MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limite segundo Heine Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - 2o Ao Fuções - Limite segudo Heie Propostas de resolução Eercícios de eames e testes itermédios. Como u = 2) = + ) 2 = +, etão f u ) = f) = l ) = + + l + }{{} Lim. Notável = + + = + = Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de u ) como objetos, e algus termos da sucessão das images fu ), que tedem para zero, quado o valor de aumeta. f ) Eame 25, a fase 2. Como = ) =, etão f ) = f) = e = = = + f ) Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de ) como objetos, e algus termos da sucessão das images f ), que tedem para +, quado o valor de aumeta. f Resposta: Opção D Eame 24, Ép. Especial 3. Como = + ) ) = e, etão g ) = e g) = le e ) = l + ) = Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de ) como objetos, e algus termos da sucessão das images g ), que tedem para, quado o valor de aumeta. g g ) e Resposta: Opção D Eame 24, 2 a fase Págia de 7 mat.absolutamete.et

2 4. Como = = +, etão f ) = f) = e + 3 = e + 3 = + 3 = + + E assim 2 f ) = 2 f ) = 2 + = Eame 24, a fase 5. Como se pretede que h ) = +, etão, de acordo com o gráfico da fução h, a epressão da sucessão ) pode ser ) porque como ) =, temos que h ) h ) = h) = + + ) porque como + ) ) = e, temos que h ) = e h) = + e + ) porque como e + ) = e +, temos que h e h ) = e +h) = + Assim, cocluímos que + ) 3 é a úica epressão que ão pode ser o termo geral da sucessão ) porque como + ) ) 3 = + temos que h ) = h) = + Teste Itermédio 2 o ao Págia 2 de 7 mat.absolutamete.et

3 6. Temos que u = 2 + ) = 2 + Como fu ) = + etão fu ) = 2 + f) = + No gráfico da opção A), temos que < fu ) < 2 pelo que fu ) = 2 +f) + No gráfico da opção B), temos que 2 < fu ) < pelo que fu ) = 2 +f) + f ) 2 u No gráfico da opção D), temos que fu ) = 2 +f) No gráfico da opção C) temos que fu ) = 2 +f) = + como se ilustra graficamete a figura aterior. Teste Itermédio 2 o ao Como ) é uma sucessão com termos em ], [ e ) =, etão = f ) E assim, de acordo com o gráfico, temos que f f ) = f) = + Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de ) como objetos, e algus termos da sucessão das images f ), que tedem para +, quado ) tede para Como u = + ) ) = e, etão fu ) = f) = e Calculado e f) para cada uma das epressões algébricas apresetadas, temos: Se f) = l etão f) = l ) = l e = = e e Se f) = + l etão f) = + l ) = + l e = + = 2 e e Se f) = l etão f) = l ) = e l e e e Se f) = + l etão f) = + l ) = e + l e e e Eame 22, 2 a Fase Desta forma, de etre as hipóteses apresetadas, a úica epressão algébrica em que e f) = é l Teste Itermédio 2 o ao Págia 3 de 7 mat.absolutamete.et

4 9. Se u = k, etão fu ) = 3 k f) = 3 Calculado k = u e f) para cada uma das sucessões apresetadas, temos: k u = 2 ) = 2 + = 2 + = 2 E assim, 2 f) = e ) = e 2 = e 2 2 u = 2 + ) = = = 2 + ) 4 E assim, 2 +f) = = = 2 + = 3 u = 3 ) = 3 + = 3 + = 3 ) 4 E assim, 3 f) = 3 + = = = 7 3 u = 3 + ) = = = 3 + ) 4 E assim, f) = = = = 7 3 Desta forma, de etre as hipóteses apresetadas, a úica sucessão em que fu ) = 3 é 2 + Eame 2, Prova especial. Como etão Resposta: Opção D u = ) = + = + gu ) = g) = l = l + = Eame 2, 2 a Fase. Como 4 ) = 4 + = 4 + = 4 etão, pela observação do gráfico da fução h, temos que u = h 4 )) = h) = 4 Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de 4 ) como objetos, e algus termos da sucessão u ) o eio vertical, que tedem para, quado o valor de aumeta. 3 2 u ) 4 4 h Teste Itermédio 2 o ao Págia 4 de 7 mat.absolutamete.et

5 2. Como g ) = +, e como, pela observação do gráfico temos que + 2 g) = +, temos que ) = + ou etão ) = 2 g) = + e que + Assim, calculado os ites das sucessões de cada uma das hipóteses, temos: ) = = ) = 2 + = 2 + ) = + + = + ) = + = 2 2 g ) g 2 Pelo que, de etre os termos gerais de sucessões apresetados, o úico em que + g ) = + é 2 Graficamete, a figura aterior, estão represetados algus termos da sucessão = 2 + como objetos, e algus termos da sucessão das images g ), que tedem para +, quado o valor de aumeta. 3. Como Temos que ) + u ) = 2 = 2 + ) 2 = + ) 2 = = + gu e + 5 ) = g) = cos = e cos) = = 6 3 = 2 2 Eame 28, 2 a Fase Eame 26, a fase 4. Como Temos que ) = + ) ) = e = + l )) = + l e = + = 2 Teste Itermédio 2 o ao Págia 5 de 7 mat.absolutamete.et

6 5. Como g ) = +, e como, pela observação do gráfico temos que + 3 g) = +, etão ) = 3 Assim, calculado os ites das sucessões de cada uma das hipóteses, temos: 3 ) = 3 + = ) = = ) = 4 + = ) = = 4 + g ) 3 3 Pelo que, de etre os termos gerais de sucessões apresetados, o úico em que + g ) = + é 3 4 Graficamete, a figura aterior, estão represetados algus termos da sucessão = 3 como objetos, e algus termos da sucessão das images g ), que tedem para +, quado o valor de aumeta. Resposta: OpçãoA Eame 2, Ép. Especial 6. Como Temos que u ) = + ) ) = e fu ) = e f) = e l = l e = Eame 999, Prova para militares prog. atigo) 7. Como ) = 2 2) = 2 = E como a reta = é assitota do gráfico de f, quado, temos que f ) = f) = Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de ) como objetos, e algus termos da sucessão das images f ), que tedem para, quado o valor de aumeta. f ) 2 Eame 999, a fase - a chamada prog. atigo) Págia 6 de 7 mat.absolutamete.et

7 8. Como ) = + ) = + + = + E como a reta = é assitota do gráfico de f, pela observação do gráfico, temos que u ) = f ) = +f) = Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de ) como objetos, e algus termos da sucessão das images f ), que tedem para, quado o valor de aumeta. f ) Eame 999, Prova modelo prog. atigo) 9. Como u ) = ) = + Pela observação do gráfico da fução g, temos que gu ) = + +g) = 2 Graficamete, a figura ao lado, estão represetados algus termos de u ) como objetos, e algus termos da sucessão das images gu ), que tedem para 2, quado o valor de aumeta. gu ) 2 u Eame 998, Prova modelo prog. atigo) Págia 7 de 7 mat.absolutamete.et