PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JULHO 016 GRUPO I 1. Sabe-se que: P ( A B ) 0, 6 P A B P A Logo, 0, + 0, P A B Como P P 0, 6 P A B 1 0, 6 P ( A B ) 0, 4 + P ( B ) P ( A B ) 0, 4 0, 4 P ( A B ) 0,1. ( A B ) P ( A B ), temos que: P( B ) ( A B ) 0,1 0,. Assim, P ( A B ) 1 Versão 1: A Versão : B. Como se trata de uma distribuição biomial em que a probabilidade de sucesso é 0,4 e o úmero de eperiêcias é 5 etão, a probabilidade de ecestar eatamete 4 vezes é igual a: 5 C4 0, 4 4 0, 6 1 0, 0768 Versão 1: C Versão : B

2 . Dado que: log a ab temos 5 log a a log b a 5 1 Mas, log b a log a ( a) log b a + log b a log b a 5, pois a e b são ambos positivos, log b a 4 pelo que, log a b 1 4 log a b 4 Versão 1: B Versão : A 4. f l u e l e 1 e l!# " $# ite otável l ( + ) Versão 1: A Versão : C 5. Calculemos a área do triâgulo [ PQ R ] em fução de α : Area [ PQ R ] Ora, Q R QR altura cos π + α Sabe-se que P cosα, seα Portato, Area [ PQ R ], sedo a altura igual a OR. cosα cosα, pois α 0, π, com cosα > 0 e seα > 0, etão OR seα. cosα seα se α.. Versão 1: D Versão : C

3 6. As raízes de ídice 6 do úmero compleo w têm como imagem geométrica os vértices de um heágoo regular cetrado a origem do referecial e iscrito uma circuferêcia de raio igual ao módulo de z que é uma das raízes de ídice 6 de w. Como z + 4i, o raio da circuferêcia é z e como o lado do heágoo tem comprimeto igual ao raio da circuferêcia que o circuscreve, etão o perímetro do heágoo igual a: 6 z Versão 1: C Versão : B 7. Como a circuferêcia está iscrita o quadrado, a medida do comprimeto do seu diâmetro é igual à medida do comprimeto do lado do quadrado. Sedo l a medida do lado do quadrado e r a medida do raio da circuferêcia, etão r l. Dado que l 5 1 4, etão r. As coordeadas do cetro da circuferêcia são Uma codição que defie a circuferêcia de cetro, Versão 1: C Versão : D, e raio é: ( ) + ( y ) 4, isto é,,. 8. Como ( u ) é uma progressão geométrica podemos escrever u 8 u 4 r 8 4, sedo r a razão da progressão. Assim, u 8 u 4 r r 4 r A progressão geométrica u r r 56 r 4. é moótoa pelo que a razão r é um úmero real positivo. Etão, Como ( u ) é uma progressão geométrica de razão r 4 tem-se: u 5 u 4 r u 5 4 u 5 18 Versão 1: B Versão : C

4 GRUPO II 1. No coteto da situação descrita P ( A B ) é a probabilidade de o produto dos úmeros das fichas retiradas ser ímpar, sabedo que a soma dos úmeros das fichas retiradas é igual a 10. Os casos possíveis correspodem aos pares da forma igual a 10 e esses pares são os seguites: ( u, v ) cuja soma dos úmeros u e v é ( 1, 9 ), (, 8 ), (, 7 ), ( 4, 6 ). Destes casos possíveis, os casos favoráveis são ( 1, 9 ) e (, 7 ), pois são os pares correspodetes aos casos em que os produtos dos dois úmeros é ímpar. Assim, usado a regra de Laplace, a probabilidade pedida é 4. Apresetado o resultado a forma de fração irredutível a resposta é Como o tabuleiro possui 4 filas a horizotal, eistem 4 possibilidades diferetes de colocar os úmeros pares ocupado uma úica fila horizotal. Fiada uma fila horizotal há 4! formas diferetes de dispor essas 4 fichas pares essa fila. Para distribuir as restates 5 fichas os 1 espaços livres do tabuleiro eistem 1 A maeiras 5 diferetes de o fazer. Assim, o úmero pedido é dado por: 4 4! 1 A

