12. Taxa de variação Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taxa de variação.

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1 Egearia Mecâica. Taa de variação Muitos coceitos e feômeos físicos, ecoômicos, biológicos, etc. estão relacioados com taa de variação. Defiição : Taa de variação média. Cosidere variável idepedete e y variável depedete. Taa de variação média de A(,y ) para B(,y ) é calculada por: y y y tvm = O coeficiete agular de uma reta é uma taa de variação, velocidade e aceleração de um móvel são taas de variação. Se quisermos estudar a variação da variável depedete quado a idepedete varia, temos uma taa de variação. Defiição : Taa de variação Istatâea. Cosidere variável idepedete e y variável depedete. Taa de variação istatâea em A(,y ) para B(,y) é a variação da variável depedete quado a variação da variável idepedete tede a zero, para medir-se a taa de variação o istate =. y y y tvi = z Se quisermos a taa de variação istatâea uma fução dada, tem-se y=f() e y = f( ), e: f() f( ) f( ) f( ) tvi = ou tvi = Eemplo: A tabela abaio represeta a altura de uma bola em relação ao solo t segudos após seu laçameto. t(seg),5,5 (m) 6,5 8 7,5 4 Calcule as seguites velocidades médias: (a) de t =,5 para t = (b) de t = para t =,5 Nesse caso ão teríamos como calcular a velocidade istatâea em t =, pois ão temos a lei da fução que relacioa a altura da bola com o tempo decorrido. Eemplo: Cosidere que altura da bola é descrita pela fução: (t) = -5t² + t + Determie a velocidade istatâea da bola em t = s. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 7

2 Egearia Mecâica 3. Derivada Defiição : A derivada de uma fução, cuja lei é y = f(), um poto em que = é: f() f( ) f( f'( ) ou f ( ) ) f( ) = Se o ite eistir a fução é dita derivável em =. Se o ite ão eistir, assim, a fução ão é derivável em = =. dy df Notações: f ( ), y ( ), ( ), ( ) Veremos adiate, que a derivada pode ão eistir, pois a defiição é a partir de ite e o ite pode ão eistir, ou ser ifiito. Observação muito importate: A derivada de uma fução um poto é defiida como a taa de variação istatâea dessa fução esse poto e aida é o coeficiete agular da reta tagete à fução o mesmo poto. Eemplo:. Calcule a derivada da fução, cuja lei é f() = ² - 9 os potos: (a) = (b) =. Calcule a derivada da fução f() = se o poto =. Em vez de calcularmos vezes ites muito semelates, podemos defiir a fução derivada f () e se precisarmos calcular em potos específicos apeas substituir valores de. 4. Iterpretação geométrica da derivada Nos gráficos abaio costam o gráfico da fução real f(); os potos P(,f( )) e Q(,f()); a reta s que passa por P e Q e o triâgulo retâgulo PAQ, que defie o coeficiete agular da reta s. Deste modo, o coeficiete IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

3 Egearia Mecâica y agular da reta s é dado por a = ta =. Ou seja, o coeficiete agular da reta secate é a taa de variação média da fução etre P e Q. = =,6 =,4 =, A medida que dimiuímos, ou melor, fazemos, observamos que Q P e assim, o ite, a reta secate é a reta tagete a à fução o poto P. Observação: A derivada de uma fução um poto, ou seja, a taa de variação istatâea o poto = é o coeficiete agular da reta tagete à curva o poto P(,f( )). Equação da reta tagete à curva y = f() o poto P(,f( )) y y = f ( )(- ) Também podemos defiir a reta ormal a uma curva, já que esta é perpedicular à reta tagete. Equação da reta ormal à curva y = f() o poto P(,f( )) y y = (- ) f'( ) a Por defiição reta tagete a uma curva e a curva iterseccioam-se em apeas um poto. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 9

4 Egearia Mecâica Eemplo: Determie a equação da reta tagete e ormal ao gráfico da fução f() = -²+ 4 + o poto em que =. 5. Derivada de uma fução Defiição 3: Fução derivada. Se f é derivável para todo poto de seu domíio, f é dita derivável e a fução derivada f é a fução resultate do seguite ite: f( ) f() f () = Eemplo: Calcule as fuções derivadas das fuções, cujas leis são: (a) f() = (b) f() = (c) f() = ² Na medida que resolvermos a fução derivada para fuções básicas, temos como aplicar para toda fução do mesmo tipo, dado origem a uma espécie de formulário. Por eemplo, a derivada da fução f() = é f () =, e se f() = 3, f() = -, ou melor, se f() = k, k R? IFRS CAMPUS RIO GRANDE 3

