Conteúdos Programáticos de Matemática A 12º ano 2017/2018

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1 Coteúdos Programáticos de Matemática A 12º ao 2017/2018 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS CALENDARIZAÇÃO Cálculo Combiatório (CC12) Propriedades das operações sobre cojutos - Propriedades comutativa, associativa, de eistêcia de elemeto eutro e elemeto absorvete e da idempotêcia da uião e da iterseção e propriedades distributivas da uião em relação à iterseção e da iterseção em relação à uião; - Distributividade do produto cartesiao relativamete à uião. Itrodução ao cálculo combiatório - Cojutos equipotetes e cardiais; cardial da uião de cojutos disjutos; - Cardial do produto cartesiao de cojutos fiitos; - Arrajos com repetição; - Número de subcojutos de um cojuto de cardial fiito; - Permutações; fatorial de um úmero iteiro ão egativo; - Arrajos sem repetição; - Número de subcojutos de p elemetos de um cojuto de cardial ; combiações; - Resolução de problemas evolvedo cardiais de cojutos, cotages, arrajos e combiações. Triâgulo de Pascal e Biómio de Newto - Fórmula do biómio de Newto; - Triâgulo de Pascal: defiição e costrução; - Resolução de problemas evolvedo o triâgulo de Pascal e o biómio de Newto. 1.º Probabilidades (PRB12) Espaços de probabilidade - Probabilidade o cojuto das partes de um espaço amostral fiito; espaço de probabilidades; - Acotecimeto impossível, certo, elemetar e composto; acotecimetos icompatíveis, acotecimetos cotrários, acotecimetos equiprováveis e regra de Laplace; - Propriedades das probabilidades: probabilidade do acotecimeto cotrário, probabilidade da difereça e da uião de acotecimetos; mootoia da probabilidade; - Resolução de problemas evolvedo a determiação de probabilidades em situações de equiprobabilidade de acotecimetos elemetares; - Resolução de problemas evolvedo espaços de probabilidade e o estudo de propriedades da fução de probabilidade. Probabilidade codicioada - Probabilidade codicioada; - Acotecimetos idepedetes; Av. Colégio º Proeça-a-Nova Telefoe Fa cspova@mail.telepac.pt

2 - Teorema da probabilidade total; - Resolução de problemas evolvedo probabilidade codicioada, acotecimetos idepedetes e o Teorema da probabilidade total. Fuções Reais de Variável Real (FRVR12) Limites e Cotiuidade - Teoremas de comparação para sucessões e teorema das sucessões equadradas; - Teoremas de comparação evolvedo desigualdades etre fuções e os respetivos limites; - Teorema das fuções equadradas; - Utilização dos teoremas de comparação e do teorema das fuções equadradas para determiar limites de fuções reais de variável real; - Teorema dos valores itermédios (Bolzao-Cauchy); - Teorema de Weierstrass; - Resolução de problemas evolvedo os teoremas de comparação para o cálculo de limites de sucessões e de fuções e a cotiuidade de fuções. Derivada de seguda ordem, etemos, setido das cocavidades e potos de ifleão - Derivada de seguda ordem de uma fução; - Sial da derivada de seguda ordem um poto crítico e idetificação de etremos locais; - Potos de ifleão e cocavidades do gráfico de fuções duas vezes difereciáveis; - Iterpretação ciemática da derivada de seguda ordem de uma fução posição: aceleração média e aceleração; uidades de medida de aceleração; - Estudo e traçados de gráficos de fuções difereciáveis; - Resolução de problemas evolvedo propriedades de fuções difereciáveis. Aplicação do cálculo diferecial à resolução de problemas - Resolução de problemas de otimização evolvedo fuções difereciáveis; - Resolução de problemas evolvedo fuções posição, velocidades médias e velocidades istatâeas, acelerações médias e acelerações istatâeas e mudaças de uidades de aceleração; - Resolução de problemas evolvedo a resolução aproimada de equações da forma () = () utilizado uma calculadora gráfica. Trigoometria e Fuções Trigoométricas (TRI12) Difereciação de fuções trigoométricas - Fórmulas trigoométricas da soma, da difereça e da duplicação; si - Limite otável lim 0 - Difereciabilidade das fuções seo, cosseo e tagete; - Resolução de problemas evolvedo o estudo de fuções defiidas a partir de fuções trigoométricas. 2.º Aplicações aos osciladores harmóicos - Osciladores harmóicos: amplitude, pulsação, período, frequêcia e fase; Av. Colégio º Proeça-a-Nova Telefoe Fa cspova@mail.telepac.pt

