Resolva os grupos do exame em folhas separadas. O uso de máquinas de calcular e telemóveis não é permitido. Não se esqueça que tudo é para justificar.

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1 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo ATENÇÃO: FOLHAS DE EXAME NÃO IDENTIFICADAS NÃO SERÃO COTADAS Cálculo / Eame fial 06 Jaeiro de 007 Resolva os grupos do eame em folhas separadas O uso de máquias de calcular e telemóveis ão é permitido Não serão feitos esclarecimetos idividuais sobre questões durate a prova Não se esqueça que tudo é para justificar Os cálculos são para simplificar ao máimo NOTAS AFIXADAS Jaeiro, Quita às 5h00 CONSULTA PEDAGÓGICA ÚNICA Jaeiro, Quita a partir das 7h00 de

2 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo ( valores) Comete um máimo de 5 lihas (SE ESCREVER MAIS RISCAMOS!!) as seguites proposições: a) ( val) O facto de uma certa fução f () ão ser difereciável um poto 0 ão impede a sua aproimação por um poliómio de Taylor esse poto De facto, em vez de escrevermos f! ( ) ( ) f ( 0 ) f '( 0 )( 0 ) f ''( 0 )( 0) f ( 0 )( 0 Escreveremos apeas ( ) f ( ) f ( 0 ) f ''( 0 )( 0) f ( 0 )( 0 )!! A aproimação ão é tão boa mas podemos aumetar o valor de b) ( val) Uma sucessão divergete oscilate ão pode ter potos de acumulação De facto só sucessões covergetes os podem ter Grupo (5 valores) a) (05 val) Determie o domíio da fução f ( ) arcse( b) (05 val) Represete a fução graficamete c) (05 val) Diga porque ão faz setido calcular f '( ) )! ) Grupo 3 (3 valores) a) (05 val) Desehe o domíio plao A delimitado pelas lihas seguites: y e ; y e ; y 0 ; ; b) (5 val) Calcule a área de A c) Seja o cojuto B {(, y) : (, y) fra Q} ; c) (05 val) Qual o cardial de B? c) (05 val) Para cada (, y) B, é y racioal? Grupo 4 (55 valores) A relação etre a taa de juro média (j) para empréstimos à habitação e o ídice bolsista PSI0 (p) é dado pela fução j f( p) p plp a) (05 val) Idique o domíio de ) (p f b) ( val) Verifique que a fução é covea em todo o seu domíio de

3 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo c) (5 val) Idique, justificado sucitamete, em relação ao domíio de f (p) : - o iterior - os potos de acumulação - o máimo (caso eista) - o eterior - a froteira - o míimo (caso eista) d) (05 val) Supoha que o mercado está em equilíbrio em p e Qual é o valor de equilíbrio de j? e) (05 val) Pode admitir que eiste fução iversa de f (p), seja ela g (j), uma vizihaça do poto de equilíbrio? f) (05 val) Calcule a derivada de g(j) o poto de equilíbrio g) ( val) Calcule uma aproimação de primeira ordem ao ovo valor de p, após uma variação de 0 em j o poto de equilíbrio Grupo 5 (3 valores) a) ( val) Diga se a fução f( ) l pode ser prologada por cotiuidade o poto 0 e, caso seja, escreva a ova fução, g, que resulta desse prologameto b) ( val) Determie, caso eista, g '(0) c) ( val) Mostre que a fução f( ) h( ) tem um úico zero o itervalo [ e,e] Grupo 6 (5 valores) Calcule as primitivas seguites: si( ) a) (075 val) P cos( ) b) (75 val) ( l) P Grupo 7 (5 valores) u a sucessão real cujo termo geral é defiido da forma seguite: Seja ( ) N u ( ) ( ) a) ( val) Determie a primeira ordem, 0, a partir da qual N : u < 00 (sugestão clássica: costrua os primeiros termos da sucessão e sita-a) b) (05 val) Comete a seguite afirmação: A alíea a) mostra que o limite de u é igual a c) ( val) Sem fazer ehum cálculo determie a mais baia ordem,, a partir da qual N : u < 00 3 de

