Interpolação-Parte II Estudo do Erro

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1 Iterpolação-Parte II Estudo do Erro. Estudo do Erro a Iterpolação. Iterpolação Iversa 3. Grau do Poliômio Iterpolador 4. Fução Splie em Iterpolação 4. Splie Liear 4. Splie Cúbica

2 .Estudo do Erro a Iterpolação O erro em aproimar a fução f() por um poliômio iterpolador p (), de rau meor ou iual a, é: E ()f()-p () para todo de [, ]. Estudar o erro a iterpolação siifica saber o quão próimo f() está de p ().

3 .Estudo do Erro a Iterpolação Iterpolação liear de f () e f () f() p () f ( ) f ( )p ( ) f () f ( ) f ( )p ( ) f ()

4 .Estudo do Erro a Iterpolação Iterpolação liear de f () e f () por p (). O mesmo poliômio p () iterpola f () e f () em e. O erro E ()f ()-p () > E () f ()- p () para todo de (, ). O erro depede da cocavidade da curva, ou seja, de f () e f ().

5 .Estudo do Erro a Iterpolação Teorema : < < <... <, ( ) Sejam potos. Seja f() com derivadas até ordem () para todo em [, ]. Seja p () o poliômio iterpolador de f() os potos,,,...,. Etão, em qualquer poto do itervalo [, ] o erro é dado por E ()f()-p () (- )(- )...(- ) ξ (, ) ode. ( ξ ) ( ) f ( )!

6 .Estudo do Erro a Iterpolação Demostração:Teorema o Note que i para i,,..,, seue que G() (- )(- )...(- ) E (), loo a fórmula do erro está correta para i. o Defiido a fução H(t) E ()G(t)- E (t)g(), com, t, ( ) e i. Etão, H(t) tem derivadas e pelo meos zeros. Note que,,.., e são zeros de H(t). o Aplicado o Teorema de Rolle sucessivamete, vezes, demostra-se o teorema.

7 .Estudo do Erro a Iterpolação Teorema : Sejam potos. Seja p () o poliômio iterpolador de f() os potos,,,...,. Da forma de Newto E ()f()-p () (- )(- )...(- ) f[,,,...,,]. Portato, f [ < < <... <, ( ),, com. ( ),, ξ,...,, ] ( ξ ) ( ) f ( )! Demostração imediata.

8 .Estudo do Erro a Iterpolação Corolário: Estimativa do Erro. Sob as ipóteses dos teoremas e, temos que ode ( )! ) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( M p f E ( ) ( )., com ) ( ma f M

9 .Estudo do Erro a Iterpolação Corolário: Estimativa do Erro. Sob as ipóteses dos teoremas e, temos que ode ( )! ) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( M p f E ( )., com ],,...,, [ ma )! ( f M

10 Estimativa para o erro f () Seja dada a tabela: f() a) Obter f (.47) usado um poliômio de rau. b) Ecotrar uma estimativa para o erro.

11 Tabela de difereças Ordem Ordem Ordem Ordem

12 Estimativa para o erro Escoledo.4,.5,.6 p ( ) f ( ) ( ) f [, ] ( )( ) f [,, ].7 (.4) (.667) (.4)(.5) (.45) a) p(.47).78 f (.47) b) E(.47) (.47.4)(.47.5)(.47.6) 8.49 E(.47) p(.47).78 ±.9

13 . Iterpolação iversa f () Seja dada a tabela: f() Obter tal que f().3365 e ecotrar uma estimativa para o erro. Este é o problema da iterpolação iversa.

14 . Iterpolação iversa Solução versão : Obtea p () que iterpola f().3365 e determie. Problema: ão temos como estimar o erro cometido!!!!!!! Solução versão : Se f() for mootoicamete crescete ou decrescete o itervalo cosiderado, etão ela pode ser ivertida. Etão faça a iterpolação da fução iversa e calcule o erro.

15 Tabela de difereças divididas - Versão y Ordem Ordem Ordem Ordem y y y

16 Estimativa para o erro Escoledo,, p ( ) f ( y ) ( y y ) f [ y, y] ( y y )( y y) f [ y, y, y ]. ( y.4)(.778) ( y.4)( y.3494)(.78) a) p(.365).7487 b) E(.787) (.787.4)( )( ).994 E(.787) ±.

17 3. Grau do poliômio iterpolador Para a escola do rau do poliômio iterpolador: ) Costruir a tabela de difereças divididas; ) Eamiar as difereças a viziaça do poto de iteresse; Se as difereças de ordem forem praticamete costate, ou se as difereças de ordem variarem em toro de zero, o poliômio de rau será o que melor aproimará a fução a reião cosiderada.

18 3. Grau do poliômio iterpolador Seja f ( ) com os valores da tabela: f() Um poliômio de rau é uma boa aproimação para f ( )

19 3. Grau do poliômio iterpolador Ordem Ordem Ordem f ( )

20 3. Feômeo de Rue Questão: A seqüêcia {p ()} covere para f() o itervalo [a,b] se {,,..., } pertecem a {a,b] e tede ao ifiito? Iterpolado a fução f ( ) 5 o itervalo [-,] com i i para i,,..,.

