Questão (a) 4.(b) 5.(a) 5.(b) 6.(a) 6.(b) 6.(c) 7 Cotação

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1 Faculdade de Ciências Exatas e da Engenharia PROVA DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS E COMPETÊNCIAS PARA ADMISSÃO AO ENSINO SUPERIOR PARA MAIORES DE ANOS Matemática - 1/0/018 Atenção: Justifique os raciocínios utilizados na resolução das questões. Não é permitido o uso de calculadora nem de telemóvel. A prova tem a duração de 10 minutos. Questão 1 4.a 4.b.a.b.a.b.c 7 Cotação Determine os valores reais de x de forma a que os vetores u = 1, x, e v = 0, x, 1 sejam ortogonais.. Represente geometricamente no plano o conjunto de pontos definido pela condição y + 9x 18 = 0.. Considere, para n N, a sucessão de termo geral u n = an n. Indique, justificando, o conjunto dos valores reais de a para os quais a sucessão u n é convergente. 4. Considere a função real de variável real definida por sin x gx = x, se x > 0 cos. x + π, se x 0 a Calcule lim gx. x + b Verifique se a função g é contínua em x = 0. 1 V.S.F.F.

2 . Considere a função real de variável real definida por fx = x 4 8x + 1. a Estude os intervalos de monotonia e a existência de extremos da função f. b Estude o sentido da concavidade do gráfico da função f e determine, caso existam, os seus pontos de inflexão.. Considere A e B dois acontecimentos tais que Determine P B quando: P A = 0. e P A B = 0.8. a os acontecimentos A e B são disjuntos; b os acontecimentos A e B são independentes; c P A B = Complete a seguinte tabela de frequências referente ao número de irmãos dos estudantes de uma turma de uma determinada disciplina: Número de irmãos acumulada relativa acumulada relativa

3 Faculdade de Ciências Exatas e da Engenharia Sugestão de correção da PROVA DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS E COMPETÊNCIAS PARA ADMISSÃO AO ENSINO SUPERIOR PARA MAIORES DE ANOS Matemática - 1/0/018 Atenção: Justifique os raciocínios utilizados na resolução das questões. Não é permitido o uso de calculadora nem de telemóvel. A prova tem a duração de 10 minutos. Questão 1 4.a 4.b.a.b.a.b.c 7 Cotação Determine os valores reais de x de forma a que os vetores u = 1, x, e v = 0, x, 1 sejam ortogonais. R: Como os vetores u e v são não nulos, para que sejam ortogonais entre si o seu produto interno, u v, terá de ser nulo. Ora, u v = 1, x, 0, x, 1 = x x + 1 = x x + e u v = 0 x x + = 0. Usando a fórmula resolvente para resolver a equação de segundo grau obtemos 4 1 i.e., x = ± 1 = ± 9 8 x = 4 = ou x = = 1. = ± 1 = ± 1, Conclui-se assim que os vetores u = 1, x, e v = 0, x, 1 são ortogonais se x = ou se x = 1.

4 . Represente geometricamente no plano o conjunto de pontos definido pela condição y + 9x 18 = 0. R: A equação dada é equivalente à equação 18 y x = 1 1 y + 1 x = 1 x + y = 1, que, graficamente, se representa pela elipse centrada em 0, 0 que passa pelos pontos 0,, 0,,, 0 e, 0, como na figura que a seguir se apresenta: y x. Considere, para n N, a sucessão de termo geral u n = an n. Indique, justificando, o conjunto dos valores reais de a para os quais a sucessão u n é convergente. R: Temos que u n = an a n a n = =. n 4 Sabemos que a sucessão cujo termo geral é da forma b n é convergente apenas quando 1 < b 1. Assim, para que u n seja convergente temos de ter 1 < a < a 4. 4