5 Egearia Mecâica Fuções derivadas de fuções básicas: d k Proposição 3: f() = k, k R Sedo f() = k, etão f(+) = k. Usado a defiição de fução derivada. f( ) f() k k CQD Eemplo: y = Proposição 4: f() = d Sedo f() =, etão f(+) = +. Usado a defiição de fução derivada. f( ) (f ) Proposição 5: g()= af() d(af()) a Sedo g() = af(), etão g(+) = af(+). Usado a defiição de fução derivada. dg() g( ) g() f( ) f() = a Eemplo: y = a a af( ) CQD af() af( ) f() Proposição 6: u()= f() + g() d(f() g()) dg() Sedo u() = f() + g(), etão u(+) = f(+)+g(+). Usado a defiição de fução derivada. du() f( ) g( ) (f ) g() f( ) g( ) f() g() (f ) f() g( Eemplo: f() = a + b ) g() f( ) f() g( ) g() dg() CQD IFRS CAMPUS RIO GRANDE 3

6 Egearia Mecâica d Proposição 7: f() = - Cosidere o biômio de Newto (a + b) = a + a b + a b a b... a b b 3 - e, úmeros biomiais que Sedo f() =, etão f(+) = (+) E por sua vez (+) = Usado a defiição de fução derivada. f( ) f() = = = CQD 3 Eemplo: f() = 4³ d(f() g()) dg() Proposição 8: u() = f().g() f() g() Sedo u() = f().g(), etão u(+) = f(+).g(+). Usado a defiição de fução derivada. du() f( ) g( ) f() g() Somar ZERO f( ) g( ) f( )g() f( )g() f( g)() = = Colocar f(+) em evidêcia Colocar g() em evidêcia f( ) g( ) g() g()f( ) f() IFRS CAMPUS RIO GRANDE 3

7 Egearia Mecâica f( ) g( ) g() f( ) f() = g() g( ) g() f( ) f() dg() = f() g() f() g(). CQD Eemplo: f() = (a + b) g()=(a + b) 3 Proposição 9: f() = se d(se) cos Sedo f() = se, etão f(+) = se(+) = se()cos()+se()cos(). Usado a defiição de fução derivada. f( ) f() se()cos() se()cos() = se()cos() = = se() se() se()cos() se()cos() se() cos() se() cos() cos() cos() cos() cos() se() cos() cos() se() se() cos() cos() se() se() cos() se() cos() se()cos() se() cos() = Fudametal do seo!!! se() se() = se() cos() cos() se() se() cos() cos cos CQD Fudametal do seo!!! Proposição 3: f() = cos d(cos) se Sedo f() = cos, etão f(+) = cos(+) = cos()cos()-se()se(). Usado a defiição de fução derivada. f( ) f() IFRS CAMPUS RIO GRANDE 33

8 Egearia Mecâica cos()cos() se() se() cos() cos()cos() cos() = cos()cos() se() se() cos() cos() se() = cos( ) se() se( ) CQD se() se() se() (já resolvemos) d(a ) Proposição 3: f() = a a l a Sedo f() = a, etão f(+) = a +. Usado a defiição de fução derivada. f( ) f() a a a a a a a a = a a.l a CQD Proposição!!! = Fudametal do seo!!! Eemplo: Derive a fução f() =. Corolário 3: f() = e d(e ) e Sedo f() = e, basta aplicar a proposição 3, com a = e. d(e ) e l e e e Proposição 33: Regra da cadeia Supoamos que sejam deriváveis a fução f() e g() em relação à variável, sedo elas f () e g (), etão: dfog() df dg() g() f(g( )) f(g()) (f g( )) (f g()) g( ) g() fog ()= =. g( ) g( ) (f g( )) (f g()) g( ) g() f(g( )) f(g()) g( ).. g( ) g() g( ) g() g() () g( ) g() f(g( )) f(g()) Sabemos que = g (). Precisamos resolver: g( ) g() Faremos uma troca de variáveis: t = g(+) g(). Com, teremos t. Isolado g(+) = g() + t. Substituido isso o ite: IFRS CAMPUS RIO GRANDE 34

