FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versões 1/3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versões / Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato.. Ao lado está represetado o círculo trigoométrico. A reta r é tagete ao círculo o poto C. O poto A desloca-se sore a circuferêcia, apeas o primeiro quadrate. A semirreta OA iterseta r o poto B. O poto D pertece ao eixo Oy e o segmetos AD e BC são paralelos. é a amplitude, em radiaos, do âgulo AOC, com 0,. (0).. Idetifique, justificado, as coordeadas dos potos A e B. (A) Acos, se (C) Ase, cos Como AOC temos e Bta, e Bta, E O A. e B, ta A se, cos e B, ta (B) Acos, se (D) o poto A tem coordeadas cos, se se, cos Para descorir a acissa de B (a sua ordeada é raio do círculo) podemos recorrer à semelhaça dos triâgulos [OAD] e [OBC]. Temos BC CO x, portato AD DO x B C A y y D x B se xb ta se cos cos Págia /6 Versões/

2 Outro processo: A acissa do poto B correspode ao comprimeto do segmeto CB, que é precisamete a tagete do âgulo, cosiderado o triâgulo retâgulo [OCB]. Bta, OPÇÃO C (V) D(V) ta (0).. Mostre que a área do polígoo [ABCD], em fução de, é dada por cos De acordo com os dados, o polígoo [ABCD] é um trapézio, pois tem dois lados paralelos. AABCD BASE ase altura BC AD DC Temos: BC xb xc ta ; AD xa xd se e DC yc yd cos ta se se se cos Portato, AABCD cos cos se se cos cos cos se cos cos cos se cos cos cos cos ta c.q.m.. (5).. Determie o valor exato da área do polígoo [ABCD] quado B tem coordeadas,. Quado a acissa de B vale temos ta Agora, para calcular a área do trapézio precisamos de cohecer cos, mais precisamete, Como cos se, dividido amos os memros por 4 cos cos cos 4 cos temos: Outro processo: como ta e.º Q saemos que 60º ou Portato, AABCD cos cos 60º e cos 4 4 uidades quadradas 4 8 ta cos. cos. No referecial Oxy da figura ao lado ecotra: parte da represetação gráfica de uma fução ijetiva f, que tem um úico zero para x ; uma reta t tagete ao gráfico de f o poto de acissa ; dois potos, A 0, e, B 0, da reta t. Págia /6 Versões/

3 (0).. Idique, justificado, qual das expressões seguites represeta f'. (A) (B) (C) (D) Como o declive da reta tagete é igual à derivada o poto de tagêcia, temos f ' m. f' OPÇÃO B (V) A(V) yb ya 0 x x 0 B A t (0).. Saedo que t0 0 A equação de t é da forma y mx, com Ora, f t0 0 f t f, determie a equação reduzida da reta t. m (de acordo com a alíea aterior). f f 0 m a reta t tem equação y x, pois é o úico zero de f. (0).. Dos gráficos seguites, idetifique, justificado adequadamete, o que represeta a fução f, fução iversa da fução f. O gráfico de f é simétrico do gráfico de f em relação à reta y x. o poto A 0, f trasforma-se o poto A' 0, f, que correspode ao poto 0 pois, e o poto C 0,c f, com c 0 (iterseção com Oy) trasforma-se o poto C' c, 0 f B,,. Portato, apeas a OPÇÃO A represeta a fução f. Págia /6 Versões/

4 (5).4. Sae-se que f é uma fução racioal do tipo f x a x c, com a,,c. Supodo que x e y são as equações das assítotas do gráfico de f, determie a expressão algérica da fução f. Quado a fução racioal está escrita a forma f x a x c, com a, e c costates, o valor de a correspode à assítota horizotal. a. Como as assitotas verticais são os zeros do deomiador da fução temos c 0, ou seja, c. Já saemos que a fução é da forma f x. x Para calcular o valor de vamos usar o poto A 0,, pois Temos: 0 Portato, da forma f x x. f 0.. No referecial da figura seguite está represetada parte do gráfico de uma fução f, poliomial do terceiro grau, que passa o poto A 8, e cujos zeros são e. (0).. Seja g a fução defiida por g x f x. Temos Diga, justificado, qual dos seguites cojutos pode ser o domíio da fução g. (A) (C) g, / (B) /,, (D), 0 x : x, D x : f x OPÇÃO C (V) D(V) Págia 4/6 Versões/

5 (5).. Mostre, aaliticamete, que a fução f é defiida por x x x 5x f. Vamos usar os zeros e o poto A,8 para escrever uma factorização da expressão algérica de f. Como é zero duplo (porque a fução ão muda de sial) e - é um zero simples, a expressão de f é da forma f x ax x, para algum a 0 (coeficiete do moómio de maior grau). Cálculo de a : f 8 a 8 a4 8 a Portato, f x x x x x x x x x x x 6 x x x 5 (0).. Usado a defiição de derivada, determie ' Temos f ' lim x x f x f e f 8 f. Portato, f ' lim x x x x 5 8 x lim x x x x 5 5 x Idetermiação Para levatar a idetermiação vamos usar a Regra de Ruffii para simplificar a expressão Outro processo: Algoritmo da divisão Resto f ' lim x x x 5 lim x 5 x x 5 4 (0).4. Sedo a, Df, com a Para relacioar f ' a com, mostre que: f ' a f ' a f ' precisamos da fução derivada de f. Cálculo a fução derivada: 5 temos f ' a f ' a a f ' x x x x ' x x 5 a a 5 5 a a 0 0 a a a 0 a a a a Portato, como Outro processo: sedo 0 a, temos f ' a f ' a temos a a a c.q.m. a e f ' a a a 5 0 f ' f ' a a a a a a a a a 5 f ' a a a 5 Págia 5/6 Versões/

6 4. Cosidere a sucessão a de termo geral a 6 (0) 4.. Verifique se é termo da sucessão, e, caso afirmativo, idique a sua ordem. é termo da sucessão se : a Resolvamos a equação 6 a 6 Como podemos cocluir que é termo de a, sedo o.º termo. (5) 4.. Estude a quato à mootoia. Calculemos a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos de a. a a Portato, a é estritamete decrescete. 0, (0) 4.. Prove que a é uma sucessão limitada, fazedo um equadrameto do seu termo geral, e idique um miorate e um majorate do cojuto dos seus termos. Como a sucessão é decrescete, já saemos que Para equadrar o termo geral comecemos por simplificá-lo. Temos, Saemos que 6 6 a 0,. Portato, multiplicado por temos, 0, 7 a é majorate de a Adicioado a cada memro da desigualdade aterior vem,,, ou seja, a 7, Portato, a tem miorate e majorate 7, o que prova que é uma sucessão limitada. BOM TRABALHO! Prof. José Tioco Págia 6/6 Versões/