Sequências e Séries. Sadao Massago

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1 Sequêcias e Séries Sadao Massago Setembro de 04

2 Sumário Aritmética Iitesimal Sequêcias Numéricas. Algumas propriedades operacioais Teste da subsequêcia Sequêcias deidas pela fução cotíua Teorema de Saduíche Usado a ordem da fução Sequêcias moótoa Limite da sequêcia deida pela recorrêcia Algus limites importates Séries Numéricas 8 3. Algumas propriedades operacioais Limite do termo geral Séries geométricas Séries alteradas Séries de termos positivos Séries absolutamete covergetes Teste da raiz e da razão Séries de Potêcias 8 4. Raio de covergêcia O Itervalo de covergêcia Derivadas e itegrais Séries de Taylor e de Maclauri A Séries de Fourier 6 B Prova do Teorema.4 30 C Cosiderações sobre sequêcias pela recorrêcia 3 D Exemplo de rearrajos dos termos da séries codicioalmete covergetes 3 i

3 Capítulo Aritmética Iitesimal Deição.. O iito é a represetação da quatidade maior que qualquer úmero e é deotado por. Deição.. O valor iitesimalmete maior que a é deotado por a +. Temos que a + > a para o cálculo iitesimal, mas o valor umérico de a + é igual a a. Aalogamete, o valor iitesimalmete meor que a é deotado por a. Etre estes valores iitesimalmete próximos, 0 + e 0 são frequetemete usados, jutamete com o jogo de sial. Por exemplo, = =. (0 ) 0 + A regra de operação evolvedo os valores iitesimais (iitamete pequeo ou iitamete grade), requer formalismo de limites. A seguir, algumas regras sem a demostração. + =, =, =, = 0+, =, + c =, 0 + Se a > 0 etão a =, a =. Se a > etão a = Idetermiados:,,, 0, , 0, 0,. Observação.3. No caso de 0 0 ão ter origiado dos limites, covecioa-se que 0 0 =. Exercício.4. Justique cada um dos idetermiados, através de cotra exemplos (apresetar limites adequados). Exercício.5. Para 0 < a, tem-se a = 0 +. Exercício.6. Para 0 < b < tem-se b = 0 +. Exercício.7. Para c < 0 tem-se c = 0 +. Exercício.8. Para, a > tem-se log a = e log a 0 + =.

4 Capítulo Sequêcias Numéricas Uma sequêcia real é uma fução que associa um valor a cada úmero iteiro ão egativo. Quado tem uma expressão, escrevemos x (deomiado de termo geral quado é geérico) para desigar o x() que também idicaria o elemeto de ídice a lista de suas images. A represetação mais usada é pela lista de suas images como em ( ) = (,,,, ) ou pela expressão do termo N geral como em x = para > 0. No caso de idicar a imagem, é essecial que teha pareteses. Note que uma sequêcia pode começar em potos diferetes de. Deição.. lim x = L se para todo ε > 0 existe N 0 N tal que > N 0 = x L < ε. Neste caso, a sequêcia é deomiado de sequecia covergete e L é dito limite da sequêcia. Note que, x L < ε se, e somete se, L ε < x < L + ε, o que é bastate empregado as demostrações. Deição.. lim x = se para todo M R existe N 0 N tal que > N 0 = x > M. Neste caso, dizemos que a sequêcia diverge para iito e deotamos por lim x =. Aalogamete, a sequêcia diverge para se, para todo M R existe N 0 N tal que > N 0 = x < M. É imediato que uma sequecia x diverge para se, e somete se, x diverge para iito. Deição.3. A sequêcia ão covergete é deomiado de sequêcia divergete. As sequêcias divergetes podem ser divergetes para ±, ou que ão tem limites.. Algumas propriedades operacioais Propriedades. Se (a ) e (b ) são sequêcias covergetes (começado de mesmo ídice), etão lim (a + b ) a + lim b. lim (λa ) = λ lim a. lim (a b ) a lim b. a lim = b lim a lim b desde que lim b 0.

5 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 3 ( ) Caso f for cotíua, lim f(x ) = f lim x As demostrações são similares ao caso das fuções reais e ão serão repetidos aqui. Observação.4. No caso da sequêcia que diverge para ±, a operação pode ser efetuado se a aritmética iitesimal for possível. A demostração destas propriedades o caso de limite da sequêcia ser iito forece as regras de cálculo iitesimal apresetado a seção aterior. Para resolver problemas evolvedo potêcias, a fórmula a b l ab = e = e b l a para a > 0, é uma das idetidades mais importates. Observação.5. Para obter o limite, basta aalisar para grades.. Teste da subsequêcia Para mostrar que o limite ão existe, o teste de subsequêcias são um dos mais utilizados. Subsequêcia é uma sequêcia formado pelas partes da sequêcia dada, isto é y k = x k ode k k é ijetiva ( i = j etão i = j). Teorema.6. Seja x uma sequêcia covergete. Etão qualquer subsequêcia y k de x coverge e tem o mesmo limite. A forma mais usada do Teorema acima é Corolário.7 (teste da subsequêcia). Qualquer sequêcia que possui duas subsequêcias com limites diferetes será divergete. Este corolário é um dos mais importates para provar a divergêcia das sequêcias. Exemplo.8. x = ( ) diverge, pois a subsequêcia x = ( ) = coverge para, e a subsequêcia x + = ( ) + = coverge para que são valores diferetes. Para mostrar que a sequêcia x coverge através de subsequêcias, todas as subsequêcias cosideradas devem ter o mesmo limite e além disso, a uião destas subsequêcias, respeitado as posições detro de (x ) deve ser exatamete a sequêcia (x ), respeitado as suas respectivas posições. Exemplo.9. x = ( ) coverge para 0. Para provar, cosidere as subsequêcias y k = x k = ( ) k k = k a qual tem-se lim y k k k = = 0+ = 0 e z k = x k+ = ( )k+ = a qual k+ k+ lim z k k k k + = = 0 = 0. Como y e z são subsequêcias que possuem o mesmo limite e a uião de y k e z k é exatamete a sequêcia (x ), a sequêcia x coverge para 0. Note que o problema acima é muito mais fácil de ser resolvido pelo Teorema de Saduiche (Teorema.4 da págia 4) que veremos mais adiate. k Exemplo.0. x = ( ) e cosideremos y k = x 4k = ( ) 4k+ = 0 a qual tem-se lim y k = e z k = x 4k+ = ( ) 4k+ = a qual lim z k =. Como y k e z k k k k k possuem o mesmo limite, podemos dizer que, se x covergir, o limite será. No etato, a uião deles ão é exatamete a sequêcia x e ão podemos armar se a sequêcia coverge ou ão. De fato, já tíhamos visto que ele diverge (Exercício.8 da págia 3).

