Faculdade de Ciências Exatas e da Engenharia PROVA DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS E COMPETÊNCIAS PARA ADMISSÃO AO ENSINO SUPERIOR

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1 Faculdade de Ciêcias Exatas e da Egeharia PROVA DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS E COMPETÊNCIAS PARA ADMISSÃO AO ENSINO SUPERIOR MATEMÁTICA- 1/06/016 Ateção: Não é permitido ousodecalculadora emdetelemóvel. Justifique os raciocíios utilizados a resolução das questões. Estaprovatemaduraçãode10m. Questões: 1.(a) 1.(b).(a).(b).(c).(d) 3.(a) 3.(b) 4.(a) 4.(b). 6. Cotações: 1,,0,0,0 1,0 1, 1, 1, 1, 1,,0,0 1. Cosidere a seguite fução: g(x)= e 3 l(x 1) (a) Determie o domíio da fuçãog; (b) Calcule, caso existam, as assítotas verticais de g.. Cosidere a seguite fução real de variável real: cos(lx), sex 1 f(x)= x 1, sex<1 (a) Verifique se a fuçãof é cotíua emx=1; (b) Prove que a fuçãof tem, pelo meos, um zero o itervalo]e,e [; (c) Justifique que a fuçãof ão é difereciável o potox=1; (d) Determie a fução derivada de f. 3. Cosidere a fução: h(x)=xe 1 x (a) Estude amootoia eaexistêciadeextremos deh; (b) Estude o setido da cocavidade da fução h e determie, caso exitam, os seus potos de iflexão. 1 V.S.F.F.

2 4. Cosidere as seguites sucessões reais: 7+3 u =e ; v = +1 7 u, se> 3 ; w = v, se 3 (a) Estude a mootoia da sucessão(v ) N ; (b) Calcule, caso exista, o + w.. Resolva, em C, a seguite equação: z + 4cis 4 + i z= Represete o plao d Argad o seguite cojuto: z C: z z 1 1 argz. 4

3 Faculdade de Ciêcias Exatas e da Egeharia PROVA DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS E COMPETÊNCIAS PARA ADMISSÃO AO ENSINO SUPERIOR MATEMÁTICA- 1/06/016 RESOLUÇÃO 1. g(x)= e 3 l(x 1) (a) Domíio deg D g = x R: 0 x 1>0 l(x 1)=0 Logo Cálculos Auxiliares = 0 x= 3 x=3, logo 0 3 x 3 x 1 > 0 x>1 l(x 1) = 0 x 1=e 0 x 1=1 x= D g =]1,3]\{} (b) Assítotas verticais (A.V.) de g Temos queg é cotíua o seu domíio. Estudo da existêcia de A.V. deg. x 1 +g(x)= x 1 + logo A.V. emx=1 +. x g(x)= x logo A.V. emx=. x +g(x)= x + e 3 l(x 1) = e 3 l(x 1) = e 3 l(x 1) = 8 e 3 l(0 + ) = e 3 l(1 ) = e 3 l(1 + ) = 8 e 3 ( ) =0 R, e 3 (0 ) logo A.V. emx= +. Assim: x= é uma assítota vertical ao gráfico deg. 3 = / R, =+ / R, e 3 (0 + )

4 . cos(lx), sex 1 f(x)= x 1, sex<1 (a) f é cotíua emx=1 se, e só se, x 1 f(x), x 1 +f(x) x 1 f(x)= x 1 +f(x)=f(1)=cos(l1)=cos0=1 Temos e Assim x 1 f(x)= x 1 (x 1)=0 x 1 +f(x)= x 1 +cos(lx)=cos(l1)=cos0=1 dodef ão é cotíua emx=1. x 1 f(x)=0=1= x 1 +f(x), (b) Parax [e,e ], f(x)=cos(lx), temos quef é cotíua em[e,e ], por ser a composta de duas fuções cotíuas. Uma vez que f(e )=cos(le )=cos()= 1<0 e f(e )=cos le =cos()=1>0 Etão, pelo Teorema de Bolzao, existe um zero da fuçãof o itervalo ]e,e [. (c) Como a fuçãof ão é cotíua o potox=1 (pela alíea (a)), etãof ão é difereciável emx=1, ou seja, f (1). (d) Fução derivada def Parax<1 temos Parax>1 temos f (x)=(x 1) =1 f (x)=(cos(lx)) = 1 x si(lx) Pela alíea (c) vimos que f (1), logo a fução derivada def é: f (x)= 1 si(lx), sex>1 x 1, sex<1 4

5 3. h(x)=xe 1 x (a) Mootoia eaexistêciadeextremos deh: Derivada deh: Zeros da 1 a derivada: h (x)=e 1 x xe 1 x =e 1 x (1 x) h (x)=0 e 1 x (1 x)=0 e 1 x =0 1 x=0 x=1 1 1 x + 0 e 1 x h (x) + 0 h(x) ր max ց (1,1) h é crescete o itervalo ],1[ e decrescete o itervalo ]1,+ [; h tem um máximo emx=1 e o valor do máximo é: h(1)=e 1 1 =e 0 =1 (b) Cocavidade epotosdeiflexão da fuçãoh: a derivada deh: h (x)= e 1 x (1 x) = (1 x)e 1 x e 1 x =e 1 x (x ) Zeros da a derivada: h (x)=0 e 1 x (x )=0 e 1 x =0 x =0 x= x 0 + e 1 x h (x) 0 + h(x) poto iflexão (,e 1 ) h tem a cocavidade voltada para baixo o itervalo],[;

6 h tem a cocavidade voltada para cima o itervalo],+ [; h tem um poto de iflexão emx= e a sua imagem é: h()=e 1 =e 1 = e u =e ; v = +1 7 (a) Mootoia da sucessão(v ) N ; u, se> 3 ; w = v, se 3 v +1 v = (+1) = +3 1 (+1) Logo, a sucessão(v ) N é moótoa decrescete. (b) Como Etão: w =e = e, se> 3 7 w = +1, se w = e + + = e =e + =e.e =e 7 = (+1) <

7 . Temos: z + 4cis 4 + i z= 3 z + 4 cos 4 +isi + i z= 3 4 z + 4 4i + i z= 3 z + i+ i z+3=0 z z+3=0 z= ± 8 1 z= ± 4 z= ±i z= +i z= i 6. z C: z z 1 1 argz. 4 Temos e z é o círculo de cetro (,0) e raio, pois z x+yi (x ) +y 4 z 1 1 é o exterior do círculo de cetro (1,0) e raio1, pois x+yi 1 1 (x 1) +y 1 Represetação o plao d Argad 7