9 Egearia Mecâica f(g() t) f(g()) t g() t g() Voltado a (): dfog() f(g() t) f(g()) f'(g()). t t f(g( )) f(g()) g( ). g( ) g() g() df = g() d g() CQD Observação:. Sabedo as derivadas f () e g (), a derivada da composta é df o produto de derivada de f, substituido por g(), g(), por g ().. Toda essa demostração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g (). Ela é fudametal, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA. Eemplo: Derive as fuções abaio: (a) f() = se (5 ) (b) g() = se(5 ) cos (c) () = se(5 ) (d) u() = se(5 cos ) Corolário 35: Seja f() e g()=, cosiderado a fução g() derivável, ou seja, g () eiste, etão a derivada da fução gof() = g(f()) = f() é dada por: f() Aplicado a regra da cadeia: Usado a versão gof(): dgof() dg f() IFRS CAMPUS RIO GRANDE 35

10 Egearia Mecâica Cosidere g() = e f() qualquer fução de. gof() =f(). A derivada de dg( ) dg g() é : = -, etão f() f(). Substituido a regra da cadeia: f(). CQD Eemplo: Determie as fuções derivadas das fuções abaio: (a) f()= ( + ) (b) g()= 4² 3 (c) ()= 3 Proposição 36: u() = f() g() d f() g() dg() d f() g() f() g()² Podemos demostrar a derivada da divisão de duas fuções cosiderado que dividir equivale a multiplicar pelo iverso. d(f() g()) dg() A proposição 8 os diz que f() g(). Nela, faremos a f() seguite adaptação: f() g(). Assim substituido a proposição 8: g() g() ) dg() d f() d(f() f() g(). () g() Coecemos f() e g(), também suas derivadas, mas aida ão sabemos quem é a derivada de [g()] - =. b g() b Não podemos cofudir [g()] - com g - (). Como por eemplo, se g() = a, etão [g()] - = a - e g - ()=log a. Uma é O iverso, e a outra é A iversa. Coceitos matemáticos totalmete diferetes. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 36

11 Egearia Mecâica Agora, usado o corolário 35, temos que dg() dg() dg() g() g(). Precisamos voltar para a equação (): f() d g() f(). g() g() = f() dg(). g() g() g() Neste poto do desevolvimeto para cegar a resposta, só precisamos maipular algebricamete a epressão. dg() dg() d f() f() g() f() f() dg(). CQD g() g() g() g() g() g( ) d Eemplo: Determie as fuções derivadas das fuções abaio: NO CADERNO (a) f()= ³ - + (b) g()= ( + 3)(4² - 3) (c) () = 3 4 (d) f()= (³ - +)² (e) ()= ta (f) g()= l (g) f()= l( -) () ()= se(l(+)) (i) g()= 3 -.cos() ta(4) (j) f()= e (k) f()= cosl 6. Derivada da Fução Iversa Temos como calcular a derivada de uma fução coecedo a derivada de sua iversa. Por eemplo, f() = em ],+[ e g() = iversas. Vejamos: f () = e g ()= Reescreveremos da seguite maeira, cosiderado que y = f - ()= g ()= = y f'(y ) em ],+[ são fuções Teorema 37: Teorema da fução iversa Seja f: I R uma fução derivável e crescete (ou decrescete) em um itervalo ão trivial I. Se f () para todo I, etão f - é derivável em f(i) e (f - ) (f())=. f'() Eemplo: Determie as derivadas das fuções abaio, pelo teorema da fução iversa. NO CADERNO (a) y = log a (b) y = arcse (c) y = arccos (d) y = arcta IFRS CAMPUS RIO GRANDE 7