6 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 4 Exercício.. Mostre que uma sequêcia com sial alterada é covergete se, e somete se o a sequêcia dos valores absolutos covergir para zero. A seguir, algus teoremas e técicas para obter limites..3 Sequêcias deidas pela fução cotíua Teorema.. Se x = f() ode f é uma fução cotíua (para x grade) tal que lim f(x) x existe, etão lim x f(x). x Exemplo.3. lim = L Hopital = L Hopital e = =. Note o abuso de liguagem para cosiderar como úmero real a qual a sequêcia era úmeros iteiros. e e Lembrar que, ão ter o limite da fução, ão sigica que a sequêcia diverge, como o caso de x = se(π). Neste caso, x = 0 e cosequetemete, lim x = 0, mas lim se(xπ) = se( ) =. x.4 Teorema de Saduíche Teorema.4 (Teorema de Saduíche). Se a b c e lim a c = L etão lim b = L. Demostração. Apesar da demostração ser aáloga do caso das fuções, repetiremos a demostração devido a sua importâcia. Sedo lim a = L, temos que, ε > 0, existe N a N tal que, para todo > N a tem-se L ε a L + ε. Aalogamete, existe N c N tal que, para todo > N c tem-se L ε c L + ε. Cosidere N = max{n a, N c }. Etão, para > N, temos que L ε a L + ε. e L ε c L + ε. Logo, L ε < a b c < L + ε. Assim, lim b = L. Exemplo.5. x = cos cosequetemete, lim cos lim = 0. etão temos que cos implicado que lim cos lim. Assim, = 0 lim Uma das cosequêcias importates do Teorema de Saduíche é Corolário.6. lim x = 0 se, e somete se, cuja demostração é deixado como exercício. Exemplo.7. x = ( ) etão lim ( ) Outro exemplo do uso do Teorema de Saduíche. Exemplo.8. Vamos mostrar que lim =!. Logo, 0! lim x = 0.! = 0. Observe que! lim, o que implica que 0 lim cos = = ( ) 0+. Logo, lim = ( )( ) = cos e = 0. Logo, = 0. ( ) vezes {}}{ =! = 0. Assim, lim = 0.

7 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5.5 Usado a ordem da fução Deimos a ordem de covergêcia da fução como segue. Dizemos que y tem ordem maior que x x e deotamos por x = o(y ) quado lim = 0. y O estudo da ordem da fução ão costuma ser tratado o ível de Cálculo, mas ajuda muito f(x) quado precisamos determiar o limite. Dizemos que f = o(g) em a quado lim = 0. Se usar a x a g(x) lista da ordem de covergêcia das fuções elemetares o iito, o cálculo de limites da sequêcias cará mais simples. Claro que qualquer fução que vai para o iito, tem a ordem maior que a fução costate. Teorema.9. Para o limite o iito, temos Se lim x f(x) = etão c = o(f). Qualquer fução que tede a iito tem ordem maior que a fução costate. Para úmeros reais a < b, temos x a = o(x b ). Poteciação maior tem ordem maior. Para u > 0 e a >, temos que log a x = o(x u ) e x u = o(a x ). Logaritmo tem (com base maior que ) ordem meor que qualquer poteciação (positiva) e expoeciação (com base maior que ) tem ordem maior que qualquer poteciação (positiva). Em particular, lx tem ordem meor que poteciação (positiva) e e x tem ordem maior que poteciação (positiva). Para a >, tem-se a x = o(γ(x)) e Γ(x) = o(x x ), ode Γ() = ( )! para iteiro é deomiado de fução gamma. No caso de iteiros, é equivalete a a = o(!) e! = o( ). prova parcial. As demostrações podem ser feito diretamete com o uso da regra de L'Hopital, exceto para o caso da ordem de fução gamma. Assim, será deixado como exercício. No caso de evolver a fução gamma, vamos provar somete o caso da variável ser iteira. A propriedade a = o(!) é a Proposição 3.48 (págia 7). O caso de! = o( ) é o exemplo.8 (págia 4). Caso de x ser real, precisaria usar o fato das fuções serem cotíuas crescete, o que omitiremos aqui. f() Assim, se deotarmos f g para o caso de f = o(g) em ( lim = 0), a ordem das fuções g() poderá ser resumido como c log a x u a! para u > 0 e a > (claro que a pode ser e que é maior que ). Aliado ao fato de a b e a b para úmeros reais a < b, podemos simplicar a obteção do limite das sequêcias através do seguite resultado. Proposição.0. Se f = o(g) em a, etão lim x a (f(x) + g(x)) x a g(x) f(x) Demostração. Como f = o(g) em a, temos que lim ( ) x a g(x) f(x) lim(f(x) + g(x)) x a x g(x) + g(x) (0 + ) lim g(x) g(x) x x a = 0 por deição. + Exemplo.. Obter o limite de lim e + l, caso exista. Como = o( ) e l = o(e ), temos que

8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 6 lim + e + l e e = L Hopital e = e = = 0..6 Sequêcias moótoa Uma sequêcia a é dito moótoa crescete quado a + a para todo. Da forma aáloga, uma sequêcia a é dito moótoa decrescete se a + a para todo. Deição.. As sequêcias crescete ou decrescete são deomiados de sequêcias moótoas. Caso especial das sequêcias moótoas são as sequêcias estritamete moótoas deidos como segue. Deição.3. No caso de ter a + > a para todo, dizemos que a sequecia é estritamete crescete e caso de ter a + < a para todo, dizemos que a sequêcia é estritamete decrescete. Uma sequêcia é estritamete moótoa se for estritamete crescete ou estritamete descrescete. Note que, em vez de dizer crescete, também podemos dizer ão decrescete. O mesmo vale para decrescete que podem ser refereciado como ão crescete. No etato, é recomedado ão abreviar o termo estritamete quado ão ser igual é essecial. Uma sequêcia é dita limitada se existe M tal que, x M. Um dos teoremas mais importates da sequêcia moótoa é Teorema.4. Toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Para quem iteressar, a demostração está o apêdice (Subseção B, págia B). Exemplo.5. x + =. A sequêcia é limitada, pois x +3. Ele é crescete, pois x + x + ( ) ( + ) que vale sempre. Logo, a sequêcia coverge. Note que, é fácil ver que lim x = pela regra de L'Hopital, o que implica que é covergete. O critério da covergêcia da sequêcia moótoma é importate para estudos teóricos tais como obter critérios de covergêcia das séries..7 Limite da sequêcia deida pela recorrêcia Quado a sequêcia é deida pela fórmula de recorrêcia (tipo x + = f(x )) e tem a garatia de covergêcia (por exemplo, moótoa e limitada), aplique o limite em ambos os lados a forma de recorrêcia e use L x (assim, caria L = f(l)). Exemplo.6. Sabedo que x + = x + x teremos ( ) + lim x x + + = x lim x L = L = ±. Assim, caso tiver o limite, lim coverge, ecotre o seu limite. Deotado L x, que seria L = L+ L lim x. Resolvedo, teremos L = L + x = ou lim x =. No caso de ter x 0 > 0, teríamos x > 0 e cosequetemete, L 0. Logo, o caso de ter x 0 > 0, teríamos L =.

