10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão

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1 10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão 10.1 Itrodução Localizado o cetro de uma distribuição de dados, o próximo passo será verificar a dispersão desses dados, buscado uma medida para essa dispersão. As medidas de dispersão servem para idicar o quato os dados se apresetam dispersos em relação ao seu valor médio. Cosideremos os seguites exemplos: Uma fábrica deseja comparar o desempeho de dois empregados, com base a seguite produção diária de determiada peça: Seguda Terça Quarta Quita Sexta Empregado A Empregado B De acordo com os resultados da produção diária em cico dias, verifica-se que o desempeho médio do empregado A é de 70 peças produzidas diariamete, equato que a do empregado B é de 71 peças; observe, etretato, a difereça a variabilidade. A produção de A varia apeas de 69 a 71 peças, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peças, o que revela que o desempeho do empregado A é bem mais uiforme do que o empregado B. Um alto grau de uiformidade ou pequea dispersão costuma ser cosiderado com algo de qualidade desejável em um processo produtivo. Muitos bacos costumavam exigir que os clietes formassem filas separadas para os diversos guichês, mas recetemete passaram a adotar fila úica. Qual o motivo dessa modificação? O tempo médio de espera ão se modifica, porque a fila de espera ão afeta a eficiêcia dos caixas. A adoção de fila úica se deveu ao fato de os clietes preferirem tempos de espera mais cosistetes com meor variação. Assim é que milhares de bacos efetuaram uma modificação que resultou em uma variação meor (e clietes mais satisfeitos). Supoha que quatro aluos obtiveram, em cico provas, as otas apresetadas abaixo: Tabela 10.1 Notas de quatro aluos em cico provas Aluos Notas Média Atôio João José Pedro Estatística II...73

2 Todos os aluos obtiveram média igual a 5, mas a dispersão das otas em toro da média ão é a mesma para todos os aluos. A tabela acima mostra claramete que: As otas de Atôio ão variaram (a dispersão é ula). As otas de João variaram meos do que as otas de José (a dispersão das otas de João é meor do que a dispersão das otas de José). As otas de Pedro variaram mais do que as otas de todos os outros (a dispersão das otas de Pedro é a maior). Estas observações serão verificadas através das seguites medidas de variação ou de dispersão: amplitude total, variâcia, desvio-padrão e coeficiete de variação. 10. Amplitude Total Amplitude é a difereça etre o maior e o meor valor observado em um cojuto de dados. Usaremos a otação AT. Para os dados apresetados a Tabela 10.1 a amplitude total será: Aluos AT Atôio AT = 5 5 = 0 João AT = 6 4 = José AT = 10 0 = 10 Pedro AT = 10 0 = 10 A amplitude em sempre capta certas difereças. No caso das otas dos aluos, a amplitude mostra, que as otas de Atôio ão variaram e que as otas de João variaram meos do que as otas de José. Etretato a amplitude ão mostra que as otas de Pedro variaram mais do que as otas de José. A amplitude ão mede bem a dispersão dos dados porque, em seu cálculo, usam-se apeas os valores extremos e ão todos os dados. Etão, dois cojutos de dados podem apresetar a mesma amplitude, mesmo que teham dispersão diferete. Embora fácil de calcular e de iterpretar, ão deve ser usada ormalmete como medida de dispersão. Isto porque a amplitude em sempre distigue cojutos com dispersão diferete. A amplitude é usada pricipalmete como uma idicação rápida e fácil da variabilidade por exemplo, o cotrole permaete sobre matérias-primas ou produtos acabados, observadose e registrado-se a amplitude de pequeas amostras retiradas a itervalos regulares de tempo. Estatística II...74

3 10.3 Variâcia Os dados distribuem-se em toro da média. Etão o grau de dispersão de um cojuto de dados pode ser medido pelos desvios dos valores observados em relação à média. Desvio em relação à média é a difereça etre cada dado e a média do cojuto. Como cada dado tem um desvio em relação à média, para julgar o grau de dispersão de todo o cojuto de dados, com base os desvios, seria preciso observar todos os desvios como medida de dispersão. Não se pode calcular a média dos desvios porque a soma é sempre zero. Para medir a dispersão dos dados em toro da média usa-se, etão, a variâcia, que leva em cosideração o tamaho da amostra. A variâcia pode ser defiida por: Variâcia de Dados Brutos s (x x) i= i = 1 1 Exemplo 1: Calcule a variâcia dos valores 1,, 3, 4 e 5. Cálculos itermediários para a obteção da variâcia Dados (x i ) Desvios (x i - x) Quadrados dos desvios (x i - x) x = 3 ( x x) = 0 (x x) = 10 i=1 i i=1 i e a medida de variabilidade seria s (x x) i= 1 i 10 = 1 4,5 Estatística II...75

