substâcia radioativa atigiu os 4 gramas. matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja h a fução de domíio,, defiida por h 4 l (l desiga logaritmo de base e) Resolva, usado métodos aalíticos.. Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; sempre que proceder a arredodametos, use, pelo meos, duas casas decimais. Justifique, aplicado o Teorema de Bolzao, que a fução h tem, pelo meos, um zero o itervalo 5,6. matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

13 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 4. Seja f uma fução de domíio, cotiua o itervalo, Tem-se f e f. Idique qual das epressões seguites defie uma fução g, de domíio, para a qual o Teorema de Bolzao garate a eistêcia de pelo meos um zero o itervalo,. (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f matemática A º ao, teste itermédio, Seja f uma fução de domíio, por, defiida e se 0 f l se 0 Na figura está represetado o gráfico da fução f. Tal como a figura sugere: A é o poto do gráfico de f de ordeada máima a abcissa do poto A é positiva Utilizado métodos eclusivamete aalíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é cotíua o poto 0. matemática A º ao, teste itermédio, Na figura, está reresetada parte do gráfico de uma fução f, real de variável real. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) (B) (C) lim 0 f lim f lim f (D) Não eiste lim f matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

14 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 44. Na figura, está reresetada parte do gráfico de uma fução g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a reta de equação é assítota do gráfico da fução g. Seja : h a fução defiida por h h O valor do lim g é:. (A) (B) (C) 0 (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, Idetifique o valor de lim 4 (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por se 0 f se 0 l se 0 (l desiga logaritmo de base e) Utilizado métodos eclusivamete aalíticos, averigue se a fução f é cotíua em 0. Justifique a sua resposta. matemática A º ao, teste itermédio, / 4

15 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 47. Cosidere, um referecial o.. Oy, a curva C, que represeta graficamete a fução f, de domíio 0,, defiida por f e e a reta r, de equação y 5. Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r iterseta a curva C em pelo meos um poto. matemática A º ao, teste itermédio, De duas fuções, f e g, sabe-se que: o gráfico de f é uma reta, cuja ordeada a origem é igual a ; o gráfico de g é uma hipérbole. Nas figuras seguites estão represetadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole. A reta de equação é assitota do gráfico de g. Idique o valor de lim f g (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja f : 0, uma fução cotíua tal que f 0 f 0 e Prove que eiste pelo meos um úmero real c o itervalo f 0. 0, tal que f c f c Sugestão: cosidere a fução f : 0,, defiida por g f f.. matemática A º ao, eame 65, ª fase, / 4

16 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 50. Na figura estão represetadas, em referecial o.. Oy, partes dos gráficos de duas fuções, f e g, cotíuas em. Tal como a figura sugere, ehum dos gráficos iterseta o eio O; os gráficos de g e de f itersetam o eio Oy os potos de ordeadas 0,5 e, respetivamete. Apeas uma das equações seguites é impossível. Qual delas? (A) f g 0 (B) f g 0 (C) f g (D) f g matemática A º ao, eame 65, ª fase, Seja a sucessão de termo geral Seja y a sucessão de termo geral y l Qual é o valor de lim y? (l desiga o logaritmo de base e) (A) (B) (C) e (D) e matemática A º ao, teste itermédio, Com o objetivo de estudar as leis do aquecimeto e do arrefecimeto, realizou-se, um laboratório de Física, a seguite eperiêcia: aqueceu-se ao lume uma certa quatidade de água, durate cico miutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deiou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sedo medida, ao logo do decorrer da eperiêcia. Admita que: este laboratório, a temperatura ambiete é costate; a temperatura da água, o istate em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiete; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tede, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiete. Em resultado da eperiêcia, cocluiu-se que a relação etre a temperatura da água e o tempo t, cotado em miutos, a partir do istate em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro fuções, a, b, c e d, defiidas por: 6 / 4

17 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 4 t se 0 t 5 0,04 t 5 a c 4 0e se 5 4 t se 0 t 5 0, e t se 5 bt d t se 0 t 5 0, e t se 5 t se 0 t 5 0, e t se 5 Qual das quatro fuções é a correta? Numa pequea composição, eplique porque ão pode ser ehuma das outras três, idicado, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, eplicado a sua iadequação, relativamete à situação descrita. matemática A º ao, teste itermédio, De uma fução f, cotíua em, sabe-se que f 8 e Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) f 7. f (B) A fução f ão tem zeros em,7 6 8 (C) f 4 f 5 (D) pertece ao cotradomíio de f matemática A º ao, eame 45, ª fase, Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução f, cotíua em. A fução f tem apeas dois zeros: e. Seja g a fução defiida por g f. Qual dos seguites cojutos pode ser o domíio da fução g? (A), (B) \, (C), (D), matemática A º ao, eame 45, ª fase, / 4