9 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 7 Observação.7. No Cálculo, ão vamos preocupar muito em como mostrar que uma sequêcia recursiva (deida pela recorrêcia) é covergete, mas é importate para o Cálculo Numérico..8 Algus limites importates lim =. Prova: lim e l( ). Mas l ( ) = l = l l = ( ) Assim, l lim l = l = L Hopital / = ( ) = 0. Como l lim = 0, lim e l( ) = e lim l( ) = e 0 =. lim a = para a > 0 (prova é aáloga a aterior e deixado como exercício) 0, a <, a > lim a =. Caso de a > 0 é provado de forma similar ao caso aterior, mas, a =, a observado o sial de l a. Caso de a = e a = 0 são triviais e o caso de a = já foi mostrado, usado a subsequêcia. O caso de a < segue do caso de a > (tete provar). lim! =. Prova: Observe que! = ( )( ) }{{ } vezes Logo, (!! =. lim ) =. Assim, lim! lim =. ( )! ( ). =. Cosequetemete,

10 Capítulo 3 Séries Numéricas A soma dos termos de uma sequ6ecia a é deomiado de séries de termo geral a e é deotado por a. Neste caso, a é deomiado de termo geral da séries. Quado ão importa ode iicia = 0 a soma, as vezes abreviamos como a como o caso de somete aalisar a covergêcias (se a soma é úmero ou ão). Deir a soma de iitos termos ão é simplesmete somar. Por exemplo, a séries ( ) = + +, temos que ( ) = ( ) + ( ) + = = 0 equato que ( ) = + ( + ) + ( + ) + = =, tedo valores difere- tes. Assim, ão podemos tratar somas de iitos termos como o caso da some de itos termos. Para que ão perca algumas das propriedades esseciais da soma como o caso acima, estabelecemos que os termos precisam ser somados em sequêcias. Para ser mais formal, cosidere uma N série a = S. Deimos a soma parcial S N = a = a 0 + a N que é uma sequêcia recursiva dado por S 0 = a 0 e S N = S N + a N para N > 0. Escrevemos a = S quado tiver = 0 = 0 = 0 lim S = S. Note que, para esta deição, a soma precisam ser feitas em ordem, somado um termo a cada etapa. Deição 3.. Quado S coverge, dizemos que a série é covergete. Quado S diverge, dizemos que a série é divergete. Como a soma parcial é uma soma ita, permite efetuar associação dos termos. Logo, a séries covergete permite efetuar associação dos termos da soma. Assim, a séries ( ) é divergete por ão permitir associação. No etato, as trocas das posições dos termos em sempre pode ser efetuada (Ver o Exemplo D. da págia 3). Observação 3.. Existe o estudo da covergêcia da séries usado a sequêcia de média das somas parciais a qual ( ) =. A covergêcia pelas médias das somas parciais requer estudos mais sosticados, o que ão será apresetado este texto. 8

11 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 9 Exemplo 3.3. A séries ( ) = + + é divergete. Como S k = ( ) ( ) k = = ( ) + ( ) + + ( ) + = =, temos que lim k S k =. Agora, S k+ = ( ) ( ) k+ = + + = ( ) + ( ) + + ( ) = = 0, temos que lim k S k+ = 0. Assim, S tem duas subsequêcias com limites diferetes, o que implica que é divergete. Note o uso de associatividade da soma em S por ser uma soma ita para cada. 3. Algumas propriedades operacioais Propriedades. Se a e b são séries covergetes, etão (a + b ) = a + b. (λa ) = λ a. a a caso a for covergete. Caso o limite evolver, vale somete se a operação correspodete for válido (cosegue operar) a aritmética iitesimal. A covergêcia das séries depede somete de termos para grade. Assim, ode começar a séries é importate somete para obter o seu valor. Observação 3.4. Para λ 0, A série a coverge se, e somete se, λa coverge. 3. Limite do termo geral A seguir, algumas formas de vericar a covergêcia das séries. Teorema 3.5. A série a coverge etão lim a = 0. Demostração. Como S = S + a e sabemos que o limite existe por série ser covergete, passamos o limite em ambos os lados da equação, temos lim S S + lim a. Sedo lim S = S, temos S = S + lim a. Logo, lim a = 0. Como cosequêcia, temos Corolário 3.6 (teste do termo geral). Se lim a 0, etão a série a diverge. que é um dos critérios mais usados para vericar a divergêcia das séries. Exemplo Exercício 3.8. Mostre que ( ) (+) diverge, pois lim a + = diverge. Agora vamos ver um exemplo particular a qual é possível obter a soma L Hopital = 0.

12 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 0 Exemplo 3.9 (Série Telescópica). Vamos ecotrar o valor de =. Usado a técica de ( + ) frações parciais, podemos escrever o termo geral em soma de duas frações. Escrevedo = (+) a + b = a(+)+b = (a+b)+a a + b = 0, obtivemos (a + b) + a =. Como é geérico, temos + (+) (+) a =, o que implica que a = e b = a =. Logo, =. (+) + Agora veremos a soma parcial. Temos S = ( ( ) + 3 Passado o limite, temos = ) + + ( ) ( + ( ( + ) S + ) = + Exercício 3.0. Seguido o exemplo aterior, mostre que a séries de ter lim a = 0. para todo. ) = = ). + = ( ) l diverge, apesar + Em muitas séries, ão é possível determiar se é covergete. No caso de obter o seu valor é tarefa mais complicada aida. Com a exceção das séries geométricas, poucas séries (covergetes) tem o seu valor cohecido. 3.3 Séries geométricas Deição 3.. a 0 r (a 0 0 e r 0) é deomiado de séries geométrica. Teorema 3. (séries geométricas). caso, a 0 r = a 0 r. a 0 r (a 0 0) coverge se, e somete se r <. Neste Demostração. A prova cosiste em aplicar limite a soma parcial que é uma soma de P.G. (progressão geométrica). Seja a 0 r (a 0 0 e r 0). Etão a = a r para > 0. Multiplicado r a soma parcial S = a a, temos que rs = a 0 r + + a r = a + + a +. Subtraido do S, temos S rs = a 0 a +. Observado que a i = a 0 r i, temos ( r)s = a 0 a + = a 0 a 0 r + = a 0 ( r + ) e cosequetemete, S = a 0( r + ) para r. Quado r r <, temos que lim r = 0 (Ver subseção.8, págia 7) de modo que lim r = 0. Assim, a 0 r a 0 ( r + ) S r = a 0. No caso de r, observemos que lim r a 0r 0 (exercício), o que implica que lim a 0 r 0. Assim, a séries diverge pelo teste do termo geral. Exemplo 3.3. r <. = +3 3 = 8 ( ) = = = 6 pois a 0 = 8 e r = 4 com

13 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS Exemplo = = que é uma série geométrica 0 com r <. Como a 0 = e r = a parte da série, temos =. + = 00 / = + 36 = = Exemplo 3.5. como ão começa de 0, fazemos uma traslação da ídice k = e3+ = (assim, = 0 implica que k = 0), tedo = k +. Substituido a série, temos e = 3+ e = ( ) k = 3k+7 e 7 e 3 e 7 por ser séries geométricas com a 0 = e r =, e 7 e 3 = k=0 k=0 e 3 tedo r <. 3.4 Séries alteradas Deição 3.6. A séries ( ) a com a positivo é deomiado de série alterada. Teorema 3.7 (teste de Leibiiz para série alterada). A séries alterada ( ) a com lim a = 0 e a decrescete (ão crescete) é covergete. Além disso, o erro de aproximação do valor da séries pela soma parcial S é o máximo a +. Demostração. Cosidere a subsequêcia S k da sequêcia da soma parcial S da séries ( ) a. Etão S k+ = S k a k+ +a k+ S k pois a k+ a k+. Assim, S k é decrescete. Aalogamete, a subsequêcia S k+ é crescete por ter S k+3 = S k+ + a k+ a k+3 S k+. Como S k+ = S k a k+ S k S 0 = a 0, a sequêcia S k é decrescete e é limitada iferiormete, será covergete. Da mesma forma, S k+ é crescete e é limitada superiormete por a 0 a, será covergete. Como S k e S k+ jutas formam a sequêcia S, basta mostrar que ambas limites são iguais para garatir a covergêcia de S. Sejam lim S k = S p e lim S k+ = S I. Passado limite a equação S k+ = k k S k + a k+ e observado que lim a = 0, temos que S I = S P + 0. Assim, ambos limites coicidem, o que prova que S coverge. Deotamos por S = S I = S P para aalisar o erro de aproximação. Observe que S k+ é crescete e S k é decrescete. Assim, temos que S k+ S < S k. Logo, S S k S k+ S k = a k+ para aproximação por S k. Como exercício, mostre que a aproximação por S k+ é iferior a a k+. Para vericar se é decrescete (ão crescete) o caso de a = f() para fução difereciável f, costuma aalisar se vale f (x) 0. Caso ão for difereciável ou derivadas tora complexa, precisaria vericar diretamete que a + a. Exemplo 3.8. ( ) + coverge, pois é uma série alterada tal que lim a + = = 0 e a é decrescete, pois a + a + (+) Note que, a séries alterada, a já é assumido sem o sial para efetuar testes e estimar erros. Para obter o erro iferior ou igual a 0.05, temos que somar até E a , isto é, , pois deve ser iteiro. Assim, terá que somar até = 0. A covergêcia leta desta séries é justicada pelo