5 Conclui-se, assim, que a sucessão u n é convergente se, e só se, 4 < a Considere a função real de variável real definida por sin x gx = x, se x > 0 cos. x + π, se x 0 a Calcule lim gx. x + R: Temos lim gx = lim sin x x + x + x = 0, dado que sin x é uma função limitada 1 sin x 1, x R e a função 1 x converge para zero quando x. b Verifique se a função g é contínua em x = 0. R: Em consequência da continuidade da função cos x + π note-se que esta é uma composição das funções contínuas, cos x e x + π resulta que lim gx = lim x cos + π = cos 0 + π π = cos = 1 x 0 x 0 = g0. No entanto, no limite da função g à direita de zero temos sin x lim gx = lim x 0 + x 0 + x = 1, que é diferente do limite de g à esquerda de zero e de g0. Concluímos assim que a função g não é contínua em x = 0.. Considere a função real de variável real definida por fx = x 4 8x + 1. a Estude os intervalos de monotonia e a existência de extremos da função f. R: Sendo f uma função polinomial e, consequentemente, diferenciável, a monotonia de f depende do sinal da primeira derivada de f e os extremos da função, caso existam, serão zeros da função f x. Ora, f x = x 4 8x + 1 = 4x 1x = 4x x 4 = 4x x x +.

6 Representando o sinal da derivada de f e a monotonia de f num quadro obtemos: Zeros de f 0 Sinal de f Monotonia de f Resumindo, a função f é decrescente, em sentido lato, no conjunto, ] [0, ] e é crescente, em sentido lato, no conjunto [, 0] [, +. Os valores e são minimizantes de f sendo as suas imagens dadas por f = = = = = 1 e f = = f = 1. O valor 1 é assim um mínimo relativo local de f. Dado que lim f x = lim f x = +, x x + concluímos que 1 é também um máximo global de f. Por outro lado, o valor 0 é um maximizante de f sendo a sua imagem dada por No entanto, como, recordamos, fx = = 1. lim f x = lim f x = +, x x + o valor 1 é apenas um máximo relativo local de f. b Estude o sentido da concavidade do gráfico da função f e determine, caso existam, os seus pontos de inflexão. R: Para determinar o sentido da concavidade do gráfico da função de f necessitamos de conhecer o sinal da segunda derivada de f. Ora, f x = x 4 8x + 1 = 4x 1x = 1x 1 = 1 x 1 1 = 1 x 4 = 1 x x +.

7 Representando o sinal da segunda derivada de f e os sentidos das concavidades de f num quadro obtemos: Zeros de f Sinal de f Monotonia de f. A função f tem dois pontos de inflexão, e, tendo a concavidade voltada para cima no conjunto, ] [, + e a concavidade voltada para baixo no intervalo [ ],.. Considere A e B dois acontecimentos tais que P A = 0. e P A B = 0.8. Determine P B quando: a os acontecimentos A e B são disjuntos; R: Quando A e B são disjuntos temos que A B = e, consequentemente, P A B = 0. Ora, P A B = P A + P B P A B 0.8 = 0. + P B 0 P B = = 0.. Conclui-se assim que P B = 0.. b os acontecimentos A e B são independentes; R: Quando os acontecimentos A e B são independentes temos Ora, P A B = P A P B. P A B = P A + P B P A B P A B = P A + P B P A P B 0.8 = 0. + P B 0. P B 0. = P B 1 0. P B = = 1 = 0.. Conclui-se assim que P B = 0.. 7

8 c P A B = 0.. Como resulta que P A B = 0. P A B P B = 0. P A B = 0. P B P A B = P A + P B P A B P A B = P A + P B 0. P B 0.8 = 0. + P B 0. P B 0. = P B 1 0. P B = = = 0.4. Conclui-se assim que P B = Complete a seguinte tabela de frequências referente ao número de irmãos dos estudantes de uma turma de uma determinada disciplina: Número de irmãos acumulada relativa acumulada relativa Note-se que na primeira linha da tabela as frequências simples e acumuladas coincidem. Note-se ainda que tendo a primeira linha preenchida é possível encontrar a dimensão da amostra. De facto, se denotarmos por n a dimensão da amostra, por n 0 a frequência do valor 0 e por f 0 a frequência relativa do mesmo valor, temos f 0 = n 0 n n = n 0 n = 1 f 0 = 1 = = 0. Por outro lado, conhecendo a dimensão da amostra e a frequência relativa, é possível conhecer a frequência. Assim, para o valor temos usando uma notação semelhante à apresentada acima: f = n n n = f n = 1 0 =. 8

9 A tabela completa é assim dada por: Número de irmãos acumulada relativa acumulada relativa = = 1 10 = = = 1 0 Total