4 Variâcia de Dados Tabulados Quado os valores vierem dispostos em uma tabela de freqüêcias, o cálculo da variâcia se fará através de uma das seguites fórmulas: ou, pela fórmula desevolvida, k (x x) f i=1 i i s = 1 k x f i=1 i i s = k x f i i i Desvio-Padrão Como medida de dispersão, a variâcia tem a desvatagem de apresetar uidade de medida igual ao quadrado da uidade de medida dos dados. Por exemplo, se os dados estão em metros, a variâcia fica em metros ao quadrado. O desvio-padrão defiido como a raiz quadrada da variâcia apreseta as propriedades da variâcia e tem a mesma uidade de medida dos dados. O desvio-padrão é represetado por s. Desvio-Padrão de Dados Brutos s = (x x) i=1 i 1 Estatística II...76

5 Exemplo: Para as otas apresetadas a Tabela 10.1 determiar a variâcia e o desvio-padrão. Aluos s s Atôio João José Pedro Desvio-Padrão de Dados Tabulados s = k (x x) f i=1 i i 1 ou, pela fórmula desevolvida, s = k x f i=1 i i k x f i i i 1 1 O desvio-padrão é expresso as mesmas uidades dos dados origiais. Tato o desvio-padrão quato a variâcia, são usados como medidas de variabilidade. Coforme a fialidade, é coveiete o uso de uma ou de outra. Observações: Neste texto usaremos a defiição de variâcia e desvio-padrão que cosiste em dividir por - 1 ao ivés de. Se as amostras são grades, os valores obtidos dividido-se por ou 1 são praticamete iguais. Estatística II...77

6 Exemplo: Os dados abaixo represetam a distribuição do tempo de percurso (em miutos) para o trabalho, de 30 empregados. Calcular a variâcia e o desvio-padrão (utilizar as fórmulas). Classes f i x i x i f i x i f i (x i - x ) f i 10.5 Importâcia Prática do Desvio-Padrão O desvio-padrão amostral será usado pricipalmete para estimar o desvio-padrão populacioal em problemas de iferêcia. Procuraremos aqui atribuir um setido ituitivo ao desvio-padrão. De iício, devemos ter em mete que o desvio-padrão mede a variação etre valores. Valores próximos us dos outros origiam desvios-padrão meores, equato valores muito afastados us dos outros dão um desvio-padrão maior. Um coceito importate para compreedermos e iterpretarmos o valor do desvio-padrão é o teorema de Tchebichev. O teorema se aplica a qualquer cojuto de dados, mas seus resultados são muito aproximados. Teorema de Tchebichev A proporção (ou fração) de qualquer cojuto de dados a meos de K desvios-padrão a cotar da média é sempre ao meos 1 1/ K, ode K é um úmero positivo maior do que 1. Para K = e K = 3, temos os seguites resultados específicos: Ao meos 3/4 (ou 75%) de todos os valores estão o itervalo que vai de desvios-padrão abaixo da média a desvios-padrão acima da média ( x s a x s ). Ao meos 8/9 (ou 89%) de todos os valores estão o itervalo que vai de 3 desvios-padrão abaixo da média até 3 desvios-padrão acima da média ( x 3s a x 3s ). Estatística II...78

7 Outra regra que auxilia a iterpretação do valor de um desvio-padrão é a regra empírica, aplicável somete a cojuto de dados com distribuição aproximadamete em forma de sio. A regra empírica costuma ser desigada abreviadamete como a regra Regra para Dados com Distribuição em Forma de Sio Cerca de 68% dos valores estão a meos de 1 desvio-padrão cotar da média. Cerca de 95% dos valores estão a meos de desvios-padrão cotar da média. Cerca de 99,7% dos valores estão a meos de 3 desvios-padrão cotar da média. Exemplo: Realiza-se uma pesquisa a fim de avaliar o tempo ecessário para a realização de uma certa operação maual em uma fábrica. Esse tempo é medido para cada uma de 40 mulheres. A média e o desvio-padrão obtidos foram 1,8 e 1,7, respectivamete. Para descrever os dados, obtêm-se os itervalos: x s 1,8 1,7 ou 11,1 a 14, 5 x s 1,8 (1,7) ou 9,4 a 16, x 3s 1,8 3(1,7) ou 7,7 a 17, 9 Embora ão se possua qualquer iformação a respeito da distribuição desses dados, é muito provável que eles teham distribuição afilada e que a regra empírica permita uma boa descrição dos dados. De acordo com essa regra, é de se esperar que aproximadamete 68% das medidas perteçam ao itervalo de 11,1 a 14,5, equato 95% estarão cotidas etre 9,4 e 16, e 99,7% de 7,7 a 17,9. Se duvidarmos de essa distribuição ser afilada, podemos utilizar o teorema de Tchebichev. Esse teorema diz que pelo meos 3/4 das medidas estarão cotidas o itervalo de 9,4 e 16, e pelo meos 8/9, o itervalo de 7,7 a 17,9. Estatística II...79