14 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS fato do valor de r que pode ser obtido pelo teste da razão (Teorema 3.40 que veremos mais adiate) é igual a. Exemplo 3.9. = ( ) l é uma série alterada com lim a l = l = = 0 e a = f() = com f decrescete para x grade, por ter f (x) = l série coverge. Para ter erro iferior a 0.05, tem-se que a = 0.05 = 0. Exercício 3.0. Mostre que a série 3.5 Séries de termos positivos ( ) ( 0.5) coverge. l (l x+) 0 para x. Logo a (x l x) para > e e logo, basta ter No caso das séries de termos positivos, a soma parcial sempre é crescete. Assim, se ele for limitado superiormete, será covergete (ver Teorema.4 da págia 6). Assim, podemos obter algus critérios especiais. Exercício 3.. Uma séries de termo positivo é divergete se, e somete se, divergir para o iito. Teorema 3. (teste da itegral). A séries a com a = f() ode f é uma fução cotíua, positiva e decrescete (por exemplo, f (x) 0) para x grade, etão a séries coverge se, e somete se, a itegral f(x)dx coverge para algum A. Além disso, o erro cometido pela aproximação do A valor da séries S pela soma parcial S N é o máximo N f(x)dx. Demostração. Temos que a = a a N + a = S N + a. Como f(x) 0 para = 0 N N+ N, temos que a soma parcial S da séries é crescete para N. Assim, a séries coverge se, e somete se a for limitada. =N+ Para cada > N, temos que a + f(x) a para x [, + ] por f ser decrescete (Figura 3.). y a a + + y = f(x) x Etão a + = + a + dx Figura 3.: Teste da itegral + Se a itegral coverge, temos que f(x)dx + a dx =a.

15 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 3 =N+ a = a N+ + a N+ + N+ N f(x)dx + que é limitada, o que implica que a séries coverge. Por outro lado, se a séries coverge, temos que N f(x)dx N+ N f(x)dx + N+ N+ N+ N+ f(x)dx + = f(x)dx + a N + a N+ + = N f(x)dx a, implicado que a itegral é limitada e pelo fato da fução ser ão egativa, ele coverge. Para aalisar o erro, observemos que o erro de aproximação do valor da séries por S N é igual a a, o que coclui o teorema. =N+ Note que, se a itegral covergir, teria lim x f(x) = 0, o que implica que lim a = 0. Exemplo 3.3. é covergete. De fato, a e = f() ode f(x) = x que é positiva para e x x > 0. Agora, f (x) = ex xe x x ( x)ex = 0 para < x (ou seja para x > que é para todo x (e x ) e x sucietemete grade). Como o termo da séries e deidos pela fução ão egativa e decrescete, aplicaremos o teste da itegral. x dx = e x xdx = e x ( x)dx = e x e x + C = + C. e x ( ] x Portato, dx = = = e x e x e e + e = que é um úmero (ão é ). e Assim, a itegral coverge e cosequetemete, a séries coverge. Exercício 3.4. Verique a covergêcia da série l. Deição 3.5. A séries p é deomiado de p-séries. Teorema 3.6 (p-séries). p coverge se, e somete se, p >. A demostração é feita pelo teste da itegral (Teorema 3. da págia ) e será deixado como exercício. A séries é cohecido como a séries harmôicas que ca o limite etre séries covergetes = e divergetes, tedo divergêcia muito leta (para iito). A amostra da soma parcial parece covergir para um úmero. Exemplo 3.7. Seja a série =. Fazedo k = + (logo, = k ), ( + ) 3 ( + ) 3/ tem-se que ( + ) = 3/ k que é uma p-série com p = 3 >. Etão ele coverge. 3/ k= Teorema 3.8 (teste da comparação). Se as Séries a e b são de termos positivos (a > 0 e b > 0) com a b etão: Se a =, temos que b = ; =N

16 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 4 Se b coverge, temos que a também coverge. Além disso, a = 0 = 0 b N N Demostração. Sejam (S a ) N = a e (S b ) N = b as somas parciais. Como são de termos = 0 = 0 positivos, eles são crescetes e (S a ) (S b ). Se a divergir, tem-se que lim (S a) N N = e logo, (S a) N N lim (S b) N N de modo que b =. Se b covergir, (S a ) N (S b ) N lim (S b) N N = S b < de modo que (S a ) N é uma sequecia crescete limitada superiormete por S b. Logo coverge. Além disso, (S a ) N (S b ) N = lim (S a) N N lim (S b) N N e cosequetemete, a b. = 0 = 0 Exemplo 3.9. série coverge. Exemplo = = ( + ). Como e coverge por ser p-série com p = >, a (+ e = e. geométrica de razão r = e <, a série coverge. além disso, e Como e e e é covergete por ser série = e e e =. e Teorema 3.3 (teste de comparação forma limite). Se as séries a e b são de termos positivos a com lim = L. Etão temos b Se L 0, etão as séries a e b, ambas covergem ou ambas divergem. Se L = 0 e b coverge, etão a também coverge. Se L = 0 e a diverge, etão b também diverge. a Demostração. Caso de L 0. Como a e b são de termos positivos, lim = L > 0 a codição b do teorema. Assim, para ε = L a, existe N N tal que > N = L ε < b < L + ε e cosequetemete, b (L ε) < a < (L + ε)b. Se b covergem, (L + ε)b também coverge. Logo, a coverge. Se a for covergete, ote que ε = L implica em L ε = L > 0 e cosequetemete, b < a. Como a coverge, b (L ε) L ε também coverge pelo teste da comparação. Caso de L = 0. Se b covergete etão, dado ɛ =, existe N N tal que > N = = L ε < a b < L + ε = e cosequetemete, a < b. Se b coverge, etão a coverge pelo teste da comparação e se a diverge, etão b também diverge pelo teste da comparação. = Exercício 3.3. Sejam as séries a e b que são de termos positivos com lim que a coverge, etão b também coverge. b diverge, etão a também diverge. a b =. Mostre

