PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT GERALDO CAETANO DE SOUZA FILHO UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE DERIVADAS DE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT GERALDO CAETANO DE SOUZA FILHO UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS NO ENSINO MÉDIO JUAZEIRO-BA

2 GERALDO CAETANO DE SOUZA FILHO UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS NO ENSINO MÉDIO Dissertação apresetada à Uiversidade Federal do Vale do São Fracisco - UNIVASF, Campus Juazeiro, como requisito da obteção do título de Mestre através do Programa Nacioal de Mestrado Profissioal em Matemática. Orietador: Prof. Dr. Beto Rober Bautista Saavedra. JUAZEIRO - BAHIA JULHO/03

3 S79p Souza Filho, Geraldo C. de Uma proposta para o esio de derivadas de fuções poliomiais o esio médio / Geraldo Caetao de Souza Filho. Juazeiro, 03. iii; 83f. : il. ; 9cm. Dissertação (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal - PROFMAT,) Uiversidade Federal do Vale do São Fracisco, Campus Juazeiro - BA, 03 Orietador: Prof. Dr. Beto Rober Bautista Saavedra. Iclui referêcias. Esio de derivadas.. Fuções poliomiais. 3. Esio Médio. I. Título. II. Saavedra, Beto Rober Bautista. III. Uiversidade Federal do Vale do São Fracisco CDD 55.3

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5 Não eiste testemuha tão terrível, em acusador tão implacável quato a cosciêcia que mora o coração de cada homem. Políbio

6 Ao meu amado filho, Maurício Eduardo de Souza Soares.

7 Agradecimetos A Deus, pela miha eistêcia e permaêcia em vida com saúde, alegria e etusiasmo para sempre seguir em frete. A miha mãe, eemplo de vida e de mulher, pelos pricípios e valores iseridos em meu ser, e pela vitória obtida diate dos obstáculos ecotrados durate essa jorada. Aos meus irmãos, Aldaisa Barbosa e Geari Caetao, por compartilhar diversos setimetos familiares o osso dia-a-dia. A Marcos Aurélio, pela compreesão, paciêcia, icetivo, cariho e amor durate os diversos mometos de divisão etre a miha vida acadêmica e a ossa vida pessoal. Aos meus amigos pelo icetivo e auílio durate o período de jorada acadêmica. Ao professor Beto Rober Bautista Saavedra, cuja orietação foi essecial para o desevolvimeto deste trabalho. Sua paciêcia, sabedoria e direcioameto ortearam o meu pesameto iúmeras vezes. A SBM e IMPA por proporcioar um programa de mestrado voltado para as ecessidades da Educação Básica. A Uiversidade do Vale do São Fracisco por promover o Programa de Mestrado Profissioalizate em Matemática em seu espaço físico. Aos professores pelos esiametos durate o período o qual fizemo-os presetes. À coordeação do PROFMAT, em ome do professor Severio Cirio, pelas orietações e icetivos dados. Aos meus colegas, pela colaboração a miha aquisição de ovos cohecimetos, e pelo compartilhameto de eperiêcias. A CAPES pelo apoio fiaceiro.

8 Sumário Lista de figuras Lista de tabelas... Resumo... Abstract Itrodução Determiação da derivada de uma fução Reta Equação reduzida da reta Fução....4 Fução crescete e fução decrescete Valores máimo e míimo de uma fução Fução Afim Gráfico da fução afim e crescêcia/decrescêcia de fuções Fução defiida por poliômios (fução poliomial) Fuções poligoais Reta tagete a uma curva em um poto fio Derivadas de fuções poliomais Derivadas de fuções represetadas por poliômios Fução Afim Fução Costate Fução Quadrática Fução Poliomial Utilização de fuções poligoais para compreesão da reta tagete ao gráfico de fuções poliomiais Valor máimo e valor míimo de fuções poliomiais Situações problemas solucioadas através da derivada Cosiderações fiais Referêcias Bibliográficas... 8

9 Lista de figuras Figura - Represetação gráfica da reta r utilizado os potos A e B... 8 Figura - Represetação gráfica da reta r utilizado o poto B e o âgulo () formado pela reta e o eio das abscissas... 9 Figura 3 - Represetação gráfica de uma reta r determiada pelos potos A, B e pelo âgulo... 0 Figura 4 - Represetação gráfica da reta r a partir dos potos A, B, X e do âgulo... Figura 5 - Represetação gráfica de uma fução liear crescete... 3 Figura 6 - Represetação gráfica de uma fução liear decrescete... 3 Figura 7 - Represetação gráfica de uma fução f crescete e decrescete... 4 Figura 8 - Gráfico de uma fução cotedo valores etremos... 5 Figura 9 - Gráfico de uma fução cotedo valores etremos... 5 Figura 0 - Gráfico de uma fução afim crescete... 8 Figura - Gráfico de uma fução afim decrescete... 8 Figura - Gráfico de uma fução costate... 9 Figura 3 - Gráfico da fução poligoal f... 3 Figura 4 - Gráfico da fução poliomial g... 3 Figura 5 - Gráfico da fução poliomial h... 3 Figura 6 - Gráfico cotedo a reta secate PQ e a curva C Figura 7 - Gráfico cotedo várias retas secates PQ em relação à curva C; Q aproimado-se pela direita de P Figura 8 - Gráfico cotedo várias retas secates PQ em relação à curva C; Q aproimado-se pela direita de P Figura 9 - Gráfico cotedo a reta tagete t obtida pelo deslocameto do poto Q em direção ao poto P, em relação à curva C... 35

10 Figura 0 - Gráfico da fução Figura - Gráfico da fução afim f() = / Figura - Gráfico da fução costate f()= Figura 3 - Gráfico da fução quadrática f()= Figura 4 - Retas secates ao gráfico de f o itervalo defiido Figura 5 - Retas secates ao gráfico de f o itervalo defiido Figura 6 - Retas secates com coeficiete agular ulo Figura 7 - Gráfico associado à tabela Figura 8 - Gráfico associado à tabela Figura 9 - Gráfico associado à tabela Figura 30 - Gráfico associado à tabela Figura 3 - Gráfico associado à tabela Figura 3 - Gráfico associado à tabela Figura 33 Gráfico de uma fução poligoal p() Figura 34 - Gráfico de uma fução poligoal p() Figura 35 - Gráfico de uma fução poligoal p3() Figura 36 - Gráfico de uma fução poligoal p4() Figura 37 - Gráfico de uma fução poligoal p5() Figura 38 - Gráfico de uma fução poligoal p6() Figura 39 - Gráfico de uma fução poligoal p7() Figura 40 - Gráfico de uma fução poligoal p8() Figura 4 - Gráfico de uma fução poligoal p9() Figura 4 - Gráfico de uma fução poligoal p0() Figura 43 - Gráfico de uma fução poligoal p() Figura 44 - Gráficos das fuções P e p Figura 45 - Gráficos das fuções P e p, e retas secates XX... 6 Figura 46 - Retas tagetes ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é positivo... 6 Figura 47 - Gráficos das fuções P e p, e retas secates XX... 6