21 3. Feômeo de Rue Iterpolação liear de f () e f () com P () f() - Solução : Utilizar Iterpolação Spie - Coverêcia aratida!!!!

22 4. Fução Splie em Iterpolação Feômeo de Rue é superado pela fução Splie. () Defiição: Seja tabelada para < < <... <. A fução S p () é deomiada splie de rau se: a) Em cada subitervalo [ i, i ], para i,,,..,( ), s p () é um poliômio de rau p. S p () b) é cotíua e tem derivadas cotíuas até ordem ( p ) em [ a, b]. c). f S p ( i ) f ( i ) para i,,..., p

23 4. Fução Splie Liear A fução splie liear iterpolate de f(), ou seja S () os ós,,...,, pode ser escrita em cada subitervalo [ i, i ] como s Note que S () é poliômio de rau o itervalo. s () é cotíua em todo itervalo Nos potos ós i i. [, ] i i i ( ) f ( i ) f ( i ) i i i i i s ( ) Loo, S () é a splie liear iterpolate de f(). f ( ) [, ] i i i

24 4. Fução Splie Liear Acar a fução splie liear que iterpola f() f ( ) Da defiição: s ( ) Aaloamete: f ( ) f ( ) s( ) s s ( ) ( 4) [,5] 3 ( ) [,] ( ) [ 5,7] 3

25 4. Fução Splie Liear Graficamete f() f() s () s () s 3 () 5 7

26 4. Fução Splie Quadrática As splie quadráticas tem derivadas cotíuas até ordem e portato a curvatura de S () ão é suave os ós. Seja a fução f ( ) para para [,3] [,] Note que a fução e sua derivada primeira são cotíuas em. Cotudo, sua derivada seuda, em, ão é cotíua.

27 4. Fução Splie Quadrática Graficamete

28 4. Fução Splie Quadrática Graficamete, vemos a descotiuidade da derivada seuda (curvatura). Cosidere aora a situação em que f() e sua derivada primeira são cotíuas em, cotudo ocorre mudaça de sial da derivada seuda em Esta é situação que ocorre o ajuste de splie quadrática. f ( ) 8 5 para para [,] [,3]

29 4. Fução Splie Quadrática Graficamete 8 5

30 4. Fução Splie Cúbica As splies cúbicas são as mais usadas. Uma splie cúbica S 3 () é uma fução poliomial por partes, cotíua, ode cada parte s () é um poliômio de rau 3 os itervalos [ -, ]. S 3 () tem derivadas primeira e seuda cotíuas, loo ão tem bicos e ão troca abruptamete a curvatura os ós.

31 4. Fução Splie Cúbica - Costrução A fução splie cúbica iterpolate de f(), ou seja S 3 (), os ós,,...,, pode ser escrita em cada subitervalo como poliômios de rau 3. Deotada por s () para,,...,, deve satisfazer:. S3 ( ) s ( ) para [, ],,,...,.. S3 ( i ) f ( i ) para i,,...,. 3. s ( ) s ( ) para,,...,. 4. s '( ) s '( ) para,,...,. 5. s ''( ) s ''( ) para,,...,.

32 4. Fução Splie Cúbica - Costrução Sejam as parte da splie cúbica dadas por 3 ( - ) b ( - ) c ( - ) d,,,...,. s ( ) a S 3 ( ) a, b, c, d, a, b, c, d O Cálculo de evolve a determiação de 4 coeficietes:,..., a Codições : satisfeitas por costrução. Codições : () codições os ós. Codições 3: (-) codições de cotiuidade de S 3 os ós. Codições 4: (-) codições de cotiuidade de S 3 os ós. Codições 5: (-) codições de cotiuidade de S 3 os ós. Total de 4- codições. Restam duas codições em aberto!!!, b, c, d.

33 4. Fução Splie Cúbica - Costrução Notação: Impodo as codições: ( ) ( )., '', y f s ( ) y y y y y y c y d b a 6 6,, 6.,..,, equações para que o sistema liear tem ( -) Note

34 4. Fução Splie Cúbica - Costrução Resta impor mais duas codições. Alterativas : Camada splie atural ( ) e S ''( ) S3 '' 3 Alterativa : Camada splie parabólica. e Alterativa 3: Impor icliações os etremos. ( ) A e S '( ) B S 3 ' 3 Geralmete quado temos iformações físicas do problema

35 4. Fução Splie Cúbica - Eemplo Acar a splie cúbica atural que iterpola f(.5) dada Temos 4 subitervalos iuais. Dadas resolvedo o sistema liear para f() ) ( ), ( ), ( ), ( 4 3 s s s s ( ) ( ) ( ) codições splie atural y y y y y y y y y ( ) 3 pois 3,

36 4. Fução Splie Cúbica - Eemplo Substituido os valores de resolvemos o sistema liear obtedo: y f ( ) e , 4., Calculamos a, b, c, d, e s( ), s ( ), s3 ( ), s4 ( ) Como queremos f(.5) fazemos f(.5) s(.5) s (.5) Sedo a 3 (.5 - ) b (.5 - ) c (.5 - ).5 s (.5).5348 d

37 5. EXERCÍCIOS Faça os seuites eercícios do capítulo 5 do livro teto. Eercícios: 9, e projeto páia 66.