17 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 5 a Exercício a Dica: Imitar a demostração do caso de lim = 0 ou observe que lim = b b b etão lim = 0. a O teorema acima simplica a vericação de covergêcia da séries de termos o caso de ser quociete da soma de fuções elemetares. A simplicação é baseado a ordem de covergêcia da fução como o caso do teste de comparação das sequêcias (Veja subseção.5 da págia 5). Exemplo (+) coverge. Simplicado a = (+) b = a. Como exercício, verique que lim p >, é covergete. Logo a séries (+) pela ordem da fução, obteremos = 0. Como b = é uma p-séries com b também é covergete, pelo teste de comparação forma limite (Teorema 3.3). Note que o procedimeto de simplicação pela ordem da fução em sempre fucioa para usar diretamete o teorema de comparação forma limite. e + é covergete, mas a simplicação dos termos, seria e a ão serve para teste da comparação por ter lim =. b que é covergete, mas No etato, é fácil de vericar a covergêcia pelo teste da razão (Toerema 3.40 da págia 3.40). 3.6 Séries absolutamete covergetes Deição Uma série a é dito absolutamete covergete quado a coverge. a coverge, mas a ão coverge, é dito codicioalmete covergete. Se Temos que Teorema 3.36 (série absolutamete covergete). A série absolutamete covergete é covergete. Demostração. Como 0 a + a a e como a é covergete, pelo teste da comparação (a + a ) coverge por ser séries de termos positivos. Assim, a = (a + a ) a é a difereça de séries covergetes, o que implica que é covergete. Exemplo cos coverge, pois temos que a. Como é série covergete por ser p-séries com p >, a coverge pelo teste de comparação acima. Logo a série é absolutamete covergete, o que implica que ele é covergete. Uma das características mais importates da séries absolutamete covergete é ter a mesma soma, idepedete de rearrajos dos termos (Veja [3, Teorema do reagrupameto]). No caso das séries codicioalmete covergetes, o rearrajo pode alterar o valor da soma (Veja o exemplo D. da págia 3). É possível provar que, se for dado uma série codicioalmete covergete, cosegue obter qualquer úmero real como valor da série obtido pelo rearrajo dos seus termos.

18 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS Teste da raiz e da razão Para vericar a covergêcia das séries sem características especiais, o teste da raiz e da razão são os mais usados. A seguir, veremos estes testes. Teorema 3.38 (teste da raiz). Se r a etão temos que Se r < a séries a coverge (série será absolutamete covergete); Se r >, etão a séries a diverge. Se r =, ão se sabe. Demostração. A demostração é feita, comparado com a série geométrica de razão r. Se r a <, cosidere ε = r. Etão existe N N tal que > N, r ε < a < r + ε. Deotado r = r + ε, temos que r < e a < r. Como a série r k é uma série geométrica com razão r <, ele coverge. Pelo teste da comparação, a série a é covergete, o que implica que a série a é absolutamete covergete. Se r a >, cosidere ε = r e r = r ε. Como o caso acima, teremos r k < a com r >. Assim, temos que lim a = (prove). Logo, ão pode ter lim a = 0 (prove), o que sigica que a série é divergete. e diverge, pois r = é deixado como exercício. Exemplo lim Teorema 3.40 (teste da razão). Se r a + a e etão temos que e = e >. Se r < a séries a coverge (série será absolutamete covergete); Se r >, etão a séries a diverge. Se r =, ão se sabe. k=n A prova de que a Demostração. A demostração é aáloga do teste da raiz, mas requer mais cuidados. Se r a + r a <, cosidere ε =. Etão existe N N tal que > N, r ε < a + < r + ε. Deotado r = r + ε, temos que r < e a + < a r. Assim, podemos usar a idução ita para obter a N+k < a N r k. Como a série a N r k é uma série geométrica com razão r <, ele coverge. Pelo teste da comparação, a série a N+k é covergete, o que implica que a série a é absolutamete covergete. Quado r a + a com r >. Assim, temos que lim >, cosidere ε = r e r = r ε o caso acima, obtedo an r k < an+k a N+k = (prove). Logo, ão pode ter lim a = 0 (prove), o que sigica k que a séries é divergete.

19 CAPÍTULO 3. SÉRIES NUMÉRICAS 7 Observação 3.4. O critério do teste da razão e da raiz é mesmo, exceto em como determiar o valor de r. Observação 3.4. Quado existem os limites cosiderados, o valor de r obtidos pelo teste da raiz e da razão são mesmos. Logo, ão adiata trocar o teste quado r =. No etato, existem casos que somete um dos testes cosegue determiar o r. Observação Quato meor o r, mais rápido será a covergêcia da série. Assim, r = 0 idica que a séries coverge muito rápido, equato que r = idica que, se a séries covergir, coverge bem de vagar. Note que a demostração da divergêcia os testes da raiz e da razão, foi mostrado que o termo geral ão tede a zero, o que faz pergutar porque etão existem problemas que aplica o teste da razão em vez do teste do termo geral para provar que a série diverge. O fato é que, existe problemas em que obter o limite da raiz ou da razão pode ser mais simples do que o limite do termo geral. Exemplo coverge, pois! ( + )! ( + )! r a + a ( + ) ( + ) + L Hopital = = 0 <. Assim, a séries coverge (coverge bem rápido). Note que em sempre podemos empregar o teste da razão. A seguir, o exemplo que precisa do teste da raiz por evolver forma similar a, o que tora difícil de aplicar a teste da razão.. Exemplo ( = ) coverge, pois lim = a = = <. ( ) ( ) Exercício / Mostre que coverge. Dica: Aplique o teste da razão, cosiderado o caso de ser par e ser = impar. Observação As vezes, mostra que a série coverge para provar que o limite da sequêcia é 0. Isto ocorre quado o termo evolve a,!,, etc que são fáceis de ser maipulado pelo teste da razão ou da raiz, mas é difícil de ser trabalhados diretamete. A proposição a seguir é impostate para estudo do erro de Taylor que veremos mais adiate. A sua demostração será simples, se utilizar a série. Proposição Dado um úmero c, temos que lim c! = 0. Demostração. Cosideremos a série c. Pelo teste da razão,! a + c +! r a c ( + )! c + = c = 0 <. c Etão a série coverge e cosequetemete, lim a! = 0.

20 Capítulo 4 Séries de Potêcias Deição 4.. A séries do tipo a (x c) é deomiado de séries de potêcias. Dado uma séries de potêcias, existe R a qual a série coverge para x c < R (o iterior do itervalo de raio R com cetro em c) e diverge para x c > R. Este valor R é deomiado de raio de covergêcia. Quato mais próximo do cetro, a covergêcia será mais rápida e quato mais próximo dos extremos, a covergêcia será mais leta. Frequetemete, a séries de potêcia aparece com expoete de (x c) diferete de, como o ( ) x + caso de se x = que tem + como potêcias. Assim, requer cuidados a hora de ( + )! obter o raio de covergêcia. Observação 4.. Covecioaremos que 0 0 = e 0! = para simplicar a otação. 4. Raio de covergêcia Uma forma de obter o raio de covergêcia R é aplicar o teste da razão ou da raiz, icluido potêcias de (x c) para determiar valores de x a qual a séries coverge. Exemplo 4.3. e x 3+5. Cosiderado o termo geral a = e x 3+5, icluido as potêcias de x c, temos que r a + a L Hopital x 3 e ( + ) e x 3(+)+5 e + x 3+5 = x 3 e. ( + ) x 3 = e Observe que o limite é aplicado em e cosequetemete, L'Hopital é aplicado em. Como precisamos de r < para garatir a covergêcia, x 3 < x < 3 e. Logo, o raio de covergêcia e é R = 3 e. O caso de ter deslocameto do cetro é aálogo. Exemplo 4.4. (x ) +. Temos que 8

