Séries de Fourier. As séries de Fourier são séries cujos termos são funções sinusoidais.

Transcrição

1 Séries de Fourier As séries de Fourier são séries cujos termos são fuções siusoidais. Importâcia prática: uma fução periódica (em codições bastate gerais) pode ser represetada por uma série de Fourier; é possível obter facilmete em computador boas aproximações destas séries. Aparecimeto e primeiras aplicações: apareceram por volta de 75, por Beroulli, aplicadas à resolução da equação diferecial associada à vibração de uma corda flexível. 5 aos mais tarde, Fourier sistematizou o seu estudo, tedo-as aplicado à resolução do problema da codução do calor. Muitos feómeos (como o movimeto da corda vibrate, as odas electromagéticas, a propagação do calor, etc.), são descritos por equações difereciais que admitem soluções periódicas. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier

2 Defiição de série trigoométrica Defiição: Seja f uma fução real de variável real. Diz-se que f é uma fução periódica se existe um úmero real T tal que x T D f, sempre que x D f, e fx T fx, O úmero T diz-se um período de f. para qualquer x D f Ao meor período de f chama-se período fudametal. Observações: Quado é referido o período de uma fução, é o seu período fudametal que, em geral, está a ser cosiderado. Uma fução costate é cosiderada periódica, com qualquer período positivo e sem período fudametal. As fuções se x e cosx, que são periódicas de período. Mais geral: sedo um iteiro positivo, as fuções sex e cosx, são periódicas de período. De facto, se x cos x sex sex cosx cosx. Exemplo: Represetação em, 4 das fuções se x e se4x: período período.5.5 π π 3π 4π π/ π 3π/ π 5π/ 6π 7π/ 4π se x período se4x período Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier

3 Duas propriedades importates das fuções periódicas são: Os múltiplos iteiros do período de uma fução periódica são igualmete períodos da fução. Portato, é período das fuções sex e cosx, com,, (além disto, é o meor período positivo comum a todas estas fuções). Se f e g são fuções periódicas de período T, etão a fução afbg é periódica de período T (para quaisquer a, b ). Por exemplo, a fução se x se4x tem período, pois as fuções evolvidas têm este período comum (ote-se que qualquer úmero real positivo pode ser tomado como período de uma fução costate). 3 período π π 3π 4π - se x se4x, em, 4 Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 3

4 Chama-se série trigoométrica a uma série da forma a a cosx b sex, ou, com mais geeralidade, da forma a a cosx b sex, em que a,a, a,,b, b, são úmeros reais, que se desigam por coeficietes da série. O domíio da série trigoométrica é o cojuto dos valores reais que, substituídos a série trigoométrica, origiam uma série umérica covergete. Nota: As séries trigoométricas, tal como as séries de potêcias, são casos particulares de séries de fuções. Uma série de fuções é uma série da forma f, ode f, com, são fuções reais de variável real defiidas um itervalo I. Diz-se que a série f é covergete em x I se a série umérica f x for covergete. O domíio da série de fuções é o cojuto dos valores reais para os quais a série é covergete. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 4

5 Série de Fourier de fuções com período T Seja f uma fução periódica, com período T, e itegrável o itervalo c, c, com c. Chama-se série de Fourier de f à série trigoométrica fx a em que a cos x b se x, a c c fx cos x dx,,,, e b c c fx se x dx,,, Escreve-se fx a a cos x b se x, em que o símbolo lê-se tem associada a série de Fourier. A a e b chama-se coeficietes de Fourier de f. Nota : Sedo f uma periódica, com período T, é idiferete qual o itervalo de amplitude cosiderado. Para,, tem-se a fx cos x dx,,,, e b fx se x dx,,,. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 5

