FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4
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- Yago Coradelli
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproimação, pretede-se sempre o valor eato. (). No referecial da figura do lado está represetada parte do gráfico de uma fução g, que possui um úico zero de abcissa egativa. Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução g''. A fução g tem um úico poto de ifleão, portato g'' tem um zero de abcissa egativa. g tem a cocavidade voltada para cima à direita desse zero, logo g'' é crescete Op. C/V4. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão 4
2 (). Sejam a e b úmeros reais positivos, com b. Se logb a c, etão log b ab é igual a... (A) c (B) c (C) c (D) c logb a c logb a c log b a c logb a c log ab = logba logbb = c Op. C/V4. Assim, b () 3. No referecial da figura do lado está represetada parte do gráfico de uma fução f e uma reta t, tagete ao gráfico de f o poto de abcissa. Sejam f' e f '' as primeira e seguda derivadas de f. Qual das afirmações seguites é falsa? (A) f f ' (B) f f '' (C) f ' f '' (D) f f ' f '' Temos: f, Assim, f f '' f ' m t e f '' (cocavidade voltada para cima em ) é a úica opção falsa Op. B/V4. () 4. Acerca de uma fução f, de domíio, sabe-se que f' f f 3 Qual é o valor de? 3 (A) (B) (C) 3 (D) 3 f f 3 3 f f 3 = = 3 f f 3 3 f' = 3= 3 3 Op. C/V4. (). Acerca de uma fução f, de domíio, sabe-se que e f Qual das equações seguites pode defiir uma assítota do gráfico de f? (A) y (B) e f. y (C) y (D) y e f e f m m m f f f Op. A/V. (). No cojuto dos úmeros compleos, seja w um úmero cujo afio pertece ao semieio imagiário positivo. As images das raízes quadradas de w pertecem (A) ao eio real (B) à reta y (C) à reta y (D) ao eio imagiário Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão 4
3 Estado w o semieio imagiário positivo, sabemos que 4 Assim, w rcis k,k, w r cis.. Isto é, as raízes de w estão a reta y. Op. C/V4. () 7. Sedo i a uidade imagiária, que valor pode tomar a epressão 4 4 i i i 4 3? (A) i (B) i (C) (D) i i i = i 4 i i 4 i i 4 i 3 = 3 i i i = i i = Op. D/V4. () 8. O plao compleo da figura está dividido em setores iguais. Seja z um compleo cuja imagem está a região sombreada. A que quadrate pertece a imagem geométrica de 4 z? (A).º quadrate (C) 3.º quadrate (B).º quadrate (D) 4.º quadrate Sedo z r cis, com, temos z 4 r 4 cis Assim, º Q Op. B/V Cosidere os úmeros compleos z 3 i e z cis. 4 () 9.. Escreva z a forma trigoométrica e z a forma algébrica. z 3 i z cis, com 3ºQ Módulo de z : z Argumeto de z : 3ºQ e ta, logo Portato, z cis z cis = cos i se = i = i 4 () 9.. Calcule z z a forma trigoométrica e a forma algébrica. A partir dos resultados obtidos deduza os valores eatos de 7 cos e 7 se. z z = cis cis = 4cis 4 4 = 3 4cis = 7 4cis 3 z z = 3 i i = i i i = i 3 Dos resultados obtidos a forma trigoométrica e a forma algébrica, podemos cocluir que Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 3/7 Versão 4
4 7 4cis Assim, Ou seja, i = 7 4cos 7 cos 4 = e = e 7 7 4cos 4i se i 3 = 7 4se 3 7 se 3 4 () 9.3. Determie, a forma trigoométrica, os valores ão ulos de w para os quais wz w. Seja w cis um compleo ão ulo, com Temos w cis e w cis cis Portato, w z w + cis cis cis cis cis + k, k 3 k, k Nota: 8 3 k, k Se k etão, temos a solução w cis Se k etão, temos a solução w cis Se k etão, temos a solução w cis Se k 3 etão, temos a solução w 8 Logo, as soluções da equação são cis 8, 7 cis 8 e cis 8 () 9.4. Determie o meor úmero atural para o qual egativo. z represeta um úmero real egativo se arg z z represeta um úmero real k, com k ímpar ou arg z k, k Temos z cis cis k Assim, k k 3 Portato, quado k temos, sedo z cis 4cis 4cis 4 um úmero real egativo, e o meor valor atural de é. 3 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 4/7 Versão 4