21 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE POTÊNCIAS 9 r a + (x ) ++ a (x ) + ( + ) + x ( + ) x = Aplicado a regra de L'Hopital, temos r x = x. Logo, a covergêcia é dado pela codição r = x < = x < = x <. Logo, x <. Assim, 4 4 o raio de covergêcia é R =. 4 É importate observar que x c < R e ão ax c < R ou similar. Exemplo 4.5. (x ). Temos que (x ) + r (x ) x = x. Logo, a covergêcia é dado pela codição r = x < = x <. Logo, x < = x <. Assim, o raio de covergêcia é R = e cetro de covergêcia é. Outra alterativa é reescrever a série como (x ) = ( ) x ates de aplicar o teste da razão ou raiz. Observação 4.6 (para implemetação computacioal). Se a séries de potêcias é da forma a (x c) α+β, o que aparece com maior freqüêcia, a razão ou raiz da parte das potêcias de (x c) será (x c) α(+)+β (x c) α+α+β lim = x c α a +. Logo, se ρ ou ρ a (x c) α+β (x c) α+β a (caso existam os limites, serão mesmos) ode a é o termo sem as potêcias de (x c), temos que a+ (x c) α(+)+β r a (x c) α+β (x c) α(+)+β a + lim = ρ x c α. a (x c) α+β ( ) Assim, a covergêcia é dado pela codição r = ρ x c α α < x c <, ou seja, o raio ρ ( ) α de covergêcia é R =. Esta fórmula é útil para implemetação computacioal, mas o caso ρ de cálculo maual, é acoselhável que efetue teste da raiz ou da razão de forma direta para evitar erros. 4. O Itervalo de covergêcia O itervalo de covergêcia é o itervalo I com cetro em c e raio R tal que a séries de potêcias coverge se, e somete se, x I. Como covergêcia é garatido em x c < R = R < x c < R = c R < x < c + R e a divergêcia é aáloga, o itervalo é similar a [c R, c + R] com cada extremos, abertos ou fechados depededo da séries, o que requer testes. Uma das propriedades importates das séries de potêcias é Teorema 4.7 (Abel). A séries de potêcia é cotíua o itervalo de covergêcia. Observação 4.8. Note que a séries de potêcias é especial por covergir para fução cotíua graças ao Teorema de Abel. Na sequêcia de fuções quaisquer, isto ão acotece como o caso de f (x) = x que é uma sequêcia de fuções cotíuas e é covergete o itervalo ], ]. No etato, o limite 0, < x < f(x) f (x) é uma fução descotíua dado como f(x) = (exercício)., x =

22 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE POTÊNCIAS 0 Exemplo 4.9. Determie o itervalo de covergêcia de x. a + x + ( + ) x + ( + ) x r = L Hopital x a x x = x. Como r < para covergir, x <. Logo raio de covergêcia é R =. Como o cetro é c = 0, o itervalo é I =], [, com ou sem fechar os extremos. Testaremos cado um dos extremos. x = etão é p-série com p = que é divergete. Para x =, temos ( ) que é uma série alterada com lim a = = 0 e a ão crescete, pois a + a Logo, é covergete. Portato, o itervalo é I = [, [ Derivadas e itegrais Derivadas e itegrais das séries de potêcias são efetuadas termo a termo. Tome cuidado quado obtêm a derivada, pois o termo costate vai sumir (a x para = 0). Caso ão observar, poderá aparecer potêcias egativas! Na derivada, pode perder a covergêcia os extremos e a itegral, poderá gahar covergêcia os extremos, mas o raio de covergêcia mão muda. Para saber se ocorreu a perda (o caso da derivada) ou o gaho (o caso da itegral) os extremos, terá que testá-los. Exemplo 4.0. Como e x = e x dx = x! para todo x (veja Exemplo 5.5), temos que x! dx = x + + C que tem o raio de covergêcia R =.!( + ) Assim, coseguimos uma represetação em séries de potêcias, da fução e x dx que ão tem represetação em termos de fuções elemetares. Também poderá obter o itegral deido em termos de séries uméricas. Exemplo 4.. A série de potêcias ( + )x que poderá calcular a itegral em [, ]. coverge o itervalo (, ) (exercício) de forma ( ( + )x dx = = ( ( + )x + ( + ) ) + Como é somas de duas séries geométricas, ( + )x dx = ] = ( ( ) + = + ] x + ( ) = =. ( ). No exemplo acima, até foi possível obter o valor exato da itegral deida, mas o caso geral, a série pode ão ser fácil de ser resolvido. No etato, a soma parcial da série resultates pode ser usado para estimar a itegral deida.

23 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE POTÊNCIAS ( ) Exemplo 4.. x + l( + x) = para < x. Note que l x ão pode ser escrito a + séries da forma a x (sem deslocameto a origem), pois l 0 =, mas a série coverge em x = 0. No etato, com o deslocameto em x, f(x) = l( + x) existe para x = 0. Sabemos que f (x) = (l( + x)) =. Como a +x o r = a 0, temos que r f (x) = + x = ( x) = ( ) x para r = x com r = x = x <. Itegrado, temos que f(x) = f(x)dx = ( ) x dx = ( ) x+ + C. Calculado + para x = 0, temos f(0) = 0+C = l = C = 0 = C. Logo f(x) = ( ) x+ para x <. + Para os potos de extremos, para x = a séries coverge (exercício) e para x =, a séries diverge. Como l( + x) é cotíua este itervalo, pode ser represetado pela séries de potêcias obtida, (u )+ para < x. Se zermos u = + x, temos que x = u e forece l(u) = ( ) + que coverge para 0 < u. Observação 4.3. Note que x = c é o úico poto a qual podemos obter o valor de qualquer séries de potêcia a (x c). Observação 4.4. Note que o valor da séries harmôicas alteradas pode ser obtido facilmete com ( ) x = a séries de potêcias de l( + x). Assim, l = + Exemplo 4.5. Temos que arcta x = ( ) x + + para x. Como arcta (x) = +x, é a soma da séries geométricas com razão r = x para r = x < = x <. Assim, ( arcta (x) = x = ( ) x. ( ) x + Itegrado, temos arcta(x) = + C. Como ta 0 = 0 = arcta 0 = 0, temos + ( ) x + que C = 0 (exercício). Logo, arcta x =. Como a séries coverge para x = e + x = (exercício), a séries coicide com a fução para x por arco tagete ser uma fução cotíua. Observação 4.6. Como ta ( ) π π 4 =, temos que Leibiz). Mostre que a fução de Bessel de ordem k J k (x) = 4 = arcta() = ( ) + (séries de Madhava- ( ) ( x ) +k coverge para todo x.!( + k)!