6 Nota : a c fxdx, pelo que a c c fxdx é c igual ao valor médio de f o itervaloc, c. Nota 3: Sedo as fuções cos x e se x têm período Portato é período das fuções cos x e se qualquer ; x, para é o meor período comum a todas estas fuções.. Nota 4: Modificado f um úmero fiito de potos do itervalo c, c a fução resultate tem a mesma série de Fourier (pois a existêcia e o valor dos itegrais que dão os coeficietes de Fourier ão se altera). Nota 5: Sedo f uma fução periódica, podemos defiir a série de Fourier de f, desde que f seja itegrável emc, c. No etato, a série de Fourier da fução f pode ão ser covergete ou ão covergir para f. O cálculo dos coeficietes permite-os apeas dizer que essa é a série de Fourier de f. Como veremos, existem resultados que os permitem garatir que, em certas codições, fx a a cos x b se x Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 6

7 Exemplo : Cálculo da série de Fourier da fução periódica de período defiida em, por fx se x se x. Como T, etão e. a fxdx dx dx Para,,, a fx cosxdx cosxdx cosxdx sex b fx sexdx sexdx sexdx cosx cos se é par se é ímpar. Assim, a série de Fourier de f é sex se3x 3 sem x m, ou seja, fx sem x m m. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 7

8 Exemplo : Cálculo da série de Fourier da fução de período defiida em, por fx se x se x. Como T, etão e. a fxdx dx dx 3 Para,,, a fx cosxdx cosxdx cosxdx e sex sex fx sexdx sexdx sexdx b cosx cos cosx cos cos se é par se é ímpar. Portato, a série de Fourier de f é 3 sex 3 se3x m ou seja, fx 3 sem x m m sem x Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 8

9 Caso particular (fução par ou ímpar): Recorde-se que f : D diz-se uma fução par se fx fx, para qualquer x D e diz-se uma fução ímpar se fx fx, para qualquer x D. Prova-se que, para qualquer fução f itegrável ema, a, a a - se f é par, fxdx fxdx; a a - se f é ímpar, fxdx. a Por outro lado, - o produto de duas fuções pares ou de duas fuções ímpares é par; - o produto de uma fução ímpar por uma fução par é ímpar. Assim, para fuções pares ou ímpares, o cálculo dos coeficietes de Fourier simplifica-se. Sedo f periódica com período : se f é par, tem-se a fx cos x dx,,,, b,,,. se f é ímpar, tem-se a,,,, b fx se x dx,,, Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 9

10 Exemplo 3: Cálculo da série de Fourier da fução f de período defiida o itervalo, por fx x. Para qualquer x,, fx x fx, fução ímpar. logo f é uma Como T, etão e. Portato, para,,,, a. Por outro lado, para,,, b x sexdx. Calculado a primitiva por partes P x sex x cosx Portato f g P cosx x cosx sex b x cosx sex cos se C se cos ogo, a série de Fourier de f é sex. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier

11 Observação: No cálculo de coeficietes de Fourier de fuções cujas expressões evolvam seo e/ou cosseo podem ser úteis as fórmulas: sese cos cos secos se se coscos cos cos Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier

12 Recorde-se que: Covergêcia de séries de Fourier Sedo f uma fução defiida um itervalo a,b, excepto, evetualmete, um úmero fiito de potos, diz-se que f é seccioalmete cotíua em a, b se: i) o itervaloa, b pode ser subdividido um úmero fiito de itervalos em cada um dos quais f é cotíua, excepto, evetualmete, os extremos desses subitervalos; ii) os limites laterais da fução os potos extremos destes subitervalos existem (e são fiitos). Defiição: Diz-se que uma fução f é seccioalmete suave em a, b se f for seccioalmete cotíua ema, b e a sua fução derivada também for seccioalmete cotíua ema, b. Notação: Represetamos por fx e fx os limites laterais de f, à direita e à esquerda de x, respectivamete. Teorema (Teorema da Represetação em Série de Fourier): Seja f uma fução periódica de período T e seccioalmete suave emc, c. Etão: a série de Fourier de f é covergete (em) para cada x c, c, a sua soma é dada por fx fx fc fc, se x c,c ;, se x c, c. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier

