Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Disciplina: TRANSPORTES. Sessão Prática 4: Amostragem

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1 Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Disciplia: TRNSPORTES Prof. Resposável: José Mauel Viegas Sessão Prática 4: mostragem Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 1/0

2 Distribuição t-studet Noções básicas (I) Distribuição da Média mostral Para uma variável, represetativa de uma população e para amostras de dimesão, a média amostral é defiida por: Supodo que 1,, são variáveis idepedetes e seguem distribuição ormal com valor esperado e variâcia. Valor esperado da Média mostral é: Variâcia da Média mostral é: E Z segue distribuição ormal com média 0 e variâcia 1: 1 i1 var i E 1 1 var Z µ σ Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas /0

3 Distribuição t-studet Noções básicas (II) distribuição t-studet surge quado o desvio padrão é descohecido e tem de ser estimado a partir dos dados da amostra. Variâcia da amostra: S (i ) 1 i1 T segue uma distribuição t-studet com -1 graus de liberdade: 1 Para dimesões de amostras muito grades (), a varíavel T tede para seguir uma distribuição Normal. Campos de aplicação: T µ s Estimar o itervalo de cofiaça do valor esperado de uma distribuição ormal quado a dimesão da amostra é pequea. valiar a sigificâcia estatística da igualdade da média de duas amostras. Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 3/0

4 Distribuição t-studet Noções básicas (III) Fig.1 Fução desidade probabilidade t Fig. Fução distribuição k = GL = Graus de Liberdade t Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 4/0

5 Distribuição t-studet Noções básicas (IV) tabela seguite lista algus valores da distribuição t-studet com GL graus de liberdade e diferetes graus de cofiaça: GL Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 5/0

6 Distribuição t-studet Noções básicas (V) Itervalo de cofiaça para o valor esperado. mostra de pequea dimesão, População Normal (Em amostras de pequea dimesão ão se aproima de S) Grau de cofiaça 1- Defiir a de tal forma que P( a µ S S P a a 1 P a µ a 1 S Itervalo de cofiaça: T a também pode ser represetado por a) 1 P(T S S a ; a t ;GL a) Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 6/0

7 Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 7/0 /0 Distribuição t Distribuição t-studet studet Noções básicas (VI) Noções básicas (VI) Itervalo de cofiaça para a difereça etre valores esperados mostra de pequea dimesão, População Normal Duas populações e com valores esperados e e variâcias e. dmitase que a partir destas populações se obtiveram amostras idepedetes de dimesão e, com base as quais se calcularam os estimadores dos valores esperados,, e das variâcias S e S. variável T segue uma distribuição t-studet com GL = + - Itervalo de cofiaça:,gl,gl S S t ; S S t e S S µ µ T ) /, ( S N ) /, ( S N

8 mostragem aleatória simples Dimesioameto (I) s gradezas calculadas a partir de amostras são apeas estimativas. Há que ter sempre presete as respectivas marges de erro. Margem de erro absoluto () ou Semi-largura do itervalo de cofiaça (SLIC) Para população ifiita: t Com correcção de população fiita: ode, t / abcissa correspodete ao grau de cofiaça (1-) a lei t-studet estimativa do desvio padrão da população dimesão da amostra N dimesão da população t N N Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 8/0

9 mostragem aleatória simples Dimesioameto (II) Erro relativo () esta formulação permite uma iterpretação idepedete da variâcia da variável a estimar. dimesão da amostra () ecessária para um erro absoluto pretedido (cosiderado um população ifiita): t t 1 N N Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 9/0

10 mostragem aleatória simples Dimesioameto (III) Frequetemete ão há uma ideia clara sobre o erro relativo pretedido por ão ser evidete quato vale/custa a igorâcia associada a esse erro. decisão deve ser tomada cosiderado o custo da falta de iformação (C 1 ) e o custo de aquisição de iformação (C ). dimesão óptima da amostra é coseguida através do valor míimo do custo total (CT). CT c t 1 c MiCT dct d dimesão da amostra cresce com o custo do erro e desvio padrão da variável base e decresce com o custo de aquisição de iformação (iquéritos, cotages). 0 c 1 t c 3 Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 10/0