24 Capítulo 5 Séries de Taylor e de Maclauri Teorema 5.. Se f(x) = a (x c) etão a = f () (c).! Demostração. Como séries de potêcias tem derivadas, f também terá. Derivado ambos os lados e observado que (x c) 0 é costate, temos que f (k) (x) = a ( ) ( k + )(x c) k (exercício). =k Assim, f (k) (c) = a k k (k ) (k k + ) = a k k! (porquê?) a k = f (k) (c). k! e cosequetemete, No caso da fução ser séries de potêcias, o teorema acima permite obter a séries de potêcias que represeta a fução, mas em toda fução é igual a uma séries de potêcias, o que requer cuidados. Seguite teorema permite aproximar fuções pelo poliômio, assim como vericar se é possível escrever a fução em termos de séries de potêcias. Teorema 5. (Taylor). Se f tiver derivadas cotíuas até a ordem N + o itervalo cotedo c N f () (c)(x c) e x etão f(x) = + R N ode R = f (+) (z)(x c) + com z [c, x]. (+)!! Escrevedo f(x) = p N (x) + R N com p N (x) = a 0 + a (x c) + + a N (x c) N e assumido que derivadas até ordem N de f coicide com do poliômio, podemos mostrar que a i = f (i) (c) (exercício). i! No etato, a prova da expressão do erro requer mais trabalhos, o que ão é feito aqui. N f () (c)(x c) O poliômio p (x) = é chamado de poliômio de Taylor de ordem N em toro! de c e serve para estimar o valor de f(x). O erro é estimado por R M + x c + ode M (+)! + é um limitate para f (+ (z), isto é, um úmero tal que f (+) (z) M + que ão idepede de f () (c)(x c) z (depede somete de x e ). A séries é deomiado de séries de Taylor em! toro de c. Quado c = 0, a aproximação/séries de Taylor é deomiado de aproximação/séries de Maclauri. Lembre-se que, quato mais próximo for o x de c, meor será o erro. Assim, se já tiver o valor de x que queremos estimar, deverá desevolver em toro do poto mais próximo em que sabemos o valor da fução e suas derivadas.

25 CAPÍTULO 5. SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN 3 Exemplo 5.3. Estimar o valor de se 0. usado o Taylor de ordem 3 e estime o seu erro. Temos que se x = cos x, se x = se x, se x = cos x e se (4) x = se x. O poto mais próximo de 0. que sabemos os valores de fução e suas derivadas é 0. Taylor de terceira ordem em 0 é p 3 (x) = f(0) + f (0)(x 0) + f (0) (x 0)! + f (0) (x 0)3 3!. Temos f(0) = se 0 = 0, f (0) = cos 0 =, f (0) = se 0 = 0,f (0) = cos 0 = de ode p 3 (x) = 0 + x + 0x! + x3 3! = x x3 6. Assim, se = = = Para estimar o erro, temos que M 4 max{ f (4) (z) } = max{ se z } com z [c, x] = [0, 0.]. Como se θ, podemos tomar M 4 =. Logo, R 3 M 4 x 4 4! = = Quado lim R N = 0, temos que f(x) = f () (c)(x c) N e a fução é igual a sua séries de Taylor.! Neste caso, f é deomiado de fução aalítica. Isto ocorre, por exemplo, se f (+) (z) M para todo, z [c, x] (valor absoluto das derivadas são limitados pelo úmero M que ão depede de, em de z). Observação 5.4. Note que em toda fução de classe C (que tem todas derivadas cotíuas) é e x, x 0 aalítica. Por exemplo, f(x) = 0, x = 0 tem todas derivadas cotíuas e f (k) (0) = 0 para 0x todo k (exercício). Assim, a séries de Taylor em toro de 0 será = 0 = 0 que coverge! para todo x, mas é obvio que ão é f(x) para x 0 (ão existe itervalo em que f(x) coicide com a séries de Taylor em toro de 0). Exemplo 5.5. Vamos provar que e x = x! para todo x. Temos f(x) = ex, f (x) = e x, f (x) = e x,..., f () (x) = e x. Poto ode podemos calcular fução e suas derivadas é em c = 0. Assim, podemos obter a séries de Taylor em toro de 0. Neste caso, teremos f(0) = e 0 = e f () (0) = e 0 = para todo f () (c)(x c) f () (0)x x., tedo a séries de Maclauri (Taylor em toro de 0) = =!!!. Para que f(x) seja igual a séries de Taylor, o erro deve teder a zero quado cresce. Temos que f (+) (z) = e z = e z é cotíua o itervalo [c, x] = [0, x]. Sabemos que toda fução cotíua o itervalo fechado possui máximos e míimos. Etão existe um máximo M em [0, x], isto é, costate M tal que f (+) (z) M para todo z [c, x] = [0, x]. Como f (+) (z) = e z = e z ão depede de, M também ão depede de (se f + (z) depeder de, M também depederia de, mas isto ão ocorre este caso). Assim, f (+) (z) é limitado pelo úmero M que ão depede de. Assim, lim R f (N+) (z N ) x N Mx N N lim = M 0 = 0 pela N N (N + )! N N! x Proposição 7 (págia 3.48). Logo, f(x) =!. Veremos outro exemplo. Exemplo 5.6. Vamos provar que se x = ( ) x + ( + )! para todo x. Temos f(x) = se x, f (x) = cos x, f (x) = se x,f (3) (x) = cos x, f (4) (x) = se x = f(x). Como queremos que seja série de Maclauri, devemos desevolver em toro de 0.

26 CAPÍTULO 5. SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN 4 Iiciaremos pela aálise de erro. Como todas derivadas são seo ou cosseo e se x e cos x, temos que f + (z) = M para todo. Assim, lim R f (N+) (z N ) x N x N N M lim = M 0 = 0, ovamete pela Proposição 3.48 (págia 7). Cosequetemete, se x coicide com a séries de Maclauri para todo x. N N (N + )! N N! Para obter a séries de Maclauri (c = 0), observemos que f(0) = se 0 = 0, f (0) = cos 0 =, f (0) = se 0 = 0,f (3) (0) = cos 0 = e quarta em diate repete de ovo, pois quarta derivada é igual a f. Assim, da ordem par sempre é ulo, o que sigica que ão vai aparecer a séries de potêcias. Da ordem ímpar altera de sial e seu valor absoluto é. Assim, para = k +, temos que f () (0) = f k+ (0) = ( ) k. Portato, a séries de Maclauri (Taylor em toro de 0) é. f () (0)(x 0) =! k=0 f (k+) (0)x k= (k + )! = k=0 ( ) k x k+ (k + )! Nem sempre o limitate da derivada é idepedete de, o que tora difícil de trabalhar com o erro de Taylor, como o exemplo a seguir. ( ) Exemplo 5.7. (x ) + Vamos provar que l x = para x usado técicas de + séries de Taylor. Sedo f(x) = l x, temos que f (x) =, f (x) =, f (x) =, f (4) (x) = 3, x x x 3 x 4 f (5) (x) = 3 4,... de forma que f () (x) = ( )+ ( )! para > 0, o que pode ser vericado pela x 5 x idução ita (exercício). Logo, f () () = ( )+ ( )! = ( ) + ( )! para > 0 de ode temos a séries de Taylor + f () ()(x ) f () ()(x ) f(x) = = f() +!! = ( ) + ( )!(x ) ( ) + (x ) = 0 + =! = = = ( ) k (x ) k. k + k=0 Para saber quado coicide com l x, precisamos vericar o termo do erro. Temos que f (+) (z) =! z + que é decrescete. Etão ele assume o máximo quado valor de z for míimo. Para z x, o valor de máximo é assumido em z =, tedo f (+) (z)!, Logo, lim R f (+) (z ) x + N ( + )! M x + lim N ( + )!! x + ( + )! x + + para x, o que garate que coicide em [, ]. Para itervalo [, ], observe que f (+) (z) assume o maior valor em x por ter x z. Logo, f (+) (z) =!! = M z x + + se 0 < x <. Assim, lim R f (+) (z ) x + N ( + )! M x + lim N ( + )!! x + x + ( + )! x + x + = 0

27 CAPÍTULO 5. SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN 5 para x por ter x (exercício). o que garate que a série coicide com a fução. x Note que a técica acima falha em ] 0, ], o que tora difícil provar que a série coicide com o l x para todo x o itervalo ]0, ] (o que já foi provado sem diculdades, usado a série geométrica). Exercício 5.8. Mostre que cos x = ( ) x para todo x. ()! Exercício 5.9. Ecotre a séries de Taylor de cos x em toro de π. Exercício 5.0. Obteha a séries de Taylor de se(x ) em toro de 0. Dica: Use a séries de se x, pois úica séries de potêicas que represeta a fução é de Taylor (Teorema 5.).