11 Figura 48 - Retas tagetes ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é egativo Figura 49 - Retas tagetes e secates ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é ulo Figura 50 - Figura cotedo o gráfico da parábola f, retas tagetes em um poto P e fução poligoal p Figura 5 - Gráfico da fução f com etremos relativos Figura 5 - Gráfico da fução f sem etremos relativos Figura 53 - Arame e costrução das figuras circular e quadrada Figura 54 - Gráfico da fução A() cotedo retas tagetes... 7 Figura 55 - Pedaço de papelão trasformado em uma caia com medidas determiadas... 7 Figura 56 - Gráfico da fução V() cotedo retas tagetes Figura 57 - Gráfico da fução P() cotedo retas tagetes com mesmo coeficiete agular Figura 58 - Gráfico da fução f() cotedo uma reta tagete cujo coeficiete agular é egativo Figura 59 - Gráfico da fução f() cotedo retas tagetes cujo coeficiete agular é ulo... 79

12 Lista de tabelas Tabela - Potos P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ Tabela - Potos P e Q, P fio e Q móvel, e coeficiete agular da reta secate PQ Tabela 3 - Poto P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ... 4 Tabela 4 - Potos P e Q, P fio e Q móvel, e coeficiete agular da reta secate PQ... 4 Tabela 5 - Poto P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ Tabela 6 - Potos P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ Tabela 7 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P Tabela 8 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P Tabela 9 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P Tabela 0 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P Tabela - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P... 5 Tabela - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P... 5

13 Resumo O esio do Cálculo é proposto atualmete por diversos livros didáticos do Esio Médio. No etato é icomum, a maioria das escolas, aulas de matemática abordado coteúdos como limites e derivadas. O presete trabalho cosiste uma proposta a ser desevolvida pelos professores em relação ao esio de derivadas de fuções represetadas por poliômios, também deomiadas fuções poliomiais, a Educação Básica, especificamete o Esio Médio, efatizado ideias como a icliação de retas tagetes e abordado problemas práticos cuja resolução se faz por meio de derivação.

14 Abstract The teachig of calculus is curretly proposed by may high school tetbooks. However it is uusual, i most schools, math classes coverig cotets as limits ad derivatives. This work is a proposal cocerig the teachig of differetiatio of polyomial fuctios i Secodary School, most specifically i High School, emphasizig ideas like slope of taget lies ad addressig practical problems whose solutio is through the differetiatio.

15 4 Itrodução A Educação o Brasil vem mudado, pricipalmete as últimas décadas. Podemos demostrar a eistêcia dessas alterações através da criação das Leis de Diretrizes e Bases da Educação Nacioal (Lei 9394/96), dos Parâmetros Curriculares Nacioais (PCN), das resoluções e pareceres do Coselho Nacioal de Educação (CNE). A L.D.B. disciplia a educação escolar desevolvida, em sua maioria, por meio do esio, em istituições peculiares, os PCN estabelecem diretrizes para estruturação e reestruturação dos currículos escolares o Brasil e o CNE, órgão ligado ao Miistério da Educação, aprimora e cosolida a Educação Nacioal, garatido a participação da sociedade. O Esio Médio, compoete da Educação Básica em sua etapa fial, tem como duas de suas fialidades a preparação básica para o trabalho e a cidadaia do educado, para cotiuar aprededo, de modo a ser capaz de se adaptar com fleibilidade a ovas codições de ocupação ou aperfeiçoameto posteriores e a compreesão dos fudametos cietífico-tecológicos dos processos produtivos, relacioado a teoria com a prática, o esio de cada disciplia (LDB, 996). Nessa etapa de estudo, em que já se pode cosiderar o aluo com uma maior maturidade, os objetivos educacioais podem atigir uma maior ambição formativa, seja em termos relacioados às iformações tratadas, aos procedimetos e atitudes evolvidas, seja em termos das competêcias, habilidades e dos valores desevolvidos (PCN, 000, p.6). No que tage ao esio da matemática, coforme as Orietações Curriculares para o Esio Médio, ao fial desse ível de esio, espera-se que os aluos compreedam a utilização da Matemática a resolução de problemas práticos do cotidiao; modelem feômeos em outras áreas do cohecimeto; etedam que a Matemática é uma ciêcia com características peculiares, orgaizada por teoremas e demostrações; etedam a Matemática como um

16 5 cohecimeto social e historicamete costruído; saibam dar apreço a importâcia da Matemática o desevolvimeto cietífico e tecológico. (BRASIL, 006, p.69) Em se tratado de avaço cietífico e tecológico, cosideremos de grade importâcia o esio do cálculo a Educação Básica. Muitos autores destacam essa importâcia: [...] Ao cotrario do que se pesa em geral, pode-se afirmar que parte sigificativa dos problemas de apredizagem do atual esio de Cálculo esta fora dele e é aterior iclusive ao seu tempo de eecução. Não se trata apeas da tão propalada falta de base dos estudates, como afirma a grade maioria dos ossos colegas professores. [...] Assim, ao ivés de se fazer meção a uma falta de base dos estudates, o que se precisa fazer, de fato, e estabelecer os coceitos básicos e ecessários para se apreder as ideias básicas do Cálculo. [...] (Rezede, 003, p. 3) Seria muito mais proveitoso que todo o tempo que hoje se gasta, o º grau, esiado formalismo e loga termiologia sobre fuções, que todo esse tempo fosse utilizado com o esio das oções básica do cálculo e suas aplicações Ávila (99, p. 8) Diate do eposto, e com base essa última citação, surgiu o iteresse em pesquisar sobre o esio de derivadas de fuções o esio médio. Algus livros didáticos (por eemplo, Guelli, 003; Machado, A.S.,99; Iezzi, G., Murakami, C. & Machado, N.J. 00), utilizados a terceira série do Esio Médio, possuem algus capítulos que tratam do assuto. A sequêcia de apresetação do coteúdo é iiciada pelo estudo de limite, taa de variação média e taa de variação istatâea. Essa é a maeira mais formal para defiição de derivada. Mas estudar derivada requer ecessariamete o estudo de fuções. No esio médio diversas fuções são estudadas, tais como fução afim, quadrática, epoecial, logarítmica, etre outras. E as represetações gráficas dessas fuções são fudametais para a compreesão da derivada. A capacidade de aalisar e iterpretar gráficos é muito importate em qualquer domíio cietífico. E, portato, ecessário levar os estudates a compreesão desse tema. Esta foi uma das coclusões do grupo que discutiu o esio de Matemática para as Biociêcias (Medicia e Biologia, icluido Física e Química) a ª reuião de Didática da matemática do Coe Sul, realizada em Motevidéu, em abril de 99. Nessa ocasião, os professores do º grau presetes reividicaram de seus colegas, professores uiversitários, material didático adequado as aplicações da