18 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 55. Admita que o úmero de elemetos de uma população de aves, t aos após o iício de 970, é dado aproimadamete por 7 N M t 5, 0, 0 P t e t em que N e M são duas costates, deomiadas, respetivamete, taa de atalidade e taa de mortalidade da população. Sem recorrer à calculadora, a ão ser para efetuar evetuais cálculos uméricos, calcule lim Pt, sabedo que N M e iterprete o resultado obtido, o coteto do problema. t matemática A º ao, eame 45, ª fase, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f e. Sem recorrer à calculadora (a ão ser para efetuar evetuais cálculos uméricos), mostre que, o itervalo,0, eiste pelo meos um objeto cuja imagem, por meio de f, é 4. matemática A º ao, eame 45, ª fase, De uma fução f, de domíio 4,5 e cotíua em todo o domíio, sabe-se que: f 4 6; f ; f 5 ; f é estritamete decrescete o itervalo 4, ; f é estritamete crescete o itervalo,5. Quatas soluções tem a equação f 0? (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 45, ª fase, 00 log 58. Idique o valor de lim e 0. (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução h, 0,5 5,. de domíio As retas de equações 5 e y são as úicas assítotas do gráfico de h. Idique o valor de h lim e (A) 0 (B) (C) 5 (D) matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, / 4

19 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 60. Seja f uma fução cotíua, de domíio 0,5 e cotradomíio,4. Seja g a fução, de domíio 0,5, defiida por Prove que a fução g tem, pelo meos, um zero. g f. matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, Seja h uma fução cotíua, de domíio. Qual dos seguites cojutos ão pode ser o cotradomíio de h? (A) (B) \ 0 (C) (D) 0, matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, Para um certo valor de k, é cotiua em a fução f defiida por f 0 se 0 l k se 0 Qual é o valor de k? (l desiga logaritmo de base e) (A) (B) 0 (C) (D) matemática A º ao, eame 45, ª fase, De uma fução g, cotiua em, sabe-se que: é zero de g; g 0. Prove que a equação g g tem, pelo meos, uma solução o itervalo,. matemática A º ao, eame 45, ª fase, / 4

20 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 64. Seja h a fução, de domíio, defiida por: e se 0 h se 0 se 0 Relativamete à cotiuidade da fução h, o poto 0, qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) É cotíua. (B) É cotíua à esquerda e descotíua à direita. (C) É cotíua à direita e descotíua à esquerda. (D) É descotíua à esquerda e à direita. matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, De uma fução f, cotíua o itervalo,, sabe-se que f 7 e Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) A fução f tem pelo meos um zero o itervalo,. (B) A fução f ão tem zeros o itervalo,. (C) A equação f 5 tem pelo meos uma solução o itervalo (C) A equação f 5 ão tem solução o itervalo,. f 4.,. matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio. Qual das seguites afirmações é verdadeira? (A) lim f f 4 e lim f f (B) lim f f 4 e lim f f (C) lim f f 4 e lim f f (D) lim f f 4 e lim f f matemática A º ao, eame 45, ª fase, ª chamada, / 4

21 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 67. Cosiedere a fução f, de domíio, assim defiida: Seja u a sucessão defiida por f u se * f. Idique qual das epressões seguites defie o termo geral de u. (A) (B) (C) (D) 5 matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, Na figura está desehada parte da represetação gráfica de uma fução, cujo domíio é \. As retas de equações, y e y 0 são assítotas do gráfico de f. Seja a sucessão de termo geral Idique o valor de lim f.. (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, Qual é o limite da sucessão de termo geral u e? (A) (B) (C) 0 (D) matemática A º ao, eame 5, ª fase, Cosidere a fução g defiida por g Idique qual é o valor de lim g. 5. (A) 0 (B) (C) (D) matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, / 4

22 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 7. De uma fução h sabe-se que: o domíio de h é lim h lim h 0 Idique qual dos gráficos seguites poderá ser o gráfico de h. (A) (B) 0 (C) (D) matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, O valor de lim é (A) (B) (C) e (D) e matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, lim e é (A) (B) 0 (C) (D) matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, / 4

23 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao 74. Seja g a fução defiida em por 5 g. O Teorema de Bolzao permite-os afirmar que a equação g 8 tem pelo meos uma solução o itervalo (A),0 (B) 0, (C), (D), matemática A º ao, eame 5, ª fase, ª chamada, Uma ódoa circular de tita é detetada sobre um tecido. O comprimeto, em cetímetros, do 4t raio dessa ódoa, t segudos após ter sido detetada, é dado por rt t 0. t Calcule r 0 e lim rt t e diga qual é o sigificado físico destes valores. matemática A º ao, eame 5, prova modelo, 997 Bom trabalho!! / 4

24 limites, cotiuidade, Teorema de Bolzao Pricipais soluções. (B). (A). (A) , quado a taa de juro tede para zero, a mesalidade é dada pelo quociete etre o diheiro que pediu emprestado e o úmero de prestações (B) 7. (B) (B). Não é cotíua. k e. (D) (A) lim f k l5 8. (B) 9. (A) 0. (A). f é cotíua em. (B). 4. a (B) 7. (D) 8. (D) (D). (A). Não é cotíua. A fução é cotiua em É cotiua em 7. (B) 8. (B) (A) (D) 44. (C) 45. (D) 46. f é cotíua em (A) (A) 5. (A) 5. d 5. (D) 54. (D) lim Pt t (C) 58. (C) 59. (B) (B) 6. (C) (A) 65. (C) 66. (B) 67. (B) 68. (B) 69. (D) 70. (C) 7. (A) 7. (D) 7. (B) 74. (C) r lim r t t 4 / 4

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