28 Apêdice A Séries de Fourier As séries de potêcias é uma forma de aproximar a fução através da combiação liear (soma dos múltiplos) de potêcias de x que é {, x, x, x 3,...}. Em vez das potêcias de x, podemos utilizar outras sequêcias de fuções (com preferecia, as fuções cuja suas propriedades já são cohecidas). Uma destas sequêcias frequetemete utilizadas é a sequêcia das fuções trigoométricas {, cos x, se x, cos(x), se(x), cos(3x), se(3x),...}. Somado os múltiplos dos termos desta sequêcia, teremos a séries a 0 + (a cos(x) + b se(x)) = cohecidas como séries de Fourier e apreseta propriedades iteressates. Assim como a séries de potêcias, temos a forma de obter os coecietes a k e b k a partir da fução dada, para represetar a fução ou uma aproximação através da sua soma ita. Teorema A.. f(x) = a 0 + (a cos(x) + b se(x)) em [ π, π] etão = e para k > 0, tem-se que a k = π a 0 = π π π π π f(x)dx f(x) cos(kx)dx (A.) (A.) b k = π π π f(x) se(kx)dx Demostração. Para obter os valores de seus coecietes, vamos supor que f(x) = a 0 + (a cos(x) + b se(x)) = (A.3) o itervalo [ π, π]. Em vez de tetar ajustar as derivadas (feito para séries de potêcias), vamos ajustar algumas itegrais deidas. Iicialmete, veremos a itegral o itervalo [ π, π]. 6

29 APÊNDICE A. SÉRIES DE FOURIER 7 π π f(x)dx = π π e observado que π cos(x)dx = π π π f(x)dx = πa π 0. Etão a 0 dx + π (a π = π cos(x)dx + b π se(x)dx = 0, temos π ) se(x)dx a 0 = π π π f(x)dx Para obter os valores de a k e b k para k =,, 3,..., aalisaremos o itegral de f(x) cos(kx) e f(x) se(kx) o itervalo [ π, π]. Para tato, observemos que π π cos (kx)dx = π π se (kx)dx = π, π cos(x) se(kx)dx = 0 para todo e k e se k, temos também que π cos(x) cos(kx)dx = π π π se(x) se(kx)dx = 0. Estes cálculo podem ser efetuados com o uso de idetidades trigoométricas apropriadas. π Com tais itegrais, π π π π ) f(x) cos(kx)dx = a 0 cos(x)dx + (a cos(x) cos(kx)dx + b se(x) cos(kx)dx π π = tora π f(x) cos(kx)dx = a π kπ, o que implica que a k = π π π π f(x) cos(kx)dx Aalogamete, temos que π f(x) se(kx)dx = b π kπ, o que implica que b k = π π π f(x) se(kx)dx π A covergêcia da série de Fourier da fução é garatido pelo seguite teorema Teorema A.. Se f : R R for π-periódica (f(x + π) = f(x) para todo x), cotíua por partes e possui derivadas laterais em x (por exemplo, ter derivadas), etão a série de Fourier de f em x coverge para o poto médio dos limites laterais f(x+ )+f(x ). Em particular, se f for cotíua em x, a série de Fourier de f em x coverge para f(x). Para facilitar os cálculos de tais coecietes, veremos oções básicas sobre fução par e impar. Deição A.3. Uma fução f é dito fução par se f( x) = f(x) para todo x e é dito ímpar se f( x) = f(x) para todo x. Quado f é par, temos que L f(x)dx = L f(x)dx e quado f é impar, tem-se que L 0 L f(x)dx = 0. L As fuções dado por f(x) = x é par se for par e ímpar se for ímpar. Também tem-se que cos(x) é par e se(x) é impar. As fuções par e ímpar comporta como jogo de sial a multiplicação. Temos que o produto de duas fuções pares ou ímpares são fução par e produto de fução par com ímpar é ímpar.

30 APÊNDICE A. SÉRIES DE FOURIER 8 x, x 0 x Exemplo A.4. Agora vamos calcular a série de Fourier da fução f(x) = o itervalo 0 x = 0 [ π, π]. Note que a fução é impar. Logo, a 0 = 0. Como f(x) cos(x) é ímpar, a k = 0 para k =,,... Etão calcularemos os valores de b k 's, observado que f(x) se(x) é par. b = π x se(x)dx = ( ] π π se(x)dx = cos(x) cos(π)+ cos 0 0, par = = π π x π 0 π π 0 4, impar. π Logo a Série de Fourier será 4 f(x) = se ((k + )x). (k + )π k=0 Observação A.5. No exemplo aterior, para x = π, temos que = 4 π Como se ( (k + ) π π 4 = ( ) k k + k=0 ) =, k par, k impar, temos que = 4 π k=0 k=0 ( ) k k +, que é mesmo obtido pelo arco tagete (Observação 4.6). ((k k + se + ) π ). o que implica que Exemplo A.6. Agora vamos calcular a séries de Fourier da fução f(x) = x o itervalo [ π, π]. Note que a fução é par. Logo f(x) se(x) é ímpar, tedo b k = 0 para k =,,... Etão calcularemos os valores de a k 's, observado que f(x) cos(x) é par. a 0 = π f(x)dx = π π π π 0 xdx = π a = π x cos(x)dx = π π π 0, par 4, impar. π Logo a Série de Fourier será f(x) = π + k=0 ( π x cos(x)dx = x se(x) 0 4 π(k + ) cos ((k + )x) = π 4 π k=0 cos(x) ] π 0 cos((k+)x) (k+). Exercício A.7. Obteha a séries de Fourier da fução f(x) = x em [ π, π[. = (cos(π) cos 0) = Observação A.8. Dada uma fução f deida o itervalo [a, b], podemos deir f(x + kt ) = f(x) para todo iteiro k, ode T = b a. Etão f é periódica de período T e coicide com a fução f em [a, b]. A fução f deido desta forma é deomiada de extesão periódica de f. Para ter uma série de Fourier de f em [a, b], calcula-se a série de Fourier de f. Efetuado a mudaça de variáveis e usado L = T = b a jutamete com a periodicidade, tem-se que L a o = f(t)dt = L L L e para =,, 3,... a = L L L L f(t) cos b a f(t)dt ( π L t ) dt = L b = ( π ) f(t) se L L L t dt = L e a séries de Fourier é da forma b a b a ( π ) f(t) cos L t dt ( π ) f(t) se L t dt