17 6 Matemática as outras ciêcias. Estes são aalisados com êfase a idetificação e iterpretação dos potos críticos. Seu coteúdo pode ser eplorado o º grau com o auílio das oções ituitivas de evolução cotíua, velocidade e aceleração, que fazem parte do cotidiao do aluo (Careiro, 99, p. 3). Com base o que foi citado, e a eperiêcia com aluos do esio médio, iteressamo-os em destacar as fuções deomiadas poliomiais e, a partir delas, promovermos estudos sobre os processos de derivação, efatizado a represetação gráfica, e utilizado situações do cotidiao imprescidíveis a compreesão da temática abordada. Resolução de problemas de juros ou de crescimeto de população (ou do aumeto do custo de vida, da divida etera etc.), cálculos de velocidades ou de taas de variações de outras gradezas, iterpretações de gráficos de fuções reais, resolução de problemas de otimização (de áreas, de orçametos domésticos etc.) são habilidades cada vez mais requisitadas para o eercício pleo da cidadaia em uma sociedade de crescete compleidade (Rezede, 003 p.37). Este trabalho cosiste em uma proposta para o esio de derivadas de fuções poliomiais, destiado aos educados do esio médio, cujo objetivo pricipal é promover o cálculo da derivada de uma fução poliomial, obtido de maeira diferete do que se apreseta os livros didáticos. Pretedemos aida associar a derivada ao estudo de fuções deomiadas poligoais, caracterizar os valores etremos de uma fução e elucidar situações-problemas cuja resolução ecessita do cohecimeto de derivadas e de valores etremos. Nessa perspectiva, também buscamos melhorar o desempeho dos aluos em disciplias iiciais de Cálculo o Esio Superior, pois compreedemos a importâcia da apresetação de coteúdos do cálculo o Esio Médio como embasameto para segmetos de esio mais avaçados, que por sua vez trabalham esses coteúdos com maior aprofudameto e efoque voltado às áreas em estudo

18 7 De fato, a ausêcia das ideias e problemas esseciais do Cálculo o esio básico de matemática, alem de ser um cotrasseso do poto de vista da evolução histórica do cohecimeto matemático, e, sem duvida, a pricipal fote dos obstáculos epistemológicos que surgem o esio superior de Calculo. Assim, fazer emergir o cohecimeto do Cálculo do escoderijo forcado a que este esta submetido o esio básico e, sem duvida, o primeiro grade passo para resolvermos efetivamete os problemas de apredizagem o esio superior de Cálculo.[...] (Rezede, 003, p 40.Grifos do autor.) A sequêcia de apresetação desse trabalho foi defiida a partir da perspectiva de esiar derivada. Portato, a primeira etapa cosiste da defiição de derivada alicerçada por diversos elemetos, tais como reta, equação reduzida da reta, fução, fução afim, fução poliomial, fução poligoal, valores etremos, reta tagete a uma curva e determiação da derivada. Muitos coceitos e defiições serão utilizados as etapas posteriores. A seguda etapa traz a derivada de fuções represetadas por poliômios, deomiada fução poliomial. Fuções afim, costate e quadrática são utilizadas como suporte para determiação da derivada, com posterior geeralização para quaisquer fuções poliomiais. Sequecialmete apresetamos a utilização das fuções poligoais para melhor compreesão do estudo da derivada de fuções poliomiais e determiamos os valores etremos por processos de derivação. E por fim, a última etapa, utilizamos situações-problema cujas resoluções são desevolvidas pelos cohecimetos adquiridos as etapas ateriores. Em relação aos coteúdos matemáticos descritos os capítulos, utilizamos diversos autores, mesclado iformações obtidas os materiais descritos as referêcias bibliográficas. Optamos por ão citá-los a todo mometo o teto, em virtude de uma melhor plasticidade de leitura deste trabalho.

19 8 Capítulo Determiação da derivada de uma fução.. Reta Para represetar uma reta o plao cartesiao é ecessária e suficiete uma das codições descritas abaio: ) Dois potos distitos pertecetes a reta devem ser cohecidos (Uma úica reta passa por eles). ) Um poto da reta e sua direção devem ser cohecidos (o âgulo ( ) formado pela reta e pelo eio das abscissas). Veja: Figura - Represetação gráfica da reta r utilizado os potos A e B.

20 9 Figura - Represetação gráfica da reta r utilizado o poto B e o âgulo () formado pela reta e o eio das abscissas. A reta é represetada por uma equação com formas distitas de apresetação. Detre as formas eistetes, estamos iteressados a forma reduzida da reta para o propósito deste trabalho.. Equação reduzida da reta Seja r uma reta que forma o âgulo com o eio das abscissas, itersectado o eio das coordeadas o poto B ( 0, b), e um poto qualquer A (, y) da reta.

21 0 Figura 3 - Represetação gráfica de uma reta r determiada pelos potos A, B e pelo âgulo. Vamos determiar a forma reduzida desta reta r. Pelo triâgulo ABC, retâgulo em C, temos: tg AC BC y b 0 y b Sedo tg a : tg a y b a y b y a b Segue-se que a equação y a b represeta a reta r. Em símbolos, escrevemos: r : y a b Essa epressão é deomiada equação reduzida da reta r, ode a, b IR, cosiderado que:

22 - a é a tagete do âgulo formado etre a reta r e o eio das abscissas, com setido positivo, cuja omeclatura é o coeficiete agular da reta r, ou, a icliação da reta, em relação ao eio ; - b correspode a ordeada do poto de iterseção etre o eio y e a reta r, sedo deomiado coeficiete liear da reta r. - e y são as coordeadas do poto A pertecete à reta r, sedo A geérico. Resta aalisar o caso em que são dados dois potos A, y ) e B, y ) distitos ( ( e queremos determiar a equação reduzida que passa por esses potos. Figura 4 - Represetação gráfica da reta r a partir dos potos A, B, X e do âgulo. A semelhaça de triâgulos os permite determiar o coeficiete agular que é dado por: a y y Necessitamos também determiar o coeficiete liear ( b ). De acordo com a equação reduzida da reta temos:

23 r : y a b e r : y a b Resolvedo o sistema formado pelas duas equações, obtemos: y y y a y a a a y y a. O coeficiete liear (b ) é: b y a y y y y y y y y y.3 Fução Dados dois cojutos quaisquer A, B, uma fução f : A B (lê-se: fução de A em B ) é uma regra que determia como correspoder a cada elemeto elemeto y f() B. A um Uma fução f : A B é composta de três elemetos: a) Domíio Cojuto ode a fução é defiida (cojuto A ); b) Cotradomíio Cojuto ode a fução assume valores (cojuto B ); c) Regra de associação ou lei de correspodêcia - Sua determiação cosiste em associar a cada elemeto A um úico elemeto f() B, sedo esse elemeto deomiado imagem de pela fução f. O uso da otação f() sigifica que f faz correspoder a o valor f (). De acordo com a regra estabelecida será obtido f() B a partir de qualquer A, com duas codições: ) Não há eceções: sempre eistirá f() para todo A ; ) Não há icerteza: a cada A sempre haverá um úico f() B.