4 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Cálculo / Eame fial 06 Jaeiro de 007 Tópicos de Correcção Grupo ( valores) Comete um máimo de 5 lihas ( SE ESCREVER MAIS RISCAMOS!!) as seguites proposições: ( valor) O facto de uma certa fução f () ão ser difereciável um poto 0 ão impede a sua aproimação por um poliómio de Taylor esse poto De facto em vez de escrevermos f! ( ) ( ) f ( 0 ) f '( 0 )( 0 ) f ''( 0 )( 0) f ( 0 )( 0 Escreveremos apeas ( ) f ( ) f ( 0 ) f ''( 0 )( 0) f ( 0 )( 0 )!! A aproimação ão é tão boa mas podemos aumetar o valor de! ) A proposição é FALSA Se a fução ão é difereciável um poto 0 ão tem a derivada de ordem um esse poto e cosequetemete as derivadas de ordem superior esse poto também ão eistem pois f '' ( f ')' Assim sedo, ão faz sequer setido pesar a aproimação por um poliómio de Taylor esse poto ( valor) Uma sucessão divergete oscilate ão pode ter potos de acumulação De facto só sucessões covergetes os podem ter A proposição é FALSA Cosidere-se a sucessão divergete oscilate u ( ) Os seus potos de acumulação são - e (os limites das subsucessões quado é ímpar e quado é par) Há biliões de cotra-eemplos mas se bem se lembra, um basta 4 de

5 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo (5 valores) a) (05 valores) Determie o domíio da fução f ( ) arc se( ) D f { R : } { R : 0} { 0} b) (05 valores) Represete a fução graficamete y π/ 0 c) (05 valores) Diga porque ão faz setido calcular f '( ) Não faz setido calcular f '( ), porque a fução está defiida um úico poto ão estado defiida uma vizihaça desse poto Ora o coceito de derivada tem em si a ideia de variação Se ão há variação 5 de

6 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo 3 (5 valores) a) (05 val) Desehe o domíio plao A delimitado pelas lihas seguites: y e ; y e ; y 0 ; ; b) (5 val) Calcule a área de A c) Seja o cojuto B {(, y) :(, y) fra Q} ; c) (05 val) Qual o cardial de B? c) (05 val) Para cada (, y) B, é y racioal? a) A área a determiar pode ser represetada graficamete da seguite forma: y y e y e - e - 0 b) Para determiar a área é ecessário achar a abcissa da itersecção das duas fuções epoeciais, isto é: y e y e e e /3 Assim sedo, / 3 / 3 [ e ] [ e ] Área e d e d c) / 3 / 3 ( ) ( ) ( ) / 3 [ ] / ( / e e e e ) e e [ ] e c) O cardial é Alef Um De facto os potos - e (racioais) geram dois segmetos cotíuos cujo cardial é Alef Um O restate da froteira tem cardial Alef Zero mas o outro cardial prevalece c) O valor de y será o que for Depede do próprio mas também da codição que gera a froteira Por eemplo para 0 a froteira tem os potos (0,0) e (0,), ambos de ordeada racioal mas para - a froteira cotém, etre muitos outros, os potos (-,0) e (-, e ), um de ordeada racioal, outro de ordeada irracioal Os eemplos são ifiitos e muito curiosos 6 de

7 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo 4 (55 valores) A relação etre a taa de juro média (j) para empréstimos à habitação e o ídice bolsista PSI0 (p) é dado pela fução j f ( p) p pl p a) (05 valores) Idique o domíio de f ( p) D f R b) ( valor) Verifique que a fução é covea em todo o seu domíio f '( p) p l p f ''( p) > 0, p > 0 p Logo f é covea em todo o seu domíio c) (5 valores) Idique, justificado sucitamete, em relação ao domíio de f ( p), o iterior o eterior os potos de acumulação a froteira o máimo caso eista o míimo caso eista it ( D f ) R ( D ) R et f potos de acumulação de fr ( ) { 0} D f D f R 0 Não eiste máimo (porque o cojuto ão tem majorates) em míimo (porque 0 ão pertece ao cojuto) d) (05 valores) Supoha que o mercado está em equilíbrio em p e Qual é o valor de equilíbrio de j? Quado p e, obtém-se j e el e e e O valor de equilíbrio de j é e e Ou seja, o mercado está o poto de equilíbrio ( p, j) ( e, e e) 7 de

8 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo e) (05 valores) Pode admitir que eiste fução iversa de f ( p), seja ela g ( j), uma vizihaça do poto de equilíbrio? f '( p) p l p f '( e) e l e e Logo para p Vε (e) temos f '( p) > 0 dode a fução é ijectiva uma vizihaça de e, sedo etão ivertível f) (05 valores) Calcule a derivada de g( j) o poto de equilíbrio g ' ( e e) f '( e) e l e e g) ( valor) Calcule uma aproimação de primeira ordem ao ovo valor de p após uma variação de 0 em j o poto de equilíbrio Lembre : f : p j, ou j f ( p) g : j p, ou p g( j) No poto de equilíbrio ( p, j) ( e, e e) A aproimação de ª ordem este poto é ou seja g ( e e 0) g( e e) g' ( e e) ( 0) ( e e 0) e 0, g e e, portato, g ( e e 0) e 0e 0 8 de