5 . Escrevedo 1 + i a forma trigoométrica temos 1 + i r cisα, ode: r 1 + i ( 1) + 1 α é um argumeto de 1 + i com α.º quadrate e tgα 1 1 1, vem α π π 4 π 4 (argumeto positivo míimo). (Note-se que podíamos ter cosiderado α π 4, referido que a imagem geométrica do compleo 1 + i pertece ao segudo quadrate pois está sobre a bissetriz dos quadrates pares.) Assim, 1 + i π cis 4. Substituido em z, temos: z π cis 1 + i 4 z z ( ρ cisθ ) ρ cis( θ ) ρ cis π 4 θ Escrevedo, agora, w a forma trigoométrica temos w i π cis, pois w pertece ao semieio egativo das ordeadas. Cosiderado a igualdade z w, temos: z w ρ cis π 4 θ π cis, ou seja: ρ 1 ρ 1 ρ 1 ρ 1, porque o módulo é um úmero ρ positivo. π 4 θ π + kπ, k! Resolvedo a equação π 4 θ π + kπ, k!, obtemos: π 4 θ π + kπ, k! θ π 4 6π 4 + kπ, k! θ π 4 + kπ, k! θ π 8 + kπ, k! Procuremos θ ] 0, π [ : Se k 0, temos θ π 8 ] 0, π [ Se k 1, temos θ 5π 8 ] 0, π [ Se k, temos θ 1π 8 ] 0, π [ Logo, ρ 1 e θ 5π 8.

6 ..1. Como o vetor de coordeadas,, 4 é um vetor ormal ao plao α etão é um vetor diretor da reta perpedicular ao mesmo. Assim, uma equação vetorial da reta perpedicular ao plao α e que passa o poto C é (, y, z ) (, 1, 4 ) + k,, 4, k!... Um vetor diretor da reta OD é OD!!!" D O 4,, A reta OD é defiida pelas equações cartesiaas: 4 4 y y z Itersectado com o plao α, vem: ( 0, 0, 0 ) ( 4,, ). + y + 4z y + 4z y 4 4( y ) 4 y z y z + y + 4z 1 0 y + y + 4y 1 0 y y y z y z Logo, as coordeadas do poto de itersecção da reta OD com o plao α + y + 4z y 4 y z 1y 1 y y z são (, 1, 1 ). y 1 z 1.. Tem-se que: o poto A pertece ao semieio positivo O. Logo, as suas coordeadas são do tipo, com > 0. A, 0, 0 o poto B pertece ao semieio positivo O y. Logo, as suas coordeadas são do tipo, com y > 0. B 0, y, 0 o poto P pertece ao eio O z, sedo a sua cota ão ula. Logo, as suas coordeadas são do tipo P( 0, 0, z ), com z 0. Tem-se que A ˆPB PA # PB. Como cada um dos potos A, B e P pertece a um eio!!! "!!!" coordeado diferete, os vetores PA e PB uca são colieares, pelo que o âgulo APB uca é ulo. Logo, para provar que o âgulo APB é agudo basta provar que PA PB > 0. Assim, como PA, 0, 0 0, y, 0 ( 0, 0, z ) (, 0, z ) e PB PA PB (, 0, z ) ( 0, y, z ) z e z > 0, z 0. Portato, PA PB > 0. Logo, o âgulo APB é um âgulo agudo. ( 0, 0, z ) ( 0, y, z ), etão

7 Cosiderado o domíio da fução f se eistir assítota oblíqua ela ocorrerá quado. Sedo assim, procuremos uma reta de equação y m + b, com m e b pertecetes a! e m 0, em que m f + ite otável f m e + l l !#" # $ b Dado que ( f ( ) m ) + assítota oblíqua. ( f ( ) m ) b. l 1 l ( ( l ) ) l( ) ( f ( ) m ) podemos afirmar que o gráfico da fução f ão tem 4.. Para estudarmos a mootoia da fução f e a eistêcia de etremos relativos o itervalo f π, 0, determiemos a epressão aalítica da primeira derivada de f. ( ) + se cos cos cos ( + se( ) ) cos cos( ) se( ) cos ( ) + se( ) + se ( ) cos ( ) ( ) 1 + se cos ( + se( ) ) cos( ) cos ( ) ( + se ) Calculemos os zeros da primeira derivada de f : π 6 + kπ π π 6 + kπ, k! 1 + se( ) 0 se( ) 1 se( ) se π 6 π 6 + kπ 7π 6 + kπ, k! No itervalo cosiderado só π 6 Como cos ( ) > 0, π, 0 é solução da equação 1 + se ( ) 0., o sial da derivada depede apeas do sial da epressão 1 + se( ).