12 Egearia Mecâica 7. Derivadas Sucessivas O pricípio é simples. Dizemos que derivada seguda de uma fução é a derivada da fução derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada seguda e assim por diate. d f Notação: Para derivada seguda (derivada da derivada) f" y" 3 d f Para derivada terceira (derivada da derivada seguda) = f = y 3 Observações:. Nada podemos garatir sobre a derivabilidade de uma fução vezes. Eistem fuções que são ifiitamete deriváveis e outras ão eiste se quer a derivada de ordem. Podemos relacioar este fato com a cotiuidade das fuções. 3. A aceleração é a taa de variação da velocidade em fução do tempo. Por sua vez, velocidade é a taa de variação do deslocameto em fução do tempo, ou seja, a aceleração é a derivada seguda do deslocameto em relação ao tempo. Eemplo: Determie as derivadas idicadas: (a) Derivada seguda de f()= ( + ) (b) Derivada quita de f()= arcse(cos(5)) 8. Fuções ão deriváveis Eistem fuções que ão possuem derivadas em algus potos e também que ão são deriváveis em eum poto. Vamos aalisar a característica geométrica da fução que ão é derivável em algum poto. Como sabemos, a derivada em um poto é o coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução o poto dado. Para a derivada ão eistir, o ite que a defie ão eiste, ou seja: f() f( ) f() f( ) O coeficiete da reta tagete que se aproima do poto em que = pela esquerda é diferete do coeficiete da reta tagete que se aproima pela direita. Assim temos duas retas tagetes distitas para o mesmo poto. Quado isso acotece? Observe o gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta tagete ao gráfico o poto A(,) pela esquerda. A reta b (vermela) é a reta tagete ao gráfico o poto A pela IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

13 Egearia Mecâica direita. O gráfico possui um bico este poto, assim como o poto B(-,). A fução f ão é derivável os potos A e B. Para uma fução ser derivável o comportameto do gráfico ão pode ter mudaças abruptas. Outro fator que tora uma fução ão derivável um poto é a descotiuidade. Pelo mesmo motivo dos bicos, quado a fução é descotíua um poto, as retas tagetes pela esquerda e pela direita deste poto ão coicidem. No gráfico à esquerda, a fução é descotiua o poto O(,). A reta tagete à fução o poto O pela esquerda é a reta orizotal d (verde) e a reta tagete à fução o poto O pela direita é a reta vertical e (vermela). Também ão é derivável. Proposição 38: Se a fução y = f() ão é cotíua o poto =, etão f() ão é derivável o poto =. Corolário 39: (Cotra recíproca) A fução derivável o poto = é cotíua o poto =. 9. Derivadas Laterais Defiição 5: Derivada lateral à direita da fução y=f() o poto = o é f() f( ) dado por f +( ) =. Defiição 6: Derivada lateral à esquerda da fução y=f() o poto = o é f() f( ) dado por f -( ) =. Importate defiição para, por eemplo, determiarmos retas tagetes a curvas em poto com picos, ou em potos de descotiuidade, cujas derivadas ão eistem, mas as laterais podem eistir. 8. Algus eercícios Ateção: Os eercícios aqui idicados são apeas uma amostra. RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fotes bibliográficos para complemetar teu estudo. Em relação às fuções abaio, calcule as derivadas os potos idicados se eistirem: - f() = ³ determie f () 3- f() = determie f () - f() = ²+ determie f () 4- f() = ² determie f () Determie a equação da reta tagete às fuções abaio, os potos idicados: 5- f() = ²- 3 4 o poto em que = - IFRS CAMPUS RIO GRANDE 9

14 Egearia Mecâica 6- f() = o poto em que = 7- f() = o poto em que = 5 8- Um projétil é laçado de um peasco de,5 metros de altura. O deslocameto s, em metros, do projétil em fução do tempo t, em segudos, é descrito pela fução s(t)=4,9t², determie a velocidade e a aceleração do projétil os istates: (a) t = s (b) t = s (c) t = 3 s (d) Em que atige o solo. Determie as fuções derivadas das fuções abaio: 9- f() = 3(8³-) - g() = ² 3 - () = 3 6² 7 - f() = e (³+)³ 3- g() = l( ) 5- f() = 3 6- g() = 7- () = cos(4²-) 8- f()= se ² se - f() = l 3² 4 - g() = l 9² e 3- () = (3²+5) f() = ta (5 ) 4- () = e 9- g()=l(cos(5)) - () = ta( ) IFRS CAMPUS RIO GRANDE