9 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo 5 (3 valores) a) ( val) Diga se a fução f( ) l pode ser prologada por cotiuidade o poto 0 e, caso seja, escreva a ova fução g prologada por cotiuidade O domíio de f é R Para ser prologável por cotiuidade o poto 0 temos que obter lim f ( ) f (0) 0 Assim sedo, o primeiro passo é calcular o limite e se este eistir e for fiito, basta defiir como ordeada a origem este valor Etão lim 0 f ( ) lim 0 ( l ) 0 0 ( ) A seguda compoete deste limite leva a uma idetermiação 0 Vamos resolver apeas esta seguda compoete: lim l 0 l lim 0 que é outra vez idetermiação Vamos usar aqui a Regra de Cauchy (verifique que pode ser usada): l lim 0 ' ( l ) ' ( ) lim lim lim lim Visto que o limite eiste e é fiito, f pode ser prologável o poto de abcissa 0 Desigemos esta ova fução por g que pode ser escrita da seguite forma: g ( ) 0 l se se > 0 0 b) ( val) Calcule, caso eista, g '(0) Pela própria defiição da fução só podemos pesar em g (0) g ' d g(0 h) g(0) h h l h 0 (0) lim lim lim ( h l h) 0 h 0 h h 0 h h 0 ' d 9 de

10 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo c) ( val) Mostre que a fução f( ) h( ) tem um úico zero o itervalo [ e,e] Primeiro escreve-se a ova fução h f ( ) h( ) l ª Parte: Provar que tem pelo meos um zero o itervalo pretedido Esta ova fução tem domíio R A fução h é cotíua o seu domíio (justifique) Logo em [ e,e] Mais Assim h ( e ) e l e < 0 e h ( e) e l e e > 0 h ( e ) h( e) < 0 Logo pelo Corolário do Teorema de Bolzao, h tem pelo meos um zero o itervalo [ e,e] ª Parte: Provar que tem o máimo um zero o itervalo pretedido Para provar que tem o máimo um zero, faremos a demostração por cotradição Assuma que a fução tem dois zeros o itervalo [ e,e] Assim h( 0 ) 0 e h( ) 0 e, portato, h( 0 ) h( ) 0 Sejam eles 0 e A fução h é cotíua e difereciável em R (prove isto) Logo o itervalo ] [, 0 Assim pelo Teorema de Rolle c ] [, 0 tal que '( c) h 0, isto é, 0 c c 0 c Mas c ão pertece ao domíio e, por isso, ão eiste o tal c que o Teorema de Rolle afirma Logo chegámos a uma cotradição Cosequetemete, h ão tem dois zeros o itervalo [ e,e] itervalo [ e,e] Coclusão: h tem um úico zero o itervalo [ e,e] e, portato, tem o máimo um zero o Esta seguda parte também podia ser resolvida por ituição: sedo a fução cotíua, moótoa e difereciável, a ter um zero (que tem) ele é úico! 0 de

11 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo 6 (5 valores) Calcule as primitivas seguites: si( ) a) (075 val) P cos( ) b) (75 val) ( l) P si( ) a) P l( cos( ) ) cos( ) ; ote que ão precisa do módulo! b) A primitiva P( l ) dá mesmo votade de fazer por partes! f ' fácil de primitivar g l fácil de derivar f g' P( l ) P( f ' g) fg P( fg') P( l ) l P( ) l P( ) P( l ) l l C de

12 Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo Grupo 7 (5 valores) Seja ( ) N u a sucessão real cujo termo geral é defiido da forma seguite: u ( ) ( ) a) ( val) Determie a ordem, 0, a partir da qual N : u < 00 O que se pretede determiar é a ordem a partir da qual eistem termos da sucessão u a vizihaça de raio 00 de Se ímpar: u < < 4 < 4 < 4 > < > > < { } Se par: u < < < < > Assim, a ordem a partir da qual eistem termos de ordem par da sucessão u a vizihaça de raio 00 de, é 0 0 b) (05 val) Comete a seguite afirmação: A alíea a) mostra que o limite de u é igual a A afirmação é FALSA Como vimos a alíea aterior, a subsucessão dos termos de ordem ímpar de u ão tem limite O limite dessa subsucessão é -! O problema está a ausêcia do quatificador Ou seja, teria de ser para todos e ão para algus c) ( val) Sem fazer ehum cálculo determie a mais baia ordem,, a partir da qual N : u < 00 Como vimos a alíea a), todos os termos de ordem par a partir da ordem 00 (ou seja 0), pertecem à vizihaça de raio 00 de ; pela estrutura da sucessão é claro todos os termos de ordem impar a partir da ordem 00 (ou seja 0), estão uma vizihaça de raio 00 de de