24 3.4 Fução crescete e fução decrescete. Sejam f a fução f:a IR, com A IR, e, A. A fução f é: - crescete quado f ) f ( ); ( - decrescete quado f ) f ( ) ( Figura 5 - Represetação gráfica de uma fução liear crescete. Figura 6 - Represetação gráfica de uma fução liear decrescete.

25 4 - crescete em um itervalo I se f ( ) f ( ) sempre que em I. - decrescete em um itervalo I se f ( ) f ( ) sempre que em I. Figura 7 - Represetação gráfica de uma fução f crescete e decrescete. A Figura 7 mostra que a fução é crescete o itervalo ;0 e decrescete o itervalo 0 ;..5 Valores Máimo e Míimo de uma fução Uma fução f tem: a) Máimo absoluto em um úmero c se f ( c) f ( ) para todo pertecete ao domíio de f ( D ), ode f (c) é deomiado valor máimo absoluto de f em D. f f b) Míimo absoluto em um úmero c se f ( c) f ( ) para todo em D, ode f f (c) é deomiado valor míimo absoluto de f em D. f

26 5 c) Máimo local em um úmero c se f ( c) f ( ) quado estiver próimo de c, e f (c) é deomiado valor máimo local de f em D. f d) Míimo local em um úmero c se f ( c) f ( ) quado estiver próimo de c, e f (c) é deomiado valor míimo local de f em D. f O valor f (c) dos casos ateriores é deomiado valor etremo, podedo ser etremo absoluto ou local. Ilustremos abaio estes coceitos. Figura 8 - Gráfico de uma fução cotedo valores etremos. Figura 9 - Gráfico de uma fução cotedo valores etremos.

27 6 Sejam A ( a, f ( a)), B ( b, f ( b)), C ( c, f ( c)) potos referetes aos gráficos das Figuras 8 e 9 os quais cotém valores etremos. Na figura 8, o valor f (a) é descrito apeas como máimo local, já que eistem outros valores da imagem da fução ( f () ) maiores que. Os potos B e C eprimem tato o míimo local quato o míimo absoluto, represetado por f (b) e f (c) figura 9, f (a) e f (c), que por sua vez são iguais. Na são máimos locais, e o primeiro destes também é máimo absoluto, pois correspode ao maior valor da imagem de f em todo o seu domíio. Já f (b) é míimo local, apeas, por eistir f () < f (b)..6 Fução Afim Deomiamos de fução afim toda fução f:ir IR defiida por f() a b, com a,b IR. Sejam e dois valores distitos do domíio da fução afim, ou seja,,. Em cosequêcia teremos: f D, f ( e f ( ) Aida podemos escrever: ) a b a b f ( ) a b e Por fim: f ( ) a b

28 7 f ( ) a a a a( ) a f ( ) a f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) O úmero a é deomiado taa de variação, podedo ser represetado da seguite maeira: f ( ) a A fução afim crescete possui uma taa de variação positiva ( a 0 ), equato a fução afim decrescete tem taa de variação egativa ( a 0). A represetação geométrica o plao cartesiao da fução afim é uma reta. Observe a relação algébrica: Equação da reta: y a b Fução afim: f ( ) a b Assim pode-se dizer que o sigificado geométrico do coeficiete a é o de coeficiete agular da reta a qual represeta o gráfico da fução afim..7 Gráfico da fução afim e crescimeto/decrescimeto de fuções. Uma fução afim f ( ) a b pode apresetar três represetações gráficas distitas. ª) Se a fução afim é crescete, a reta que a represeta graficamete tem coeficiete agular positivo, ou seja, a 0, pois o âgulo de icliação é meor que 90 (âgulo medido o setido ati-horário a partir do eio ). Veja figura:

29 8 Figura 0 - Gráfico de uma fução afim crescete. ª) Se a fução afim é decrescete, graficamete temos uma reta, que a represeta, cujo coeficiete agular será egativo, ou seja, a 0, porque o âgulo de icliação é maior que 90. Veja figura: Figura - Gráfico de uma fução afim decrescete. 3ª) A fução afim que ão é crescete, em decrescete é deomiada fução costate, pois a imagem da fução cosiste de um úico valor. Neste caso seu

30 9 gráfico é uma reta com coeficiete agular ulo ( a 0 ), isto é, uma reta paralela ao eio das abscissas. Veja: Figura - Gráfico de uma fução costate..8 Fução defiida por poliômios (fução poliomial). Uma fução f é deomiada fução poliomial se f ( ) a a... a a a 0 ode é um úmero iteiro positivo, e os úmeros a,...,, a, a a são costates 0 chamadas coeficietes do poliômio. Qualquer fução determiada por um poliômio possui como domíio o cojuto IR. Como eemplos podemos citar as fuções: - Afim: Forma geral: f ( ) a a 0

31 30 Forma particular: f ( ) Quadrática: Forma geral: f ( ) a a a 0 Forma particular: f ( ) Cúbica: Forma geral: 3 f ( ) a a a a 3 0 Forma particular: f ( ). 9 Fuções Poligoais. Dizemos que que para t, para t 0 f : IR IR é uma fução poligoal quado eistem t t... t tais 0 e em cada um dos itervalos t, uma fução afim f. Devemos ter f ( t ) f ( t ). i i i i i i t i, f coicide com Uma fução f : IR IR é poligoal quado seu gráfico é uma liha poligoal. Vamos eemplificar algumas fuções poligoais. Eemplo : Seja f a fução defiida por: se 0 f ( ) se 0 O gráfico de f é:

32 3 Figura 3 - Gráfico da fução poligoal f. Eemplo : Seja g a fução defiida por: se g ( ) se O gráfico de g é: Figura 4 - Gráfico da fução poliomial g.

33 3 Eemplo 3: Seja h a fução defiida por : h ( ) 3 O gráfico de h é: Figura 5 - Gráfico da fução poliomial h.. 0 Reta Tagete a uma Curva em um Poto Fio. Seja C o gráfico (Figura 6) da fução y f (). Fiamos em C um poto P (, f ( )), cosideramos um poto viziho Q (, f ( )), ode, e calculamos o coeficiete agular da reta secate PQ, defiido pela tagete do âgulo, represetado por m : PQ m PQ f ( ) f ( ) ()

34 33 Figura 6 - Gráfico cotedo a reta secate PQ e a curva C. Para aproimar Q ao poto P ao logo da curva C fazemos teder à ) (. Essa aproimação pode ocorrer tato à esquerda quato à direita de P, resultado uma família de retas secates cujo coeficiete agular é determiado pela equação (). Figura 7 - Gráfico cotedo várias retas secates PQ em relação à curva C; Q aproimado-se pela direita de P.