3 - Estudo das fuções defiidas aaliticamete por ( + ) +, ( + ) +, ( + ) +, ( 0); - Os osciladores harmóicos como soluções de equações difereciais da forma 2 f w f ; relação com a seguda lei de Newto e com a lei de Hooke; - Resolução de problemas evolvedo osciladores harmóicos. Fuções Epoeciais e Fuções Logarítmicas (FEL12) Juros compostos e Número de Neper - Cálculo de juros compostos; - Resolução de problemas evolvedo juros compostos. 1 - Sucessão de termo geral u 1 e relação com juros compostos; capitalização cotíua de juros e defiição do úmero de Neper. Fuções epoeciais - Propriedades da fução defiida os úmeros racioais pela epressão f a, a 0 : mootoia, cotiuidade, limites e propriedades algébricas; - Etesão ao caso real: defiição das fuções epoeciais de base a e respetivas propriedades; - Fução epoecial e e relação com o limite da sucessão de termo geral 1, ; e - Limite otável lim 0 1 e derivada da fução epoecial. Fuções logarítmicas - Fução logarítmica de base a 1 equato bijeção recíproca da fução epoecial de base a; logaritmo decimal e logaritmo eperiao; - Mootoia, sial, limites e propriedades algébricas dos logaritmos; - Derivadas das fuções logarítmicas e da fução a, a 0 ; - Derivada da fução, real, 0. Limites otáveis evolvedo fuções epoeciais e logarítmicas e l - Limites lim e lim. k - Resolução de problemas evolvedo o estudo de fuções defiidas a partir de fuções epoeciais e logarítmicas, as respetivas propriedades algébricas e limites otáveis. Modelos epoeciais - A equação f kf, k, equato modelo para o comportameto da medida de gradezas cuja taa de variação é aproimadamete proporcioal à quatidade de gradeza presete um dado istate (evolução de uma população, da temperatura de um sistema ou do decaimeto de uma substâcia radioativa); - Soluções da equação f kf, k ; - Resolução de problemas de aplicação, evolvedo a equação f kf, k. Av. Colégio º Proeça-a-Nova Telefoe Fa cspova@mail.telepac.pt

4 Números Compleos (NC12) Itrodução aos úmeros compleos - A fórmula de Cardao e a origem histórica dos úmeros compleos; - Motivação da defiição dos úmeros compleos e das operações de soma e produto de úmeros compleos; - Propriedades das operações a, b c, d a c, b d e a, b c, d ac bd, ad bc defiidas em 2 : associatividade, comutatividade, distributividade de relativamete a + e respetivos elemetos eutros; defiição do corpo dos úmeros compleos, equato 2 muido destas operações; i 0,1 ; - equato subcojuto de ; a uidade imagiária - Represetação dos úmeros compleos a forma zaib, ab,. Parte real e parte imagiária dos úmeros compleos; o plao compleo e os eios real e imagiário; poto afio de um úmero compleo. Compleo cojugado e módulo dos úmeros compleos - Cojugado de um úmero compleo; propriedades algébricas e geométricas; epressão da parte real e da parte imagiária de um úmero compleo z em fução de z e z ; - Módulo de um úmero compleo; propriedades algébricas e geométricas. Quociete de úmeros compleos - Iverso de um úmero compleo ão ulo e quociete de úmeros compleos. Epoecial complea e forma trigoométrica dos úmeros compleos i - Compleos de módulo 1; a epoecial complea e cos isi,, e respetivas propriedades algébricas e geométricas; argumeto de um úmero compleo e represetação trigoométrica dos úmeros compleos; - Fórmulas de De Moivre. Raízes -ésimas de úmeros compleos - Soluções das equações da forma z w, e w ; raízes em de poliómios do segudo grau de coeficietes reais. Resolução de problemas - Resolução de problemas evolvedo propriedades algébricas e geométricas dos úmeros compleos, a respetiva forma trigoométrica, raízes de úmeros compleos e as fórmulas de De Moivre. 3.º Primitivas e Cálculo Itegral (PCI12) Primitivas - Primitiva de uma fução um itervalo; família das primitivas de uma dada fução um itervalo; - Primitivas de fuções de referêcia: 1 1, \ 0, 1,, e, si e cos ; - Liearidade da primitivação; u f u - Primitivas de fuções da forma Cálculo Itegral Av. Colégio º Proeça-a-Nova Telefoe Fa cspova@mail.telepac.pt

5 - Defiição ituitiva da oção de itegral de fuções cotíuas ão egativas ou ão positivas um itervalo limitado e fechado; etesão a fuções cotíuas que alteram de sial um úmero fiito de vezes; - Origem histórica do símbolo de itegral; - Teorema fudametal do cálculo itegral e Fórmula de Barrow; - Liearidade e mootoia do itegral defiido; aditividade do itegral em relação ao domíio. Resolução de problemas - Resolução de problemas evolvedo o cálculo de medidas de área de regiões do plao; - Resolução de problemas evolvedo a primitivação e a itegração de fuções cotíuas; - Resolução de problemas evolvedo fuções posição, velocidade e aceleração e a primitivação e itegração de fuções. Av. Colégio º Proeça-a-Nova Telefoe Fa cspova@mail.telepac.pt