5 . No plao compleo, os afios dos úmeros z cis e do seu cojugado, z, são vértices cosecutivos de um polígoo regular. ().. Diga, justificado adequadamete, de que polígoo se trata. A partir da imagem geométrica de dois vértices cosecutivos de um polígoo regular podemos determiar o âgulo ao cetro,, etre esses vértices, que equivale à amplitude, sedo o úmero de lados (e vértices) do polígoo. Como z cis, temos z cis. Assim, arg z arg z = =. 3 Ora,. Portato, trata-se de um decágoo regular.. 3 ().. O úmero z é uma das raízes de ídice de um úmero w. Mostre que z (simétrico de z ) também é uma das raízes de ídice de w e determie w, a forma algébrica. Se z w etão wz = cis = cis = 4cis = z cis cis cis 3 9 z cis = 4cis 9 = 4cis = 4, logo z é uma das raízes de 4 3 ().3. Descreva e represete, o plao compleo, a região defiida pela codição: z z z z i z z represeta o eterior da circuferêcia de cetro a origem e raio z + z z i represeta o semiplao fechado defiido pelo segmeto de etremos os afios de z e z3 i, e que cotém z 3 + z z z z i represeta o cojuto de potos que satisfazem pelo meos uma das duas codições ateriores, cuja represetação se ecotra a figura do lado 3+4 ().4. Mostre que, se z e z são raízes de ídice do mesmo úmero compleo w, etão é par. Sejam z r cis e z r cis raízes de ídice de um compleo w 3 Etão, w z z ou seja, r cis r cis r cis r cis r r k,k k,k k,k é par Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão 4
6 . Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f cos. ().. Determie f', usado a defiição de derivada de uma fução um poto. f f Temos f ' c.a. f cos 3 + cos 3 cos Assim, f ' Id. cos se pois cos cos se 3 se se pois se cos cos se se se se = = 3 se se = = 3 ().. Sem recorrer à calculadora, prove que a fução f tem pelo meos um zero o itervalo 4,. Pretedemos mostrar que 4, isto é, a equação, : f cos tem pelo meos uma solução o itervalo, 4 Como ão temos cohecimetos que os permitem resolver aaliticamete esta equação vamos recorrer ao Teorema de Bolzao. f cos uma fução cotíua em, pois é defiida pela difereça etre duas Sedo fuções cotíuas em, também é cotíua o itervalo, 4 Assim, f cos 3 f cos Portato, como f é cotíua em, 4 e muda de sial este itervalo, pelo corolário do Teorema de Bolzao, tem pelo meos um zero o itervalo, 4. ().3. Sedo f' a fução derivada de f, mostre que f ',, e justifique que f tem apeas um úico zero em todo o seu domíio. Temos f ' cos ' ' ' ' se se 3 Ora, como se,, temos se e se Assim, se, ou seja f ' 3 4 Portato, f ', Dizer que f ',, sigifica que a fução f é estritamete decrescete em todo o domíio 3 Assim, sedo estritamete decrescete é ijetiva, isto é, há apeas um objeto que tem imagem zero, ou seja, f tem um úico zero, que, pela alíea aterior, se ecotra o itervalo, 4. 3 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão 4
7 ().4. Eiste uma ifiidade de potos ode a tagete ao gráfico de f é paralela ao eio O. Determie, aaliticamete, a epressão geral de todos os objetos ode isso se verifica. Retas paralelas têm o mesmo declive e o eio O, reta y, tem declive + Como o declive da reta tagete é dado pela derivada o poto de tagêcia, temos de descobrir a epressão geral das soluções da equação f ' Assim, f ' se se 3 k, k k, k 4 Epressão geral dos zeros de f' 3 ().4. Determie f', usado a defiição de derivada de uma fução um poto. Temos Assim, f f f ' c.a. f cos 3 + cos 3 cos f ' Id. cos se pois cos cos se 3 se se pois se cos cos se se se se = = 3 se se = = 3 BOM TRABALHO! Prof. José Tioco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 7/7 Versão 4
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