8 10.6 Coeficiete de Variação O coeficiete de variação de Pearso é a razão etre o desvio-padrão e a média. O resultado é multiplicado por 100, para que o coeficiete de variação seja dado em porcetagem. Permite que a variação etre características expressas em uidades diferetes seja comparada. CV = x S. 100 Para eteder como se iterpreta o coeficiete de variação, imagie dois grupos de pessoas. No primeiro grupo, as pessoas têm idades 3, 1 e 5 e o segudo grupo as pessoas têm idades 55, 57 e 53 No primeiro grupo, a média de idade é de 3 aos e, o segudo grupo, a média é de 55 aos. Nos dois grupos a dispersão dos dados é a mesma. Ambos têm desvio-padrão s =. Mas as difereças de dois aos são muito mais importates o primeiro grupo, que tem média 3, do que o segudo grupo, que tem média 55 aos. Agora, veja os coeficietes de variação. No primeiro grupo, o coeficiete de variação é: CV = ,67% 3 e, o segudo grupo, o coeficiete de variação é: CV =.100 3,64% 55 Um coeficiete de variação igual a 66,67% idica que a dispersão dos dados em relação à média é muito grade, ou seja, a dispersão relativa é alta. Já um coeficiete de variação de 3,64% idica que a dispersão dos dados em relação à média é pequea. Em outras palavras, difereças de aos são relativamete mais importates o primeiro grupo, que tem média 3 (o coeficiete de variação é 66,67%) do que o segudo grupo, que tem média 55 (o coeficiete de variação é 3,64%). Etão o coeficiete de variação mede dispersão em relação à média. Observações: Algus aalistas cosideram: Baixa dispersão: CV 15% Média dispersão: 15% < CV < 30% Alta dispersão: CV 30% Estatística II...80

9 Exemplo: Calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiete de variação dos dados apresetados abaixo. Comete os resultados. Peso, em quilogramas, e comprimeto, em cetímetros, 10 cães Peso Comprimeto 3,0 104, , 103 1, , , , , , ,5 99 Estatística II...81

10 10.7 Escore Z Na seção aterior vimos como caracterizar a homogeeidade de um grupo relacioado a média e o desvio-padrão. Esta seção também trata de uma forma de relacioar estas duas estatísticas, mas para cada idivíduo. Quase todos ós estamos familiarizados com os QIs, e recohecemos que um QI de 10 é bastate comum, equato um QI de 170 é raro. Esse QI de 10 é bastate comum porque está próximo da média de 100, mas o QI de 170 é raro porque está bem acima de 100. Esta circustâcia pode sugerir uma difereça etre os valores típicos e os valores raros, com base em sua difereça em relação à média. Mas o tamaho dessa difereça depede da escala que estamos utilizado. Com valores de QI, uma difereça de potos é isigificate, mas para médias de otas de uma faculdade uma difereça de potos é altamete sigificativa. Seria melhor utilizar um padrão que ão leve em cota a escala. Com o valor ou escore padroizado, dividimos a difereça etre cada valor e a média do cojuto pelo desvio-padrão para chegarmos a esse resultado. A importâcia dos escores z a estatística reside o fato de que eles permitem distiguir etre valores usuais e valores raros, ou icomus. Cosideramos usuais os valores cujos escores padroizados estão etre e +, e icomus os valores com escore z iferior a ou superior a. O escore padroizado é o úmero de desvios-padrão pelo qual um valor x dista da média. Obtém-se da seguite maeira: Amostra População Z x s x Z x Estatística II...8

11 Exercícios 1. Calcule a variâcia, o desvio-padrão e o coeficiete de variação dos dados apresetados o exercícios, 8 e 9 da págia 64 e 65.. Dois grupos diferetes de uma turma de estatística fazem o mesmo teste surpresa, com as otas relacioadas a seguir. Ache a amplitude e o desvio-padrão para cada grupo. Que coclusões sobre a variação os dois grupos os valores da amplitude sugerem. Que coclusões sobre a variação os dois grupos o desvio-padrão sugere? Grupo I Grupo II Tempos de espera de clietes o Baco A (ode os clietes formam uma fila úica) e o Baco B (ode todos os clietes etram em três filas de guichês diferetes): A 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 B 4, 5,4 5,8 6, 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 Determie a média, a mediaa, a moda, amplitude total e o desvio-padrão para cada uma das duas amostras. 4. Três cadidatos a um emprego fazem testes equivaletes de pesameto crítico. Qual dos escores abaixo correspode à posição relativa mais elevada? Um escore de 37 em um teste para o qual a média é de 8 e desvio-padrão de 6. Um escore de 398 em um teste para o qual a média é de 31 e desvio-padrão de 56. Um escore de 4,10 em um teste para o qual a média é de,75 e desvio-padrão de 0,9. Estatística II...83

12 5. Em uma pesquisa, sobre preços de um determiado produto, realizada em 90 estabelecimetos comerciais (codificados de 01 a 90) foram obtidos os resultados abaixo: Selecioar aleatoriamete uma amostra de tamaho, utilizado as coluas 31 e 3 da tabela de úmeros aleatórios, da esquerda para a direita, de cima para baixo. (Começar a 1ª liha). Agrupar os dados em classes e calcular a média aritmética, a moda, a mediaa, os quartis, a variâcia, o desvio-padrão e o coeficiete de variação dos preços. Iterprete o primeiro quartil. Estatística II...84