35 34 Figura 8 - Gráfico cotedo várias retas secates PQ em relação à curva C; Q aproimado-se pela direita de P. Todas essas retas secates se aproimam a úica reta. Tal reta chamamos de reta tagete t à curva C o poto P. Nesse caso, os coeficietes agulares m se PQ aproimam a um umero real m. Deotamos isto como: m PQ m, se Assim a reta tagete t à curva C o poto P terá coeficiete agular m. Em otações: f ( ) f ( ) m PQ m, se ()

36 35 Figura 9 - Gráfico cotedo a reta tagete t obtida pelo deslocameto do poto Q em direção ao poto P, em relação à curva C. Deotaremos o coeficiete agular da reta tagete à curva de y f () que passa pelo poto, f ( )) por m f ( ). O valor f ( ) é deomiado derivada de f ( ' ' em. A equação reduzida da reta tagete t será: y A derivada de f, deotada por f '( ) f ( ) f '( ) f ', é a fução cujo valor em é f '( ). Quado f '( ) eiste para todo D f, podemos dizer que a fução f () é ' derivável em todo o seu domíio. A derivada de f em é úica, pois o coeficiete agular da reta que a represeta possui um úico valor. Como foi dito, a reta é tagete a uma curva em um poto fio. Nem toda fução é derivável em todo o seu domíio. Seja r a fução defiida por r( ). Essa fução, deomiada fução modular, pode ser defiida da seguite maeira:, se 0. r ( ), se 0.

37 36 A fução r é uma fução poligoal, cujo gráfico correspode a uma liha poligoal. Figura 0 - Gráfico da fução. Se o poto X (, r( )) se aproima à esquerda do poto O( 0, 0 ), a reta secate obtida, que passa por esses potos, terá sempre coeficiete agular igual a -. Veja: r( ) r(0) m XO. 0 Se o poto X (, r( )) se aproima à direita do poto O( 0, 0 ), a reta secate que os cotém terá sempre coeficiete agular igual a. Veja: r( ) r(0) m XO. 0 Isso sigifica dizer que a reta tagete ao gráfico de r o poto O( 0, 0 ) terá dois coeficietes agulares: - e. Temos uma icoerêcia. Portato, cocluímos que ão há derivada da fução r () quado 0. No etato, eiste derivada para os demais valores de que fazem parte do domíio de r, pois fazedo X (, r( )) se aproimar de P, r( )) teremos: - Para 0 : (

38 37 ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( r r r. - Para 0 : ) ( ) ( ) '( r r r.

39 38 Capítulo 3 Derivadas de fuções poliomiais. 3. Derivadas de fuções represetadas por poliômios. 3.. Fução Afim Seja f a fução afim defiida por f ( ), de represetação gráfica: Figura Gráfico da fução afim f() = / -. O coeficiete agular da reta que represeta f é. O coeficiete agular das retas secates para potos P, f ( )) e Q, f ( )) distitos o itervalo [-,] é: ( ( m PQ y f ( ) f ( ),

40 39 Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (-;-) (-;-3/) ½ (-;-3/) (0,-) ½ (0,-) (;-/) ½ (;-/) (,0) ½ Tabela Potos P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ. Fiado o poto P, f ( )), e usado o poto Q, f ( )) próimo a P, temos: ( ( Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (0;-) (-0,5;-,5) ½ (0;-) (-0,;-,05) ½ (0,-) (0,0;-0,995) ½ (0;-) (0,00;-0,9995) ½ Tabela Potos P e Q, P fio e Q móvel, e coeficiete agular da reta secate PQ. A fução é crescete ( f ) f ( ) ) e o coeficiete agular da reta ( secate PQé positivo ( m 0 ) e costate. PQ O coeficiete agular da reta secate PQ para quaisquer potos P e Q distitos é: m PQ f ( ) f ( ) Logo, m 0. PQ O coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução f em um poto P(, f ( )) será, pois: m PQ m,,

41 40 e m é costate (e úico!) PQ Etão, a derivada da fução f ( ) o poto P (, f ( )) terá valor, deotado por Por coseguite: Sejam f '( ). f '( ), Df f ( ) a b, a, b IR uma fução afim, P, f ( )) e Q (, f ( )) potos do plao cartesiao. Temos: ( m PQ f ( ) f a b a b a, a a a( ) Logo, a é o coeficiete agular da reta secate PQ. O coeficiete agular da reta tagete à fução afim f em qualquer poto P, f ( )) é a, já que: ( ou seja, m a. m PQ m, quado A derivada da fução f em P, f ( )) é: Logo, a derivada da fução f é: ( f '( ) a. f '( ) a Coclusão:

42 4 O coeficiete da reta que tagecia o gráfico de qualquer fução afim é obtido pela a derivada. Fução afim: f ( ) a b, para todo D. f Derivada da fução afim: f '( ) a, para todo D. f Coeficiete da reta tagete ao gráfico de f para todo 3.. Fução costate. D será m a f Seja f a fução costate defiida por f ( ) 5, graficamete represetada abaio: Figura Gráfico da fução costate f()=5. O coeficiete agular da reta que represeta f é 0 (zero). O coeficiete agular das retas secates para potos P, f ( )) e Q, f ( )) distitos o itervalo [-,3] é: ( (

43 4 m PQ y f ( ) f ( ), Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (-;5) (0;5) 0 (0;5) (;5) 0 (;5) (;5) 0 (;5) (3;5) 0 Tabela 3 Poto P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ. Fiado o poto P e usado Q próimo a P, obtemos: Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (0,5) (9,99;5) 0 (0,5) (9,99999;5) 0 (0,5) (0,000;5) 0 (0,5) (0,000000;5) 0 Tabela 4 - Potos P e Q, P fio e Q móvel, e coeficiete agular da reta secate PQ. Para todo f ) f ( )). O coeficiete agular da reta secate PQ é ulo ( m 0 ). PQ ( O coeficiete agular da reta secate PQ para quaisquer potos P e Q distitos é: m PQ f ( ) f Logo, m 0. PQ O coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução f em um poto P(, f ( )) será 0 (zero), pois m PQ m,, ou seja, m 0.