8 Estudado a variação do sial da derivada e relacioado com a mootoia da fução, vem: π π 6 0 f ( ).d. 0 +.d. f ( ).d. Mi..d. Dado que: f π 6 + se π 6 cos π 6 1 Por observação da tabela, verificamos que a fução f : tem um míimo relativo igual a para π 6. é moótoa decrescete o itervalo π, π 6 e moótoa crescete o itervalo π 6, Seja y m + b a equação da reta r. Cosiderado que a reta r é tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa 1, etão m f 1. A fução derivada de f para > 0 é dada por f Temos etão que: m Como a reta é tagete ao gráfico da fução f ( ) 1 1. o poto de abcissa 1, f 1 pertece à reta e permite-os determiar o valor de b. Dado que f 1 1 l 1 1 defiida por uma equação da forma y + b, obtemos: 1, etão o poto l( 1 ) 1 + l( ) e cosiderado que a reta r é

9 1 + l( ) 1 + b b 1 + l( ). Assim, a equação da reta r é y l( ). Recorredo à calculadora gráfica obtemos a represetação gráfica da fução f e da reta r o itervalo π, : De ode se verifica que as abcissas dos potos A e B são, respetivamete, 1,19 e 0,17 com uma aproimação às cetésimas Como o empréstimo será pago em prestações mesais de 4 euros e 0, 00, temos: p 4. Substituido estes valores a epressão cohecida, e resolvedo a equação, vem: ,00 1 e 0,00 4 4e 0,00 1,8 e 0,00 4 1,8 4 e 0,00 0,95 0,00 l0,95 l0,95 0,00 Como l 0, 95 0, 00 6, cocluímos que o José irá demorar 6 meses a pagar o empréstimo. 5.. Calculado o valor do ite, em fução de, vem que: e e e (idetermiação)

10 Fazedo a mudaça de variável: y y, Como 0 etão e assim, e 600 y y 1 e ( 600) e y 1 y!## "## $ ite otável y 1 1 e y 600 y 1 e y y 1 + e y ( 1) y 1 e y y e y 1 Ou seja, se 0, o que correspode a uma taa de juro arbitrariamete próima de zero, etão a prestação mesal será arbitrariamete próima de 600, o que correspode a pagar o motate do empréstimo (600 euros) em parcelas iguais, durate meses. 6. Como g( ) + 1 g( ) 1 0, etão provar que a equação g( ) + 1 é possível o itervalo a, g( a) a, g( a) itervalo, com f é equivalete a provar que a equação f ( ) 0 é possível o g( ) 1 A fução f é cotíua em!, por ser a soma de duas fuções cotíuas, a fução g e a fução afim defiida por y 1. Em particular a fução f é cotíua o itervalo Cálculos auiliares: a, g( a). f ( a ) g( a ) a 1 g( a ) ( a + 1) Como g( a ) > a + 1, etão g( a ) ( a + 1) > 0, ou seja, f ( a ) > 0. f ( g( a ) ) g( g( a )) g( a ) 1 a g( a ) 1 g( a ) + a 1 Como g( a ) > a + 1, vem g( a ) < a 1 g( a ) + a 1 < a 1 + a 1 f ( g( a )) < f ( g( a )) < 0 Assim, f ( a ) e f g a Logo, como f ( a ) f g a ( ) têm siais cotrários. ( ) < 0 e a fução f é cotíua em a, g( a) teorema de Bolzao coclui-se que a fução f tem pelo meos um zero em que a equação g + 1 tem pelo meos uma solução o itervalo a, g( a), pelo corolário do. a, g( a), pelo