11 mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Euciado Pretede-se estimar o úmero de veículos rodoviários pesados que etram diariamete em Lisboa etre as 7 e as 10h, um cojuto de 6 eios pricipais. Esse cojuto de eios tem uma capacidade horária global por setido de cerca de veículos por hora. dmite-se que a percetagem de veículos pesados o tráfego esses eios e período horário seja etre 4 e 6%, e que a estimativa do desvio padrão é 50. a) Qual o úmero de dias de observação ecessário para estimar o valor pretedido com um erro ão superior a 00 veículos/dia? b) Um técico ligado ao sector afirma que os tráfegos pesados às segudas-feiras são marcadamete diferetes dos ocorridos os outros dias úteis, pelo que deveriam ser estimados separadamete. dmita que tiham sido feitas observações em todos os dias úteis de semaas, com os seguites resultados: Idicador ªf Outros dias úteis N obs 8 Média Desvio padrão Pode afirmar-se que as médias do úmero de veículos pesados são, o geral, iguais às segudas-feiras e os outros dias úteis? Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 11/0

12 mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução a) Fórmulas relevates: Dados: t t (1) () Capacidade global dos 6 eios veículos/hora % de veículos pesados mí. 4% 1.00 veíc. pes./hora má. 6% veíc. pes./hora No itervalo das 7-10h mí veículos pesados má veículos pesados Estimativa do desvio padrão 50 veíc. pes./dia Erro máimo admitido 00 veíc. pes./dia Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 1/0

13 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Defiição do grau de cofiaça: O grau de cofiaça correspode à probabilidade de o verdadeiro valor da média se situar detro do itervalo de cofiaça que vai ser calculado. ida que o mais habitual seja trabalhar-se com 95%, pode admitir-se que, face ao vasto cojuto de factores que pode fazer variar os volumes de tráfego, ão ecessitemos estes casos de uma tal precisão, descedo até aos 80%. Dimesioameto da amostra: Como o valor de t / (abcissa correspodete ao grau de cofiaça pretedido a lei de t- studet) depede do úmero de graus de liberdade (-1), a fórmula () tem de ser resolvida por um processo iterativo. Sedo a distribuição t-studet simétrica em relação à média, a um grau de cofiaça de 80% correspodem duas caudas de 10% cada, pelo que a abcissa do lado do erro positivo deve ser procurada o percetil 90. lgumas tabelas têm como etrada o valor 10%. Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 13/0

14 1ª Iteração ( = ) mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Iiciaremos o processo cosiderado =, ou seja, admitido que temos uma distribuição Normal. Com recurso à tabela da Normal Padroizada P (Z t ) 0,9 t,, 1,8 Logo, ª Iteração ( = 3) ormal 50 1,8 00,57 Cosultado agora a tabela de probabilidades associada à cauda direita da distribuição t-studet com grau de liberdade (-1). 50 t10 %, 1,886 1,886 5, Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 14/0

15 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Iterações seguites 3ª Iteração Esaio com dimesão 6 t 10%,5 1,476 Dimesão da amostra () 3,40 4 4ª Iteração Esaio com dimesão 4 t 10%,3 1,638 Dimesão da amostra () 4,19 5 5ª Iteração Esaio com dimesão 5 t 10%,4 1,533 Dimesão da amostra () 3,67 4 Verifica-se assim que com o valor de t associado a uma amostra de 5 se poderia usar uma amostra 4, mas com o t correspodete a esta implica a dimesão de amostra 5. Dever-se-á optar pela dimesão cujo erro correspodete resultar ão superior a 00 veículos pesados por dia. 5,t 4,t 1,533 1, , , CONCLUSÃO: Com a dimesão de amostra 5 o erro máimo de estimação da média é de 171 veículos, para o grau de cofiaça 80%, sedo portato iferior ao máimo admissível. Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 15/0