44 43 Portato: - A derivada de f em é f '( ) 0; - A derivada de f em é f '( ) 0 Dados a fução costate f ( ) b, b IR, e os potos P, f ( )) e Q (, f ( )), ( determiemos m : PQ m PQ f ( ) f b b 0, 0 Logo, 0 (zero) é o coeficiete agular da reta secate PQ. O coeficiete agular da reta tagete à fução afim f em qualquer poto P, f ( )) é 0 (zero), já que: ( m PQ m, quado ou seja, m 0. A derivada da fução f em P, f ( )) é: Logo, a derivada da fução f é: Coclusão: ( f '( ) 0. f '( ) 0 A derivada da fução costate é um caso particular da derivada da fução afim, assim como a fução costate é uma particularidade da fução afim. Fução costate: f ( ) b, para todo D. f Derivada da fução costate: f '( ) 0, para todo D. f Coeficiete da reta tagete ao gráfico de f para todo será m 0 Df

45 Fução Quadrática Seja f a fução quadrática defiida por f ( ) 5 6. Figura 3 Gráfico da fução quadrática f()= Pretedemos determiar o coeficiete agular da reta secate para potos P, f ( )) e Q, f ( )) em dois itervalos, associados ao vértice da parábola: ( ( 5 itervalo: ; Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (-5;56) (-4;4) -4 (-3;30) (-;0) -0 (-;) (0;6) -6 (;) (;0) - (;0) (,5;-0,5) -0,5 Tabela 5 Poto P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ. No itervalo dado, a fução é decrescete ( f ) f ( ) ) e os ( coeficietes agulares das retas secates PQ são egativos ( m 0 ). PQ

46 45 Figura 4 Retas secates ao gráfico de f o itervalo defiido. As retas secates à parábola possuem coeficiete agular egativo, porém esse valor ão é costate. 5 itervalo: ; Poto P Poto Q Coeficiete agular da reta secate PQ (,5;-0,5) (3;0) 0,5 (3;0) (4;) (4;) (4,5;3,75) 3,5 (4,5;3,75) (5;6) 4,5 (5;6) (6;) 6 Tabela 6 Potos P e Q, e coeficiete agular da reta secate PQ. Neste itervalo, a fução é crescete ( f ) f ( ) ) e os coeficietes ( agulares das retas secates PQ são positivos ( m 0 ). PQ

47 46 Figura 5 Retas secates ao gráfico de f o itervalo defiido. As retas secates à parábola possuem coeficiete agular positivo, etretato esse valor ão é costate. O coeficiete agular da reta secate PQ para qualquer poto P e Q distitos será: ) ( f f m PQ Logo, PQ m é: ) positivo quado 5 ; ) egativo quado 5 ; 3) ulo quado 5. A Figura 6 traz retas secates cujo coeficiete agular é ulo (0), resultado em retas paralelas ao eio.

48 47 Figura 6 Retas secates com coeficiete agular ulo. h) Ituitivamete, vamos determiar o coeficiete de retas tagetes à parábola em P. Sedo P, f ( )) um poto fio e X (, f ( )) um poto geérico: ( 5 itervalo: ; Poto X Poto P Coeficiete agular da reta XP (0;6) (;) - 4 (0,5;3,75) (;) - 3,5 (0,9;,3) (;) - 3, (0,99;,030) (;) - 3,0 (0,9999;, ) (;) - 3,000 Tabela 7 Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P.

49 48 Figura 7 Gráfico associado à tabela 5. Poto X Poto P Coeficiete agular da reta XP (,5;0,75) (;) -,5 (,4;0,96) (;) -,6 (,;,7) (;) -,9 (,0;,970) (;) -,99 (,00;,99700) (;) -,999 Tabela 8 Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P.

50 49 Figura 8 Gráfico associado à tabela 6. A reta tagete à parábola o poto P terá, ituitivamete, coeficiete agular igual a 3. 5 itervalo: ; Poto X Poto P Coeficiete agular da reta XP (3,0) (3,5;0,75),5 (3,;0,4) (3,5;0,75),7 (3,4;0,56) (3,5;0,75),9 (3,49;0,730) (3,5;0,75),99 (3,499;0,74800) (3,5;0,75),999 Tabela 9 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P.

51 50 Figura 9 Gráfico associado à tabela 7. Poto X Poto P Coeficiete agular da reta XP (3,8;,44) (3,5;0,75),3 (3,6;0,96) (3,5;0,75), (3,5;0,770) (3,5;0,75),0 (3,50;0,750) (3,5;0,75),00 (3,500;0,750000) (3,5;0,75),000 Tabela 0 - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P. Figura 30 Gráfico associado à tabela 8.

52 5 A reta tagete à parábola o poto P terá, ituitivamete, coeficiete agular igual a. 3 itervalo: 5,, com P, (vértice da parábola) 4 Poto X Poto P Coeficiete agular da reta (,;-0,6) (,5;-0,5) 0,3 (,45;-0,475) (,5;-0,5) 0,05 (,49;-0,499) (,5;-0,5) 0,0 (,499;-0,49999) (,5;-0,5) 0,00 Tabela - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P. Poto X Poto P Coeficiete agular da reta (,6;-0,4) (,5;-0,5) - 0, (,54;-0,484) (,5;-0,5) - 0,04 (,5;-0,499) (,5;-0,5) - 0,0 (,50;-0,49999) (,5;-0,5) - 0,00 Tabela - Potos X e P, e valor aproimado do coeficiete agular da reta tagete a f em P. Figura 3 Gráfico associado à tabela 9.

53 5 Figura 3 Gráfico associado à tabela 0. A reta tagete à parábola o poto P terá, ituitivamete, coeficiete agular igual a 0. O coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução f em um poto P(, f ( )) é obtido por: m PQ m, Sedo m PQ 5 e sabedo que m é um valor úico para cada reta tagete ao gráfico de f o poto P, cocluímos que: m 5 5 Logo, a derivada da fução f ( ) 5 6 o poto P, f ( )) é: f '( ) E a derivada da fução f ( ) 5 6 é: 5 f '( ) 5 ( Seja f a fução quadrática f ( ) a b c, a, b, c IR. As retas secates ao gráfico de f os potos P, f ( )) e Q (, f ( )) terão coeficiete agular: (

54 53 m PQ f ( ) f a b c a b c a a b b b ( a a ) b a Logo, a b m PQ. b As retas tagetes ao gráfico de f o poto P, f ( )) terão coeficiete agular já que m PQ m, quado, ( b a b m a, Etão, a derivada da fução f em é: E a derivada da fução f () é: f '( ) a b f ( ) a b O coeficiete da reta que tagecia o gráfico de qualquer fução quadrática é obtido pela a derivada. Fução quadrática: f ( ) a b c, para todo D. f Derivada da fução quadrática: f '( ) a b, para todo D. f Coeficiete da reta tagete ao gráfico de f para todo será m a b Df 3..4 Fução poliomial Seja f a fução defiida por: f : IR IR, f ( ) a a a a a... 0

55 54 A derivada da fução f será determiada coforme procedimetos ateriores. Sedo )) (, ( f P e )) (, ( f Q, temos: ) ( ) ( ) ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a f f m PQ Portato, a a a m PQ O coeficiete da reta tagete ao gráfico da fução poliomial o poto P é: a a a a a a a a a a a a a a m Podemos cocluir que: a) 3.. ) ( ' a a a a f b) 3.. ) ( ' a a a a f 3. Utilização de fuções poligoais para compreesão da reta tagete ao gráfico de fuções poliomiais. Seja IR IR p : uma fução poligoal e IR IR f : uma fução afim, sedo IN. Observemos as figuras abaio:

56 55 Figura 33 Gráfico de uma fução poligoal p (). Figura 34 Gráfico de uma fução poligoal p ().