13 Nota: Repare-se que, sedo f periódica de período, etão fc fc e fc fc, pelo que fc fc fc fc fc fc ou seja, também os extremos do itervalo a soma da série é igual à média dos limites laterais o poto., Corolário: Seja f uma fução periódica de período T e seccioalmete suave em c, c. Etão: os potos x em que f é cotíua, a soma da sua série de Fourier é igual a fx; em cada poto de descotiuidade, a soma da série de Fourier é igual à média dos limites laterais da fução o poto. Isto é, a a cos x b se x fx, se f é cotíua em x fx fx, se f ão é cotíua em x Nota: Nestas codições, caso f seja cotíua emc, c, etão f é cotíua eme, portato, a fução coicide com a soma da sua série de Fourier em. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 3

14 Exemplo 4: No Exemplo viu-se que, sedo f a fução de período defiida em, por tem-se que fx, se x, se x, fx 3 sem x m m. Como f é seccioalmete suave em,, esta série é covergete em. Como f é cotíua em,\, tem-se que 3 sem x m m fx, x,\ 3, x,,. Como f tem período, coclui-se que 3 sem x m m fx, se x k, para k 3, se x k, com k Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 4

15 Exemplo 5: No Exemplo viu-se que, sedo f a fução de período defiida em, por fx, se x, se x, tem-se que fx sem x m m. Como f é seccioalmete suave em,, esta série é covergete em. Como f é cotíua em, \, tem-se que sem x m m fx, x, \, x,,. Como f tem período, coclui-se que sem x m m fx, x, x. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 5

16 Extesões de fuções por Séries de Fourier Até este poto, cosideram-se fuções periódicas, das quais era dada a expressão um itervalo de amplitude igual ao período, com vista a obter a correspodete série de Fourier. Podemos também, dada uma fução f seccioalmete suave o itervalo,, exteder a fução ao itervalo, e, de seguida, através da correspodete série de Fourier, obter a sua extesão periódica, com período. A extesão da fução, do itervalo, a,, pode ser feita de muitas maeiras, de acordo com os objectivos pretedidos. Para tirar partido das propriedades destas fuções, é frequete cosiderar-se: a extesão par da fução, cuja série de Fourier associada é uma série de cosseos; a extesão ímpar da fução, cuja série de Fourier associada é uma série de seos. Propriedades É imediato que uma fução costate é periódica de período T (para qualquer T ) e a sua série de Fourier é a própria fução costate. Proposição: Sejam f e g fuções periódicas de período T. Etão: os coeficietes de Fourier da fução fgsão iguais à soma dos correspodetes coeficietes de Fourier das fuções f e g; os coeficietes de Fourier da fução cf são iguais ao produto por c dos correspodetes coeficietes de Fourier da fução f. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 6

17 Observação: Através destas propriedades, podemos obter os coeficietes de Fourier de uma fução a partir dos coeficietes de Fourier de outras fuções, cujos coeficietes sejam cohecidos ou sejam mais fáceis de calcular. Por exemplo, o Exemplo cosiderou-se a fução f, periódica de período, defiida por fx, se x, se x e calcularam-se directamete os coeficietes de Fourier desta fução, tedo-se cocluído que fx 3 m m sem x. Os cálculos podem simplificar-se, tedo em cota que, embora a fução f ão seja ímpar, subtraido 3 à fução f obtemos uma fução ímpar (igorado os extremos do itervalo)., y y f x g f 3 x Assim, fx 3 por gx gx, com g periódica de período defiida, se x, se x. Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 7

18 Portato, os coeficietes de Fourier de f são a soma dos coeficietes de g e da fução costate 3 (ote-se que uma fução costate admite qualquer período positivo). Como g é ímpar, para esta fução tem-se: a, para,, e (uma vez que T, e ogo, Assim, Como etão b fx sexdx. b sexdx sexdx cosx cos cos gx m fx 3 m se é par se é ímpar. m 3 3 m sem x. sem x (série cujos coeficietes são a soma dos coeficietes das duas séries de Fourier). Aa Matos Matemática Aplicada 3//8 Séries de Fourier 8