16 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Grau de cofiaça de 95% Esaio com dimesão 1ª Iteração t,5%, 1,960 Dimesão da amostra () 6, ª Iteração Esaio com dimesão 11 t,5%,10,8 Dimesão da amostra () 7,76 8 5ª Iteração Esaio com dimesão 9 t,5%,8,306 Dimesão da amostra () 8,31 9,306 50, , ,t 1,638 8 CONCLUSÃO: Com a dimesão de amostra 9 o erro máimo de estimação da média é de 19 veículos, para o grau de cofiaça 95%, sedo portato iferior ao máimo admissível. Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 16/0 9,t ª Iteração Esaio com dimesão 7 t,5%,6,571 Dimesão da amostra () 10, ª Iteração Esaio com dimesão 8 t,5%,7,365 Dimesão da amostra () 8,74 9

17 b) Dados: mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução 1 veículos pesados que etram diariamete às segudas-feiras veículos pesados que etram diariamete os restates dias úteis 1 N( 1, 1 ) e N(, ) Da amostra da população 1: Da amostra da população : 4640 e s1 90 e e s 35 e Se 1 e seguem distribuição Normal, sedo Y = 1 -, etão Y N( y, y ) s Y Y s Y 1 s 1 s s s Y 8 1 Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 17/0

18 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Teste de Hipóteses: Pretede-se testar se as médias das duas populações 1 e são iguais, ou seja, pretede-se saber se o valor esperado de Y é ulo ( y =0), sedo y = 1 - H 0 : y =0 H 1 : y 0 Tratado-se de amostras de pequea dimesão Y T segue uma distribuição t-studet (t /,GL ), ode GL= e depede do grau de cofiaça assumido a estimativa de y. Vamos determiar os itervalos de cofiaça para graus de cofiaça de 80% e 95%. Y Y Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 18/0

19 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4.1 Resolução Itervalos de cofiaça Grau de Liberdade = +8-= 8 Erro absoluto (SLIC) S S t t S ode e =+8=10 S Y Y 1 Limite Iferior do itervalo de cofiaça Limite superior do itervalo de cofiaça Grau de cofiaça Grau de Liberdade (t /,GL ) Limite iferior It. Cof Limite superior It. Cof 80% 8 1, ,7-8,7 588,7 95% 8, ,6-9,6 789,6 CONCLUSÃO: Como se pode observar, em ambos os casos, graus de cofiaça de 80% e 95%, o valor 0 pertece ao itervalo de cofiaça, logo ão se deve rejeitar a hipótese de que as médias das duas amostras são iguais, ou seja, o tráfego de pesados à seguda-feira ão é suficietemete diferete do que ocorre os outros dias. y y Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 19/0

20 mostragem aleatória simples mostragem aleatória simples Eercício 4. Euciado Para efeito de bom dimesioameto dos tempos de ciclo em eploração, pretede-se avaliar o tempo adequado de paragem do metropolitao em cada estação, em fução do seu úmero de embarques e desembarques por hora. Esses volumes podem ser observados para as estações eistetes e modelados para ovas estações. Um cojuto de observações já com algus aos permite cosiderar adequado que o cojuto de estações e horas de serviço seja agrupado em três classes (tráfego iteso, médio e moderado), com tempos médios em toro dos 5 seg., 18 seg. e 1 seg.. Sabe-se que a variabilidade relativa dos tempos de embarque e desembarque é maior as situações de tráfego iteso, para os quais valores de 8 seg. acima da média são relativamete frequetes (cosidere que relativamete frequetes correspode a 40% das situações). Qual o úmero de observações (parages de comboios em estações) a fazer em cada uma dessas classes de itesidade de tráfego se se quiser estimar o tempo médio e o itervalo de cofiaça desse estimador com uma margem de erro ão superior a 3 seg.? Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas 0/0