57 56 Figura 35 Gráfico de uma fução poligoal p 3(). Figura 36 Gráfico de uma fução poligoal p 4(). Os gráficos represetam as fuções poligoais crescetes. p que por sua vez são todas Cada fução poligoal p está associada a várias fuções afim f. Portato, em cada gráfico, todas as fuções afim associadas serão represetadas por retas cujo coeficiete agular é positivo.

58 57 Figura 37 Gráfico de uma fução poligoal p 5(). Figura 38 Gráfico de uma fução poligoal p 6().

59 58 Figura 39 Gráfico de uma fução poligoal p 7(). Figura 40 Gráfico de uma fução poligoal p 8(). As Figuras 37, 38, 39 e 40 possuem gráficos de fuções poligoais p decrescetes. As fuções afim f associadas a uma úica fução poligoal p, em cada gráfico, são represetadas graficamete por retas cujo coeficiete agular é egativo.

60 59 Figura 4 Gráfico de uma fução poligoal p 9(). Figura 4 Gráfico de uma fução poligoal p 0().

61 60 Figura 43 Gráfico de uma fução poligoal p (). Cada figura, esta última sequêcia, mostra o gráfico de uma fução poligoal p com itervalos que alteram crescimeto e decrescimeto. Portato, as fuções afim f associadas à fução poligoal coeficiete agular é positivo ou egativo. p serão represetadas por retas cujo Seja P : IR IR uma fução poliomial, cuja represetação gráfica abaio está associada ao gráfico de uma fução poligoal p. Figura 44 Gráficos das fuções P e p.

62 6 Sedo X, ) e X, ) potos geéricos comus ao gráfico das fuções P e ( y ( y p, vamos traçar retas secates X X os itervalos ode as fuções são ambas crescetes. Figura 45 Gráficos das fuções P e p, e retas secates X X. O coeficiete agular da reta X X é: y y m X 0, X g( ) g( ) f ( ) f ( ) Os coeficietes agulares dessas retas secates correspodem aos coeficietes agulares das represetações gráficas de fuções afim. As retas tagetes ao gráfico de P o poto X (, y ) terão coeficiete agular positivo ( m 0 ).

63 6 Figura 46 Retas tagetes ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é positivo. Portato, a derivada da fução P os itervalos ode a fução é crescete tem valor positivo, isto é, P ' 0. Se as retas secates X X forem traçadas os itervalos ode as fuções P e são decrescetes, etão as retas tagetes ao gráfico de P o poto X (, y ) terão coeficiete agular egativo ( m 0), e a derivada da fução P tem valor egativo, isto é, P ' 0. p y y m X 0, X g( ) g( ) f ( ) f ( ) Figura 47 - Gráficos das fuções P e p, e retas secates X X.

64 63 Figura 48 - Retas tagetes ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é egativo. O que ocorre quado o coeficiete agular da reta tagete à fução P muda de positivo para egativo, ou vice-versa? Retas secates XY ao gráfico da fução P com coeficiete agular igual a zero (0) promovem retas tagetes ao poto X que serão paralelas ao eio X. Figura 49 - Retas tagetes e secates ao gráfico da fução P cujo coeficiete agular é ulo. Etão cocluímos que, este caso, a derivada de P em X é igual a 0 (zero), ou seja, P ' 0.

65 64 O poto X ode P ' 0 correspode ao valor etremo da fução P. Veja a figura abaio: Figura 50 Figura cotedo o gráfico da parábola f, retas tagetes em um poto P e fução poligoal p. A figura cotém a fução quadrática f ( ), retas t tagetes à f e uma fução poligoal p, formada pelo poto P, poto comum a f e t, e Q poto de itersecção etre duas retas tagetes cujos coeficietes agulares possuem valores próimos. ( P está sempre etre dois potos Q ). O coeficiete agular da reta t o poto P é igual ao coeficiete agular da reta PQ represetate de uma fução afim associada à fução poligoal p. Tomado P como fio e fazedo o poto P aproimar-se de P, cosequetemete teremos Q se aproimado de P também, pois Q é comum a P e P (itersecção das retas tagetes a P e P ). Portato, a fução poligoal p terá um traçado similar à curva de f, e por coseguite, o coeficiete agular da reta P Q se aproima do coeficiete agular da reta tagete a P.

66 65 Por fim, com base os estudos ateriores, podemos afirmar que a derivada da fução f em um poto P, ou seja, agular de todas as retas tagetes à f. f ', é a fução p, resposável pelo coeficiete 3.3 Valor máimo e valor míimo fuções poliomiais. A derivada de uma fução possui como represetação geométrica a reta tagete ao gráfico dessa mesma fução. Coforme vimos ateriormete temos a seguite situação: a) f '( ) 0 sigifica dizer que a reta tagete é ascedete, ou aida, que o gráfico da fução tem imagem crescete em certo itervalo. b) f '( ) 0 correspode a uma reta tagete descedete, ou aida, que gráfico da fução possui imagem decrescete em certo itervalo. c) f '( ) 0 evidecia uma reta tagete paralela. De acordo com a defiição de máimo e míimo afirmamos que: - Se o sial de f ' mudar de positivo para egativo em c, etão f tem um máimo local em c ; - Se o sial de f ' mudar de egativo para positivo em c, etão f tem um míimo local em c ; - Se f ' ão mudar de positivo para egativo, ou vice-versa, em c, etão f ão tem um máimo ou míimo locais em c ;

67 66 Figura 5 Gráfico da fução f com etremos relativos. Em relação à Figura 5, o poto B represeta o máimo local de f, pois f ' passa de positivo para egativo, e o poto A represeta o míimo local de f, pois passa de egativo para positivo. Nesses potos, f ' 0. f ' Figura 5 Gráfico da fução f sem etremos relativos. Na Figura 5, a fução f ão possui etremos relativos, pois ão há mudaça de sial para f '.

68 67 Capítulo 4 Situações-problemas solucioadas através da derivada. 4. Aplicabilidade das derivadas de fuções poliomiais em evetos diversos. Utilizado algus eemplos correspodetes a situações diversas, iclusive do cotidiao, vamos mostrar a utilização das derivadas de fuções represetadas por poliômios efatizado a determiação dos valores de máimo e/ou míimo. Eemplo : Um pedaço de arame com 0 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada a forma circular e a outra a forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que: a) a área combiada das duas figuras seja a meor possível; b) a área combiada das duas figuras seja a maior possível. Ates do processo resolutivo matemático deste eemplo, seria iteressate criar com os aluos estratégias para a solução do problema proposto, iclusive a utilização de images as quais auiliassem a compreesão e solução. Veja: Figura 53 Arame e costrução das figuras circular e quadrada.

69 68 A resolução para esta situação será assim descrita: a) Sejam e y os pedaços de arame utilizados para costruir cada figura determiada. Sedo assim: ) Figura circular - Comprimeto do arame: - Sedo r o raio do circulo, temos: r r - A área da região será: A C r 4 ) Figura quadrada - Comprimeto do arame: y 0 - Sedo l a medida do lado do quadrado, temos? l l 4 - A área da região será: A Q l ) Figuras combiadas - Área das figuras combiadas A A C A Q (4 )

70 69 Seja A() a fução correspodete a área combiada das figuras em estudo, sedo o domíio da mesma represetado pelo itervalo [0,0]. Vamos derivar a fução A(): - Derivado: (4 ) A '( ) 6 ' Agora determiemos os valores ode a derivada é ula: A ' 0 Aalisado, obtemos: A '( ) 0 quado - A '( ) 0 quado Podemos cocluir que a fução A () possui míimo quado trasição de A '( ) 0 para A '( ) 0. 0 pela 4 Logo, os tamahos para cada pedaço serão: Portato teremos: - Forma circular: 0 e r r r O raio do círculo deverá ser 4 5 m.

71 70 - Forma quadrada: l l l O lado do quadrado deverá ser 0 m. 4 b) A área combiada das figuras foi represetada pela fução: (4 ) A ( ) A aálise da derivada dessa fução determiou apeas a possibilidade de eistir míimo local. Sedo assim, o máimo ocorrerá os etremos do itervalo correspodete a imagem da fução, lembrado que o domíio é represetado pelo itervalo [0;0]. Portato ) Se costruirmos somete o círculo, teremos: A C r ) Se costruirmos somete o quadrado, teremos: 0 A Q l 6, Logo, o ideal é costruirmos apeas um círculo com raio igual a 5 m. Graficamete podemos observar o seguite:

72 7 Figura 54 Gráfico da fução A() cotedo retas tagetes. - A parábola correspodete à liha potilhada refere-se à fução quadrática (4 ) 0 00 f ( ). 6 - A curva de cor sólida correspode à fução (4 ) 0 00 A ( ). 6 - A reta tagete à curva o poto A possui que coeficiete agular ulo determia o valor míimo citado ateriormete. - Pelo traçado percebemos que a curva possui valor máimo em suas etremidades, fato abordado a seguda parte da resolução desse eemplo. Eemplo : Deseja-se costruir uma caia aberta com um pedaço de papelão de formato retagular cujas medidas são 08 cm X 5 cm. Para isso será ecessário cortar quadrados iguais dos quatro catos e dobrá-los para cima. Qual seria o comprimeto do lado do quadrado a ser cortado para obtermos uma caia com maior volume possível? Qual seria esse volume?

73 Figura 55 Pedaço de papelão trasformado em uma caia com medidas determiadas. A caia de papelão correspode a um sólido geométrico deomiado paralelepípedo. Portato, para determiarmos o volume da caia devemos efetuar o produto etre as medidas de largura, comprimeto e profudidade. Sedo assim, temos: V L C P Seja a medida dos quadrados a serem cortados. Sedo assim, o volume será obtido através da fução V() defiida como: V ( ) (8 ) (5 ) Observe que a fução V tem como domíio [ 0,4]. Podemos escrever: V 3 ( ) A fução V() é represetada por um poliômio de grau 3. Sedo assim, a derivada da fução será: V' ( )

74 73 Para determiarmos um etremo local, devemos determiar um valor para tal que V () = 0. Etão temos: V '( ) Portato os valores = 6 ou = 5/3 fazem V ()=0. Aalisado a imagem de V (), temos: V () > 0 quado < 5/3 e > 6. V () < 0 quado 5/3 < < 6. Notamos que a fução possui: Máimo local em = 5/3, pois há trasição de f () > 0 para f () < 0. Míimo local em = 6, pois há trasição de f () < 0 para f () > 0. Já que a fução em estudo tem como domíio o cojuto [0,4], utilizaremos apeas o valor de = 5/3. Lembramos que o objetivo é determiar o valor das medidas do quadrado a ser cortado, sedo, portato esse valor igual a 5/3 cm. O volume máimo para caia costruída com recortes de 5/3 cm será: V Logo, o volume máimo será aproimadamete 90,74 cm³. Podemos descrever o eveto graficamete a figura 56:

75 74 Figura 56 Gráfico da fução V() cotedo retas tagetes. - A curva correspodete à liha potilhada refere-se à fução cúbica f ( ) A curva de cor sólida correspode à fução V( ) A reta tagete à curva o poto A possui que coeficiete agular ulo determia o valor máimo citado ateriormete. - Pelo traçado percebemos que a curva referete ao eemplo possui valor míimo em suas etremidades, ocorredo os etremos do itervalo [0,4]. Eemplo 3 Determie dois úmeros cuja difereça seja 00 e cujo produto seja o meor possível. De acordo com o problema proposto temos: - Números: e w. - Soma: w Produto: w P

76 75 Podemos escrever: w 00 w 00. E aida: P w ( 00) 00 Seja P () a fução defiida pelo poliômio acima, ou seja, P( ) 00. A derivada da fução P () será: P '( ) 00. Temos aida: P '( ) Observe que: Sedo 50, obtemos o valor míimo para a fução. Isso ocorre porque esse valor há trasição de P '( ) 0 para P '( ) 0, pois: - P '( ) 0 quado 50 - P '( ) 0 quado 50. Portato os úmeros serão: 50 e w Eiste algo iteressate a iterpretação geométrica desse problema o qual poderíamos discutir. Supohamos valores distitos para as difereças etre os úmeros. Sedo esse valor deomiado a teremos:

77 76 ) w a w a ) P w ( a) a 3) P( ) a. 4) P' ( ) a 5) P' ( ) 0 a 0 a / 6) P '( ) 0 quado a / e P '( ) 0 quado a /. Isso sigifica dizer que: i) Há diversas fuções quadráticas associadas ao eveto, sedo elas da forma P( ) a ( a). ii) Todas as derivadas são descritas da seguite maeira: P' ( ) a. iii) Sempre eistirá um valor míimo para as fuções em estudo. Observe a represetação geométrica abaio: Figura 57- Gráfico da fução P() cotedo retas tagetes com mesmo coeficiete agular.

78 77 Trata-se de três parábolas referetes a três fuções particulares para a fução geral P( ) a. Notamos que apesar das difereças a disposição do plao cartesiao temos: - Retas tagetes paralelas ao eio, caracterizado icliação com valor ulo, ou seja, P '( ) 0 para cada uma das parábolas. - Retas tagetes paralelas ão-ulas, ou seja, com mesma icliação, apesar da eistêcia de parábolas distitas, já que Eemplo 4. P' ( ) a para toda P( ) a. A posição de uma partícula é dada pela equação s t 3 6t 9t ode t é medido em segudos e s em metros. Podemos dizer que relação posição e tempo represeta uma fução. Sedo assim, escrevemos: 3 s f ( t) f ( t) t 6t 9t. Observe que a fução obtida correspode a uma fução cúbica (represetada por um poliômio de grau 3). Vamos respoder a algus questioametos: ) Qual a velocidade o istate de segudos? Falado de velocidade istatâea estaremos iserido a taa de variação istatâea e, dessa forma, a derivada. Etão: v ist s, quado t 0 t Ou seja, v ist f '( t).